山东省滨州市2020年中考数学试卷（解析版）

2020 年山东省滨州市中考数学试卷一、选择题 1．下列各式正确的是（　　） A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5 2．如图，AB∥CD，点 P 为 CD 上一点，PF 是∠EPC 的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD 的大小为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 3．冠状病毒的直径约为 80～120 纳米，1 纳米＝1.0×10﹣9 米，若用科学记数法表示 110 纳米，则正确的结果是（　　） A．1.1×10﹣9 米 B．1.1×10﹣8 米 C．1.1×10﹣7 米 D．1.1×10﹣6 米 4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点 M，到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 5，则点 M 的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4） 5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，点 A 在双曲线 y＝上，点B 在双曲线 y＝上，且 AB∥x 轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 7．下列命题是假命题的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述： ①平均数是 5，②中位数是 4，③众数是 4，④方差是 4.4，其中正确的个数为（　　） A．1 9．在⊙O 中，直径 AB＝15，弦 DE⊥AB 于点 C，若 OC：OB＝3：5，则 DE 的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 10．对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0 的根的情况为（　　） B．2 C．3 D．4 A．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 D．无法判定 11．对称轴为直线 x＝1 的抛物线 y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤ m（am+b）（m 为任意实数），⑥当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，得到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N．若直线 BA′ 交直线 CD 于点 O，BC＝5，EN＝1，则 OD 的长为（　　） A．二、填空题：本大题共 8 个小题．每小题 5 分，满分 40 分． 13．若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为　 14．在等腰△ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A 的大小为　 B． C． D．　．　． 15．若正比例函数 y＝2x 的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是 2，则该反比例函数的解析式为　． 16．如图，⊙O 是正方形 ABCD 的内切圆，切点分别为 E、F、G、H，ED 与⊙O 相交于点 M，则 sin∠MFG 的值为　　． 17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为　． 18．若关于 x 的不等式组无解，则 a 的取值范围为　　． 19．观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝得 an＝　（用含n 的式子表示）． 20．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，且点 P 到点 A、B、C 的距离分别为 2 4，则正方形 ABCD 的面积为　　．，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可、、三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 74 分，解答时请写出必要的演推过程．，y＝（π﹣3）0 21．先化简，再求值：1﹣ ÷；其中 x＝cos30°× ﹣1 ﹣（）．22．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x﹣1 与直线 y＝﹣2x+2 相交于点 P，并分别与 x 轴相交于点 A、B．（1）求交点 P 的坐标；（2）求△PAB 的面积；（3）请把图象中直线 y＝﹣2x+2 在直线 y＝﹣ x﹣1 上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量 x 的取值范围． 23．如图，过▱ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点 E 作两条互相垂直的直线，分别交边 AB、 BC、CD、DA 于点 P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点 P、M、Q、N，求证：四边形 PMQN 是菱形． 24．某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克，则一个月可售出 500 千克；若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1 元，则月销售量就减少 10 千克．（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为 8750 元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 25．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点 E 作直线 DC，分别交 AM、BN 于点 D、C，且 DA＝DE．（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线；（2）求证：OA2＝DE•CE． 26．如图，抛物线的顶点为 A（h，﹣1），与 y 轴交于点 B（0，﹣ ），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线 l 是过点 C（0，﹣3）且垂直于 y 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 P （m，n）到直线 l 的距离为 d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点 D（4，3），请在抛物线上找一点 Q，使△DFQ 的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点 Q 的坐标．参考答案一、选择题：本大题共 12 个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得 3 分，满分 36 分． 