2019 年陕西中考数学 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 01. 计算： -3 （） 13A. B. C. 3D. 10A【答案】 【解析】 【分析】 直接根据 0 指数幂的含义进行解答即可. 0【详解】 -3 1， 故选 A. 【点睛】本题考查了 0 指数幂，熟练掌握“任何非 0 数的 0 次幂都等于 1”是解题的关键. 2. 如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可. 【详解】俯视图为从上往下看， 所以小正方形应在大正方形的右上角， 故选 D. 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键. 3. 如图，OC 是∠AOB 的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2 的度数为（ ）A. B. C. D. 69° 52° 54° 64° C【答案】 【解析】 【分析】 先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOB=128°，再根据角平分线的定义得到∠BOC=64°，继而根据平行 线的性质即可求得答案. 【详解】∵l//OB， ∴∠1+∠AOB=180°， ∴∠AOB=128°， ∵OC 平分∠AOB， ∴∠BOC=64°， 又∵l//OB， ∴∠2=∠BOC=64°， 故选 C. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. y 2x 4. 若正比例函数 的图象经过点 O（a-1,4）,则 a 的值为（ B. C. ）A. D. 2-1 01A【答案】 【解析】 【分析】 把点(a-1，4)直接代入正比例函数 y=-2x 中求解即可. y 2x 【详解】∵函数 过 O(a-1,4)， 2(a 1) 4 ∴∴，，a 1 故选 A. 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例 函数的解析式是解题的关键. 5. 下列计算正确的是（ ）23a2b 6a4b2 2a2 3a2 6a2 A. C. B. D. 2a b a2 b2 a2 2a2 a2 D【答案】 【解析】 【分析】 根据单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，合并同类项法则逐一进行计算即可. 4 ，故 A 选项错误； 2a2 3a2 6a 【详解】A. 23a2b 9a4b2 ，故 B 选项错误； B. 2a b a2 2ab b2 ，故 C 选项错误； C. D. a2 2a2 a 2 ，正确， 故选 D. 【点睛】本题考查了单项式乘法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项等运算，熟练掌握各运算的运算 法则是解题的关键. 6. 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E。若 DE=1， 则 BC 的长为（ ）A. B. C. D. 32+ 2 3 3 2 2A【答案】 【解析】 【分析】 如图，过点 D 作 DF⊥AC 于 F，由角平分线的性质可得 DF=DE=1，在 Rt△BED 中，根据 30 度角所对直角 边等于斜边一半可得 BD 长，在 Rt△CDF 中，由∠C=45°，可知△CDF 为等腰直角三角形，利用勾股定理可 求得 CD 的长，继而由 BC=BD+CD 即可求得答案. 【详解】如图，过点 D 作 DF⊥AC 于 F， ∵AD 为∠BAC 的平分线，且 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∴DF=DE=1， 在 Rt△BED 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， 在 Rt△CDF 中，∠C=45°， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴CF=DF=1， DF2 CF2 ∴CD= =，2∴BC=BD+CD= 故选 A. ，2 2 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线， 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. y 3x 7. 在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标为 （）A. B. C. D. (-6,0) (2,0) (-2,0) (6,0) B【答案】 【解析】 【分析】 先求出平移后的解析式，继而令 y=0，可得关于 x 的方程，解方程即可求得答案. y 3x y 3x 6 【详解】根据函数图象平移规律，可知 向上平移 6 个单位后得函数解析式应为 ，xy 0 此时与 轴相交，则 ，即 ，∴，3x 6 0 x 2 ∴点坐标为(-2，0)， 故选 B. 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解 题的关键. 8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=6，若点 E，F 分别在 AB,CD 上，且 BE=2AE，DF=2FC，G，H 分 别是 AC 的三等分点，则四边形 EHFG 的面积为（ ）3A. B. C. D. 4122C【答案】 【解析】 【分析】 如图，延长 FH 交 AB 于点 M，由 BE＝2AE，DF＝2FC，G、H 分别是 AC 的三等分点，证明 EG//BC， FH//AD，进而证明△AEG∽△ABC，△CFH∽△CAD，进而证明四边形 EHFG 为平行四边形，再根据平行 四边形的面积公式求解即可. 【详解】如图，延长 FH 交 AB 于点 M， ∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF， ∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3， 又∵G、H 分别是 AC 的三等分点， ∴AG：AC=CH：AC=1：3， ∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA， ∴EG//BC，FH//AD， ∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B， ∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3， ∵四边形 ABCD 是矩形，AB=3，BC=6， ∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°， ∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1， ∴EM=3-1-1=1，EG=FH， / / ∴EG FH， ∴四边形 EHFG 为平行四边形， ∴S 四边形 EHFG＝2×1=2， 故选 C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活 运用相关内容是解题的关键. 9. 如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且 EF=EB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF，若 ∠AOF=40°，则∠F 的度数是（ ）A. B. C. D. 55° 20° 35° 40° B【答案】 【解析】 【分析】 连接 FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出 ∠OFB、∠EFB 的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB 即可求得答案. 【详解】连接 FB， 则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°， 1∴∠FEB＝ ∠FOB=70°， 2∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°， ∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°， 故选 B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关 知识是解题的关键. y x2 2m 1 x 2m 4 y x2 3m n x n 10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与关于 y 轴对 称，则符合条件的 m，n 的值为（ ）5m= ,n= 718 7A. -B. C. D. m=5，n= -6 m= -1，n=6 m=1，n= -2 D【答案】 【解析】 【分析】 由两抛物线关于 y 轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于 y 轴对称，与 y 轴交于同一点，由此可得二次项 系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于 m、n 的方程组，解方程组即可得. 