辽宁省大连市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年辽宁省大连市中考数学试卷一、选择题（本题共 10小題，每小題 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 2．（3分）如图是一个由 4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． C． B． D． 3．（3分）2019年 6月 5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重 58000kg，将数 58000用科学记数法表示为（　　） A．58×103 4．（3分）在平面直角坐标系中，将点 P（3，1）向下平移 2个单位长度，得到的点 P′的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1） 5．（3分）不等式 5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　） B．5.8×103 C．0.58×105 D．5.8×104 A． C． B． D． 6．（3分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等腰三角形 7．（3分）计算（﹣2a）3的结果是（　　） A．﹣8a3 B．﹣6a3 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形 C．6a3 D．8a3 8．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，若 AB＝4，BC＝8．则 D′F 的长 1为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2 10．（3分）如图，抛物线 y＝﹣ x2+ x+2与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 在抛物线上，且 CD∥AB．AD 与 y 轴相交于点 E，过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴，与拋物线相交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长为　　．二、填空题（本题共 6小题，每小題分，共 18分） 11．（3分）如图 AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　　°． 12．（3分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年齡的众数是　　． 213．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD．若 AB＝2，则 AD 的长为　． 14．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知 5个大桶加上 1个小桶可以盛酒 3斛（斛，音 hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上 5个小桶可以盛酒 2斛，问 1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意，可列方程组为　　． 15．（3分）如图，建筑物 C 上有一杆 AB．从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53°，观测旗杆底部 B 的仰角为 45°，则旗杆 AB 的高度约为　 °≈0.60，tan53°≈1.33）．　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53 16．（3分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的 A，B 两处同时出发，都以不变 3的速度相向而行，图 1是甲离开 A 处后行走的路程 y（单位：m）与行走时 x（单位：min）的函数图象，图 2 是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间 x （单位；min ）的函数图象，则 a ﹣b ＝　　．三、解答题（本题共 4小题，17、18、19题各 9分，20题 12分，共 39分） 17．（9分）计算：（ ﹣2）2+ +6 18．（9分）计算： ÷+19．（9分）如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE． 20．（12分）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级优秀频数（人）频率 15 0.3 良好及格不及格 5根据以上信息，解答下列问题（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为　被测试男生总人数的百分比为　%；　人，成绩等级为“及格”的男生人数占 4（2）被测试男生的总人数为　人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为　%；（3）若该校八年级共有 180名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．四、解答题（本共 3小，其中 21、22题各分，23题 10分，共 28分） 21．（9分）某村 2016年的人均收入为 20000元，2018年的人均收入为 24200元（1）求 2016年到 2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设 2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019年村该村的人均收入是多少元？ 22．（9分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，2）在反比例函数 y＝（x＞0）的图象上，点 B 在 OA 的廷长线上，BC⊥x 轴，垂足为 C，BC 与反比例函数的图象相交于点 D，连接 AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若 S△ACD ＝，设点C 的坐标为（a，0），求线段 BD 的长． 23．（10分）如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，过点 A 的切线与 CD 的延长线相交于点 P．且∠APC＝∠BCP （1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图 1中的点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E（如图 2），当 BC＝6，AE＝2时，求⊙O 的半径． 5五、解答题（本题共 3小题，其中 24题 11分，25、26題各 12分，共 35分） 24．（11分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝﹣ x+3与 x 轴，y 轴分别相交于点 A，B，点 C 在射线 BO 上，点 D 在射线 BA 上，且 BD＝ OC，以 CO，CD 为邻边作▱COED．设点 C 的坐标为（0，m），▱COED 在 x 轴下方部分的面积为 S．求：（1）线段 AB 的长；（2）S 关于 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围． 25．