1．下列各式正确的是（　　） A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5 【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可．解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5， ∴选项 A 不符合题意； B、∵﹣（﹣5）＝5， ∴选项 B 不符合题意； C、∵|﹣5|＝5， ∴选项 C 不符合题意； D、∵﹣（﹣5）＝5， ∴选项 D 符合题意．故选：D． 2．如图，AB∥CD，点 P 为 CD 上一点，PF 是∠EPC 的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD 的大小为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠CPF＝55°， ∵PF 是∠EPC 的平分线， ∴∠CPE＝2∠CPF＝110°， ∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故选：B． 3．冠状病毒的直径约为 80～120 纳米，1 纳米＝1.0×10﹣9 米，若用科学记数法表示 110 纳米，则正确的结果是（　　） A．1.1×10﹣9 米 B．1.1×10﹣8 米 C．1.1×10﹣7 米 D．1.1×10﹣6 米【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．解：110 纳米＝110×10﹣9 米＝1.1×10﹣7 米．故选：C． 4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点 M，到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 5，则点 M 的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点 M，到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 5， ∴点 M 的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，即点 M 的坐标为：（5，﹣4）．故选：D． 5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；圆是轴对称图形，也是中心对称图形；则既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2 个．故选：B． 6．如图，点 A 在双曲线 y＝上，点B 在双曲线 y＝上，且 AB∥x 轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 S 的关系 S＝|k|即可判断．解：过 A 点作 AE⊥y 轴，垂足为 E， ∵点 A 在双曲线 y＝上， ∴四边形 AEOD 的面积为 4， ∵点 B 在双曲线线 y＝上，且 AB∥x 轴， ∴四边形 BEOC 的面积为 12， ∴矩形 ABCD 的面积为 12﹣4＝8．故选：C． 7．下列命题是假命题的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【分析】利用正方形的判定依次判断，可求解．解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项 A 不合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项 B 不合题意； C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项 C 不合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项 D 符合题意；故选：D． 8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述： ①平均数是 5，②中位数是 4，③众数是 4，④方差是 4.4，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先把数据由小到大排列为 3，4，4，5，9，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．解：数据由小到大排列为 3，4，4，5，9，它的平均数为＝5，数据的中位数为 4，众数为 4，数据的方差＝ [（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以 A、B、C、D 都正确．故选：D． 9．在⊙O 中，直径 AB＝15，弦 DE⊥AB 于点 C，若 OC：OB＝3：5，则 DE 的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．解：如图所示：∵直径 AB＝15， ∴BO＝7.5， ∵OC：OB＝3：5， ∴CO＝4.5， ∴DC＝＝6， ∴DE＝2DC＝12．故选：C． 10．对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0 的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 D．无法判定【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．解： x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0， △＝[﹣（k+5）]2﹣4× ×（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不论 k 为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根，故选：B． 11．对称轴为直线 x＝1 的抛物线 y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤ m（am+b）（m 为任意实数），⑥当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＜0，故①错误； ②∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确； ③当 x＝2 时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确； ⑤当 x＝1 时，y 的值最小，此时，y＝a+b+c，而当 x＝m 时，y＝am2+bm+c，所以 a+b+c≤am2+bm+c，故 a+b≤am2+bm，即 a+b≤m（am+b），故⑤正确， ⑥当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，故⑥错误，故选：A． 12．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，得到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N．若直线 BA′ 交直线 CD 于点 O，BC＝5，EN＝1，则 OD 的长为（　　） A． B． C． D．