2019年大庆市初中升学统一考试数学试题 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1．有理数-8的立方根为（ ）A．-2 B．2 C．±2 D．±4 【答案】A 2．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 3．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为 608000，这个数用科学记数法表示为（ A．60.8×104 B．6.08×105 【答案】B 4．实效 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）C．0.608×106 D．6.08×107 ）A． m n B． n | m | C． m | n | D．| m || n | nm0【答案】C 5．正比例函数 y=kx（k≠0）的函数值 y 随着 x 增大而减小，则一次函数 y=x+k 的图象大致 是（ ）yyyyOOOOxxxxA． B． C． D． 【答案】A 6．下列说法中不正确的是（ A．四边相等的四边形是菱形 ）B．对角线垂直的平行四边形是菱形 D．菱形的邻边相等 C．菱形的对角线互相垂直且相等 【答案】C 7．某企业 1-6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ A．1-6月份利润的众数是 130万元 ）B．1-6月份利润的中位数是 130万元 C．1-6月份利润的平均数是 130万元 D．1-6月份利润的极差是 40万元 【答案】D 1利润/万元 160 150 140 130 120 110 AEB0234561月份 CM7题图 8题图 8．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与 CE 相交于点 E，若∠A=60°，则∠BEC 是（ A．15° B．30° 【答案】B 9．—个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（ A．21πm3 B．30πm3 C．45πm3 D．63πm3 【答案】C 10．如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB=1，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 180°至 ）C．45° D．60° ）正方形 AB1C1D1，则线段 CD 扫过的面积为（ ）2A． B． C． D． 2 4【答案】B 746主视图 6左视图 CBDB1 C1 A俯视图 D1 9题图 10题图 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分，不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 11． a5 a3 _____． 【答案】 a2 212．分解因式： a2b ab2 a b _______________． 【答案】 (ab 1)(a b) 13．一个不透明的口袋中共有 8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外 都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是____． 2【答案】 514．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC，AC 的中点，AD 与 BE 相交于点 G，若 DG=1，则 AD=__________． 【答案】3 AEGBC①②③D14题图 15题图 15．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下 去，摆成第 n 个“T”字形需要的棋子个数为_________． 【答案】3n+2 16．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方 形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直 角三角形的两直角边长分别为 a、b，那么 (a b)2 的值是_________． 【答案】1 17．已知 x=4是不等式 ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式 ax-3a-1＜0的解，则实数 a 的取 值范围是_________． 【答案】a≤-1 118．如图，抛物线 y x2 （p＞0），点 F（0，p），直线 l：y=-p，已知抛物线上的点到 4p 点 F 的距离与到直线 l 的距离相等，过点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，AA1⊥l， BB1⊥l，垂足分别为 A1、B1，连接 A1F，B1F，A1O，B1O．若 A1F=a，B1F=b、则△A1OB1的面积 =__________．（只用 a，b 表示）． ab 【答案】 43yBFAOxlaA1 B1 b16题图 18题图 三、解答题（本大题共 10小题，共 66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题 4分） 计算： (2019 )0 |1 3 | sin 60 ．33解： (2019 )0 1 3 sin 60 : 1 3 1 ．2220．（本题 4分） 12已知：ab=1，b=2a-1，求代数式 的值． ab12b 2a 1 解：∵ab=1，b=2a-1，∴b-2a=-1，∴ 1 ．abab 121．（本题 5分） 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50台机器，现在生产 600台机器所需时间与原计划生 产 450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？ 解：设该工厂原来平均每天生产 x 台机器，则现在平均每天生产(x+50)台机器． 600 450 根据题意得 ，解得 x=150． x 50 x经检验知 x=150是原方程的根． 答：该工厂原来平均每天生产 150台机器． 22．（本题 6分） 如图，一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10km至 B 港，然后再沿北偏西 30°方向航行 10km至 C 港． （ 1） 求A ， C 两 港 之 间 的 距 离 （ 结 果 保 留 到0.1km， 参 考 数 据 ： ≈1.732）； （2）确定 C 港在 A 港的什么方向． 2≈1.414 ， 34北C东PBQMAN解 ：（ 1） 由 题 意 可 得 ， ∠PBC=30°， ∠MBB=60°， ∴∠CBQ=60°， ∠BAN=30°， ∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10，∴AC= AB2 BC2 =10 2≈14.1． 答：A、C 两地之间的距离为 14.1km． （2）由（1）知，△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°， ∴C 港在 A 港北偏东 15°的方向上． 23．