（12分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1，△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D、E 在 BC 上，AD＝AB，AB＝kBD （其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与 BC 相交于点 F，BG⊥AF，垂足为 G，探究线段 BG 与 AC 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE 与∠DAC 相等．” 小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系．” …… 老师：“保留原题条件，延长图 1中的 BG，与 AC 相交于点 H（如图 2），可以求出的值．” 6（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段 BG 与 AC 的数量关系（用含 k 的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含 k 的代数式表示）． 26．（12分）把函数 C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180°，得到新函数 C2的图象，我们称 C2是 C1关于点 P 的相关函数．C2的图象的对称轴与 x 轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t 的值为　　（用含 m 的代数式表示）（2）若 a＝﹣1，当 ≤x≤t 时，函数 C1的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1﹣y2＝1，求 C2的解析式；（3）当 m＝0时，C2的图象与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧）．与 y 轴相交于点 D．把线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90°，得到它的对应线段 A′D′，若线 A′D′与 C2的图象有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 72019年辽宁省大连市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10小題，每小題 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．【解答】解：﹣2的绝对值是 2．故选：A． 2．【解答】解：左视图有 3列，每列小正方形数目分别为 2，1，1．故选：B． 3．【解答】解：将数 58000用科学记数法表示为 5.8×104．故选：D． 4．【解答】解：将点 P（3，1）向下平移 2个单位长度，得到的点 P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣ 1），故选：A． 5．【解答】解：5x+1≥3x﹣1，移项得 5x﹣3x≥﹣1﹣1，合并同类项得 2x≥﹣2，系数化为 1得，x≥﹣1，在数轴上表示为：故选：B． 6．【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：C． 7．【解答】解：（﹣2a）3＝﹣8a3；故选：A． 8．【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： 8∴P 两次都是红球＝故选：D．．9．【解答】解：连接 AC 交 EF 于点 O，如图所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°， AC＝＝＝4 ，∵折叠矩形使 C 与 A 重合时，EF⊥AC，AO＝CO＝ AC＝2 ，∴∠AOF＝∠D＝90°，∠OAF＝∠DAC， ∴则 Rt△FOA∽Rt△ADC， ∴＝，即：＝，解得：AF＝5， ∴D′F＝DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：C． 10．【解答】解：当 y＝0时，﹣ x2+ x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0）；当 x＝0时，y＝﹣ x2+ x+2＝2， ∴点 C 的坐标为（0，2）；当 y＝2时，﹣ x2+ x+2＝2， 9解得：x1＝0，x2＝2， ∴点 D 的坐标为（2，2）．设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b（k≠0），将 A（﹣2，0），D（2，2）代入 y＝kx+b，得：，解得：，∴直线 AD 的解析式为 y＝ x+1．当 x＝0时，y＝ x+1＝1， ∴点 E 的坐标为（0，1）．当 y＝1时，﹣ x2+ x+2＝1，解得：x1＝1﹣ ，x2＝1+ ∴点 P 的坐标为（1﹣ ，1），点 Q 的坐标为（1+ ，1）， ∴PQ＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 故答案为：2 ，．．二、填空题（本题共 6小题，每小題分，共 18分） 11．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵BC∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130． 12．【解答】解：观察条形统计图知：为 25岁的最多，有 8人，故众数为 25岁，故答案为：25． 10 13．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵CD＝AC， ∴∠CAD＝∠D， ∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°， ∴AD＝＝＝2 ．故答案为 2 ．14．【解答】解：设 1个大桶可以盛酒 x 斛，1个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意得：故答案为，．15．【解答】解：在 Rt△BCD 中，tan∠BDC＝则 BC＝CD•tan∠BDC＝10，，在 Rt△ACD 中，tan∠ADC＝，则 AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3， ∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3． 16．【解答】解：从图 1，可见甲的速度为＝60，从图 2可以看出，当 x＝时，二人相遇，即：（60+V 已）× ＝120，解得：已的速度 V 已＝80， ∵已的速度快，从图 2看出已用了 b 分钟走完全程，甲用了 a 分钟走完全程， a﹣b＝＝，故答案为．三、解答题（本题共 4小题，17、18、19题各 9分，20题 12分，共 39分） 17．【解答】解：原式＝3+4﹣4 +2 +6× ＝3+4﹣4 +2 +2 ＝7． 11 18．【解答】解：原式＝ ×﹣＝＝﹣．19．【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即 BF＝CE，在△ABF 和△DCE 中，，∴△ABF≌△DCE（SAS） ∴AF＝DE． 20．【解答】解：（1）由统计图表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为 15人，被测试男生总数 15÷0.3＝50（人），成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比：，，故答案为 15，90；（2）被测试男生总数 15÷0.3＝50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比：故答案为 50，10；（3）由（1）（2）可知，优秀 30%，及格 20%，不及格 10%，则良好 40%，该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%＝72（人）答：该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 72人．