【分析】根据中位线定理可得 AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得 A′M ＝A′N＝2，过 M 点作 MG⊥EF 于 G，可求 A′G，根据勾股定理可求 MG，进一步得到 BE，再根据平行线分线段成比例可求 OF，从而得到 OD．解：∵EN＝1， ∴由中位线定理得 AM＝2，由折叠的性质可得 A′M＝2， ∵AD∥EF， ∴∠AMB＝∠A′NM， ∵∠AMB＝∠A′MB， ∴∠A′NM＝∠A′MB， ∴A′N＝2， ∴A′E＝3，A′F＝2 过 M 点作 MG⊥EF 于 G， ∴NG＝EN＝1， ∴A′G＝1，由勾股定理得 MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝ ∴OF：BE＝2：3，，解得 OF＝，∴OD＝ ﹣＝．故选：B．二、填空题：本大题共 8 个小题．每小题 5 分，满分 40 分． 13．若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为　x≥5　．【分析】根据二次根式有意义的条件得出 x﹣5≥0，求出即可．解：要使二次根式解得：x≥5，在实数范围内有意义，必须 x﹣5≥0，故答案为：x≥5． 14．在等腰△ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A 的大小为　80°　．【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为 180°列式进行计算即可得解．解：∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°． 15．若正比例函数 y＝2x 的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是 2，则该反比例函数的解析式为　y＝．【分析】当 y＝2 时，即 y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式 y＝，即可求解．解：当 y＝2 时，即 y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式 y＝并解得：k＝2，故答案为：y＝ 16．如图，⊙O 是正方形 ABCD 的内切圆，切点分别为 E、F、G、H，ED 与⊙O 相交于点 M，则 sin∠MFG 的值为　　．．【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．解：∵⊙O 是正方形 ABCD 的内切圆， ∴AE＝ AB，EG＝BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG． ∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案为：．17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为　．【分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三角形的结果数，然后根据概率公式计算．解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13； 3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；共有 10 种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为 4，所以可以组成三角形的概率＝＝．故答案为．18．若关于 x 的不等式组无解，则 a 的取值范围为　a≥1　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．解：解不等式 x﹣a＞0，得：x＞2a，解不等式 4﹣2x≥0，得：x≤2， ∵不等式组无解， ∴2a≥2，解得 a≥1，故答案为：a≥1． 19．观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得 an＝　　（用含 n 的式子表示）．【分析】观察分母的变化为 3、5、7，…，2n+1 次幂；分子的变化为：奇数项为 n2+1；偶数项为 n2﹣1；依此即可求解．解：由分析可得 an＝．故答案为：．20．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，且点 P 到点 A、B、C 的距离分别为 2 4，则正方形 ABCD 的面积为　14+4 　．、、【分析】如图，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBM，连接 PM，过点 B 作 BH ⊥PM 于 H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出 A，P，M 共线，利用勾股定理求出 AB2 即可．解：如图，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBM，连接 PM，过点 B 作 BH⊥PM 于 H． ∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°， ∴PM＝ PB＝2， ∵PC＝4，PA＝CM＝2 ∴PC2＝CM2+PM2， ∴∠PMC＝90°，，∵∠BPM＝∠BMP＝45°， ∴∠CNB＝∠APB＝135°， ∴∠APB+∠BPM＝180°， ∴A，P，M 共线， ∵BH⊥PM， ∴PH＝HM， ∴BH＝PH＝HM＝1， ∴AH＝2 +1， ∴AB2＝AH2+BH2＝（2 +1）2+12＝14+4 ，∴正方形 ABCD 的面积为 14+4 故答案为 14+4 三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 74 分，解答时请写出必要的演推过程．．．21．先化简，再求值：1﹣ ÷；其中 x＝cos30°× ，y＝（π﹣3）0 ﹣1 ﹣（）．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算 x，y 的值，进而代入得出答案．解：原式＝1﹣ ÷＝1+ •＝1+ ＝＝，∵x＝cos30°× ＝×2 ＝3，y＝（π﹣3）0﹣（＝0．）﹣1＝1﹣3＝﹣2， ∴原式＝ 22．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x﹣1 与直线 y＝﹣2x+2 相交于点 P，并分别与 x 轴相交于点 A、B．（1）求交点 P 的坐标；（2）求△PAB 的面积；（3）请把图象中直线 y＝﹣2x+2 在直线 y＝﹣ x﹣1 上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量 x 的取值范围．【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点 P 的坐标；（2）求得 A、B 的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象求得即可．解：（1）由解得，∴P（2，﹣2）；（2）直线 y＝﹣ x﹣1 与直线 y＝﹣2x+2 中，令 y＝0，则﹣ x﹣1＝0 与﹣2x+2＝0，解得 x＝﹣2 与 x＝1， ∴A（﹣2，0），B（1，0）， ∴AB＝3， ∴S△PAB＝＝＝3；（3）如图所示：自变量 x 的取值范围是 x＜2． 