（本题 7分） 某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级 m 名学生进行调查，将抽取学生的体 重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 体重（千克） 37.5≤x＜42.5 10 42.5≤x＜47.5 人数 ABCDEn47.5≤x＜52.5 40 52.5≤x＜57.5 20 57.5≤x＜62.5 10 BCAE20% D请根据图表信息回答下列问题： （1）填空：①m=_____，②n=_____，③在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等 于__________度； （2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A 组数据中间值为 40千克）， 则被调查学生的平均体重是多少千克？ （3）如果该校七年级有 1000名学生，请估算七年级体重低于 47.5千克的学生大约有多少 人？ 解：（1）①100，②20，③144； （2）被抽取同学的平均体重为： 4010 45 20 50 40 55 20 6010 50 ．100 5答：被抽取同学的平均体重为 50千克． 30 （3）1000 300 ．100 答：七年级学生体重低于 47.5千克的学生大约有 300人． 24．（本题 7分） 2m 如图，反比例函数 y 和一次函数 y=kx-1的图象相交于 A（m，2m），B 两点． x（1）求一次函数的表达式； 2m （2）求出点 B 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式 kx 1的 x 的取值范围． xyAOxB2m 解：（1）∵A(m，2m)在反比例函数图象上，∴ 2m ，∴m=1，∴A(1，2)． m又∵A(1，2)在一次函数 y=kx-1的图象上，∴2=k-1，即 k=3， ∴一次函数的表达式为：y=3x-1． 2y 2（2）由 解得 B( ，-3) x3y 3x 1 2m 23∴由图象知满足 kx 1的 x 取值范围为 x 0 或 x＞1． x25．（本题 7分） 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4．M、N 在对角线 AC 上，且 AM=CN，E、F 分别是 AD、BC 的中点． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）点 G 是对角线 AC 上的点，∠EGF=90°，求 AG 的长． EDAMNBCF（1）证明∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB = ∠NCD． 在△ABM 和△CDN 中， 6AB CD MAB NCD AM CN ∴△ABM≌△CDN； （2）解：如图，连接 EF，交 AC 于点 O． 在△AEO 和△CFO 中， AE CF EOA FOC EAO FCO ∴△AEO≌△CFO，∴EO=FO，AO=CO，∴O 为 EF、AC 中点． 13∵∠EGF=90°，OG EF ，∴AG=OA-OG =1或 AG=OA+OG=4， 22∴AG 的长为 1或 4． EDAMGONGBCF26．（本题 8分） 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点 D 从 B 出发，沿线段 BA 运动到 点 A 为止（不考虑 D 与 B，A 重合的情况），运动速度为 2cm/s，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE，设动点 D 运动的时间为 x（s），AE 的长为 y（cm）． （1）求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，△BDE 的面积 S 有最大值？最大值为多少？ ADEBC解：（1）动点 D 运动 x 秒后，BD=2x． 又∵AB=8，∴AD=8-2x． AD AE 6(8 2x) 3∵DE∥BC，∴ ，∴ AE 6 x， AB AC 823∴y 关于 x 的函数关系式为 y x 6(0＜x＜4)． 211233（2）解：S△BDE= BD AE 2x( x 6)= x2 6x (0＜x＜4)． 22276当x 2时，S△BDE 最大，最大值为 6cm2． 32 ( ) 227．（本题 9分） 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与⊙O 相交于 E，F 两点， P 是⊙O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）证明： EF 2 4OD OP ；2（3）若 BC=8，tan∠AFP= ，求 DE 的长． 3PPEECCDDABABOOFF27题图 27题备用图 （1）证明∵D 是弦 AC 中点，∴OD⊥AC，∴PD 是 AC 的中垂线，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°． 又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即 AB⊥PA，∴PA 是⊙O 的 切线； （2）证明：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°， AO DO ∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴ ，∴OA2 OP OD ．PO AO 11又OA EF ，∴ EF 2 OP OD ，即 EF 2 4OP OD ．241（3）解：在 Rt△ADF 中，设 AD=a，则 DF=3a．OD BC 4，AO=OF=3a-4． 224 32 5∵OD2 AD2 AO2 ，即 42 a2 (3a 4)2 ，解得 a ，∴DE=OE-OD=3a-8= ．528．（本题 9分） 如图，抛物线 y x2 bx c 的对称轴为直线 x=2，抛物线与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴 交于点 C，且点 A 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线 y x2 bx c 图象 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，保留抛物线在 x 轴上的 8点和 x 轴上方图象，得到的新图象与直线 y=t 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 D，E，F，G．当以 EF 为直径的圆过点 Q（2，1）时，求 t 的值； （3）在抛物线 y x2 bx c 上，当 m≤x≤n 时，y 的取值范围是 m≤y≤7，请直接写出 x 的取值范围． yyABABOOxxCC28题图 28题备用图 b 2 b 4 解：（1）抛物线的对称轴是 x=2，且过点 A(-1，0)点，∴ ，∴ ，2c 5 2(1) b (1) c 0 ∴抛物线的函数表达式为： y x2 4x 5 （2）解：∵ y x2 4x 5 (x 2)2 9，∴x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式 为： y x2 4x 5 (x 2)2 9 (-1＜x＜5)，其顶点为(2，9)． ；=∵新图象与直线 y=t 恒有四个交点，∴0＜t＜9． 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)． y t y x2 4x 5 由得x2 4x t 5 0 ，解得 x1 2 9 t ， x2 2 9 t ∵以 EF 为直径的圆过点 Q(2，1)，∴ EF 2t 1 x2 x1 ，1 33 即 2 9 t 2 | t 1|，解得t ．291 33 又∵0＜t＜9，∴t 的值为 ；2yEFAQBOxC5 3 5 （3）x 的取值范围是： 2 x 2 7 或 x 6 ．210
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