四、解答题（本共 3小，其中 21、22题各分，23题 10分，共 28分） 21．【解答】解：（1）设 2016年到 2018年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．答：2016年到 2018年该村人均收入的年平均增长率为 10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测 2019年村该村的人均收入是 26620元． 22．【解答】解：（1）∵点 A（3，2）在反比例函数 y＝（x＞0）的图象上， 12 ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数 y＝；答：反比例函数的关系式为：y＝；（2）过点 A 作 AE⊥OC，垂足为 E，连接 AC，设直线 OA 的关系式为 y＝kx，将 A（3，2）代入得，k＝，∴直线 OA 的关系式为 y＝ x， ∵点 C（a，0），把 x＝a 代入 y＝ x，得：y＝ a，把 x＝a 代入 y＝，得：y＝ ∴B（a，），即BC═ a， D（a，），即CD＝ ∵S△ACD CD•EC＝，即，＝，∴，解得：a＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝＝3；答：线段 BD 的长为 3． 23．【解答】（1）证明：作 DF⊥BC 于 F，连接 DB， ∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°， ∴∠P＝∠DAC＝∠DBC， ∵∠APC＝∠BCP， 13 ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC， ∵DF⊥BC， ∴DF 是 BC 的垂直平分线， ∴DF 经过点 O， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠BDC＝2∠ODC， ∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；（2）解：∵DF 经过点 O，DF⊥BC， ∴FC＝ BC＝3，在△DEC 和△CFD 中，，∴△DEC≌△CFD（AAS） ∴DE＝FC＝3， ∵∠ADC＝90°，DE⊥AC， ∴DE2＝AE•EC，则 EC＝＝，，∴AC＝2+ ＝∴⊙O 的半径为．14 五、解答题（本题共 3小题，其中 24题 11分，25、26題各 12分，共 35分） 24．【解答】解：（1）当 x＝0时，y＝3，当 y＝0时，x＝4， ∴直线 y＝﹣ x+3与 x 轴点交 A（4，0），与 y 轴交点 B（0，3） ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝，因此：线段 AB 的长为 5．（2）当 CD∥OA 时，如图， ∵BD＝ OC，OC＝m， ∴BD＝ m，由△BCD∽△BOA 得：，即：，解得：m＝； ①当 0＜m≤ 时，如图1所示：DE＝m≤ ，此时点E 在△AOB 的内部， S＝0 （0＜m≤ ）； ②当＜m≤3时，如图 2所示：过点 D 作 DF⊥OB，垂足为 F，此时在 x 轴下方的三角形与△CDF 全等， ∵△BDF∽△BAO， ∴，∴DF＝，同理：BF＝m， ∴CF＝2m﹣3， 15 ∴S△CDF 即：S＝ m2﹣4m，（＜m≤3） ③当 m＞3时，如图 3所示：过点 D 作 DF⊥y 轴，DG⊥x 轴，垂足为、FG，同理得：DF＝，BF＝m， ∴OF＝DG＝m﹣3，AG＝ m﹣4，＝＝（2m﹣3）× ＝m2﹣4m， ∴S＝S△OGE﹣S△ADG ∴S＝＝＝，（m＞3）答：S＝ 16 25．【解答】证明：（1）∵AB＝AD ∴∠ABD＝∠ADB ∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE ∴∠BAE＝∠DAC （2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β ∴∠ABC＝∠ADB＝α+β ∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC ∴∠EAC＝2β ∵AF 平分∠EAC ∴∠FAC＝∠EAF＝β ∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β ∴AF＝FC，AF＝BF ∴AF＝ BC＝BF ∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90° ∴△ABG∽△BCA 17 ∴∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB ∴△ABF∽△BAD ∴，且 AB＝kBD，AF＝ BC＝BF ，即 ∴k＝ ∴（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90° ∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC ∴△ABH∽△ACB ∴∴AB2＝AC×AH 设 BD＝m，AB＝km， ∵∴BC＝2k2m ∴AC＝＝km ∴AB2＝AC×AH （km）2＝km ×AH ∴AH＝ ∴HC＝AC﹣AH＝km ﹣＝∴26．【解答】解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点 P（m，0）旋转 180°的对称点为（2m﹣1，4a）， C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1， t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时， 18 C1：y＝（x﹣1）2﹣4， ①当 t＜1时， x＝时，有最小值y2＝ x＝t 时，有最大值 y1＝﹣（t﹣1）2+4，则 y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣ ＝1，无解； ②1≤t 时，，x＝1时，有最大值 y1＝4， x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝ ≠1（舍去）； ③当 t 时， x＝1时，有最大值 y1＝4， x＝t 时，有最小值 y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或 2（舍去 0），故 C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0， C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点 A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当 a＞0时，a 越大，则 OD 越大，则点 D′越靠左，当 C2过点 A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝当 C2过点 D′时，同理可得：a＝1，，故：0＜a 或 a≥1；当 a＜0时， 19 当 C2过点 D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣ 故：a≤﹣ 综上，故：0＜a ，；或 a≥1或 a≤﹣ ．20