23．如图，过▱ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点 E 作两条互相垂直的直线，分别交边 AB、 BC、CD、DA 于点 P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点 P、M、Q、N，求证：四边形 PMQN 是菱形．【分析】（1）由 ASA 证△PBE≌△QDE 即可；（2）由全等三角形的性质得出 EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出 EM＝ EN，证出四边形 PMQN 是平行四边形，由对角线 PQ⊥MN，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形 ABD 是平行四边形， ∴EB＝ED，AB∥CD， ∴∠EBP＝∠EDQ，在△PBE 和△QDE 中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）；（2）证明：如图所示： ∵△PBE≌△QDE， ∴EP＝EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA）， ∴EM＝EN， ∴四边形 PMQN 是平行四边形， ∵PQ⊥MN， ∴四边形 PMQN 是菱形． 24．某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克，则一个月可售出 500 千克；若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1 元，则月销售量就减少 10 千克．（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为 8750 元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；（2）设每千克水果售价为 x 元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；（3）设每千克水果售价为 m 元，获得的月利润为 y 元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得 y 与 x 的关系式，有二次函数的性质可求解．解：（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450 千克；（2）设每千克水果售价为 x 元，由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为 65 元或 75 元；（3）设每千克水果售价为 m 元，获得的月利润为 y 元，由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000， ∴当 m＝70 时，y 有最大值为 9000 元，答：当每千克水果售价为 70 元时，获得的月利润最大值为 9000 元． 25．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点 E 作直线 DC，分别交 AM、BN 于点 D、C，且 DA＝DE．（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线；（2）求证：OA2＝DE•CE．【分析】（1）连接 OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD＝∠OED＝90°，进而得 CD 是切线；（2）过 D 作 DF⊥BC 于点 F，得四边形 ABFD 为矩形，得 DF＝20A，再证明 CF＝CE ﹣DE，进而根据勾股定理得结论．解：（1）连接 OD，OE，如图 1，在△OAD 和△OED 中，，∴△OAD≌△OED（SSS）， ∴∠OAD＝∠OED， ∵AM 是⊙O 的切线， ∴∠OAD＝90°， ∴∠OED＝90°， ∴直线 CD 是⊙O 的切线；（2）过 D 作 DF⊥BC 于点 F，如图 2，则∠DFB＝∠RFC＝90°， ∵AM、BN 都是⊙O 的切线， ∴∠ABF＝∠BAD＝90°， ∴四边形 ABFD 是矩形， ∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴DE＝DA，CE＝CB， ∴CF＝CB﹣BF＝CE﹣DE， ∵DE2＝CD2﹣CF2， ∴4OA2＝（CE+DE）2﹣（CE﹣DE）2，即 4OA2＝4DE•CE， ∴OA2＝DE•CE． 26．如图，抛物线的顶点为 A（h，﹣1），与 y 轴交于点 B（0，﹣ ），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线 l 是过点 C（0，﹣3）且垂直于 y 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 P （m，n）到直线 l 的距离为 d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点 D（4，3），请在抛物线上找一点 Q，使△DFQ 的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点 Q 的坐标．【分析】（1）由题意抛物线的顶点 A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣ 2）2﹣1，把点 B 坐标代入求出 a 即可．（2）由题意 P（m， m2﹣ m﹣ ），求出d2，PF2（用 m 表示）即可解决问题．（3）如图，过点 Q 作 QH⊥直线 l 于 H，过点 D 作 DN⊥直线 l 于 N．因为△DFQ 的周长＝DF+DQ+FQ，DF 是定值＝＝2 ，推出 DQ+QF 的值最小时，△DFQ 的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点 A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为 y＝a （x﹣2）2﹣1， ∵抛物线经过 B（0，﹣ ）， ∴﹣ ＝4a﹣1， ∴a＝，∴抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n）， ∴n＝（m﹣2）2﹣1＝ m2﹣ m﹣ ∴P（m， m2﹣ m﹣ ），，∴d＝ m2﹣ m﹣ ﹣（﹣3）＝ m2﹣ m+ ∵F（2，1），，∴PF＝ ∵d2＝＝，，m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ，PF2＝ m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ∴d2＝PF2， ∴PF＝d．（3）如图，过点 Q 作 QH⊥直线 l 于 H，过点 D 作 DN⊥直线 l 于 N． ∵△DFQ 的周长＝DF+DQ+FQ，DF 是定值＝＝2 ，∴DQ+QF 的值最小时，△DFQ 的周长最小， ∵QF＝QH， ∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当 D，Q，H 共线时，DQ+QH 的值最小，此时点 H 与 N 重合，点 Q 在线段 DN 上， ∴DQ+QH 的最小值为 3， ∴△DFQ 的周长的最小值为 2 +3，此时 Q（4，﹣ ）