【详解】关于 y 轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数， 2m 1 3m n n 2m 4 ∴，m 1 解之得 ，n 2 故选 D. 【点睛】本题考查了关于 y 轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键. 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 1311. 已知实数 ___ ，其中为无理数的是 .，0.16， ，，，3425 23【答案】 3,，4 【解析】 【分析】 根据无理数概念结合有理数概念逐一进行分析即可. 1【详解】 是有理数，0.16 是有理数， =5 是有理数， 3 是无理数， 是无理数， 是无理数， 3425 23所有无理数 故答案为： 是，，，343，，.34【点睛】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：①π 类，如 2π，3π 等；②开方 3开不尽的数，如 ，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如 0.1010010001…，等.注意解答此类问题 52时，常常要结合有理数概念来求解. 12. 若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线长为 ___ .【答案】6. 【解析】 【分析】 根据正六边形的半径就是其外接圆半径，则最长的对角线就是外接圆的直径，据此进行求解即可. 360 【详解】正六边形的中心角为 =60°， 6∴△AOB 是等边三角形， ∴OB=AB=3， ∴BE=2OB=6， 即正六边形最长的对角线为 6， 故答案为：6. 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是 解题的关键. 13. 如图，D 是矩形 AOBC 的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点 D，交 AC 于 ___ 点 M，则点 M 的坐标为 .3( ,4) 【答案】 2【解析】 【分析】 如图，连接 AB，作 DE⊥OB 于 E，根据矩形是中心对称图形可得 D 是 AB 的中点，继而求出点 D 的坐标， ky D(3,2)，设反比例函数的解析式为 ，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据点 MM 的纵 x坐标和 A 的纵坐标相同，继而可求得点 M 的横坐标，由此即可得答案. 【详解】如图，连接 AB，作 DE⊥OB 于 E， ∴DE∥y 轴， ∵D 是矩形 AOBC 的中心， ∴D 是 AB 的中点， ∴DE 是△AOB 的中位线， ∵OA=4，OB=6， 11∴DE= OA=2，OE= OB=3， 22∴D(3,2)， kxy y 设反比例函数的解析式为 ，，∴，k 32 6 6∴反比例函数的解析式为 x∵AM∥x 轴， ∴M 的纵坐标和 A 的纵坐标相等为 4， 6632y 把 y=4 代入 ，得 4= ，解得：x= ，xx3∴M 点的横坐标为 ，23( ,4) ∴点 M 的坐标为 ，23( ,4) 故答案为： .2【点睛】本题考查了矩形的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线等知识，熟练掌握 和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 14. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 ___ BM=6. P 为对角线 BD 上一点，则 PM—PN 的最大值为 .【答案】2. 【解析】 【分析】 PN PN 如图所示，以 BD 为对称轴作 N 的对称点 ，连接 ，根据对称性质可知， ，由此可得 NPN P, M , N ，当 三点共线时，取“=”，此时即 PM—PN 的值最大，由正方形的性质求出 AC PM PN MN CM CN 13的 长 ， 继 而 可 得 ，， 再 证 明 ， 可 得PM∥AB∥CD ， AN 6 2 ON ON 2 2 BM AN ∠90°，判断出△ 为等腰直角三角形，求得 长即可得答案. CMN N CM N M ，∴ PN PN 【详解】如图所示，以 BD 为对称轴作 N 的对称点 ，连接 ，根据对称性质可知， NPN P, M , N ，当 三点共线时，取“=”， PM PN MN ∵正方形边长 为8， ∴AC= AB= ，28 2 ∵O 为 AC 中点， ∴AO=OC= ，4 2 ∵N 为 OA 中点， ∴ON= ，2 2 ∴∴，ON ON 2 2 ，AN 6 2 ∵BM=6， ∴CM=AB-BM=8-6=2， CM CN 13∴，BM AN ∴PM∥AB∥CD，∠ 90°， CMN ∵∠ =45°， N CM ∴△ 为等腰直角三角形， N CM ∴CM= =2， N M 故答案为：2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题 等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 三、解答题（共 78 分） 2 1 315. 计算： -2 -27 1- 3- 2 【答案】1＋ 3【解析】 【分析】 按顺序先分别进行立方根的运算、绝对值的化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】原式＝－2×(－3)＋ －1－4 3＝1＋ .3【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了立方根、负整数指数幂等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的 关键. a 2 8a a 2 16. 化简： a 2 a2 4 a2 2a 【答案】a 【解析】 【分析】 括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除运算即可. 2a 2 8a aa 2 【详解】原式＝ a 2 a 2 a 2 2a 2 a a 2 =a 2 a 2 a 2 =a. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 17. 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC 的外接圆。（保留作图 痕迹，不写做法） .【答案】如图所示见解析 【解析】 【分析】 分别以 A、C 为圆心，大于 AC 的一半长为半径画弧，两弧在 AC 的两侧分别交于两点，过这两点作直线， 与 AD 交于点 O，然后以点 O 为圆心，以 AO 长为半径画圆即可. 【详解】如图所示，⊙O 即为△ABC 的外接圆. 【点睛】本题考查了尺规作图——三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分 线的交点是解题的关键. 18. 如图，点 A，E，F 在直线 l 上，AE=BF，AC//BF，且 AC=BD，求证：CF=DE .【答案】见解析 【解析】 【分析】 利用 SAS 证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得. 【详解】∵AE＝BF， ∴AF＝BE， ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE， 又 AC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SAS)， ∴CF＝DE. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键. 19. 本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代” 为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书 量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 （2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数； ；（3）已知该校七年级有 1200 名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为 5 本的学生人数。 【答案】（1）如图所示，众数为 3（本）；（2）平均数为 3；（3）四月份“读书量”为 5 本的学生人数为 120 人. 【解析】 【分析】 的(1)根据读书量为 1 本 人数以及所占的百分比求出本次所抽取的学生数，然后乘以读书量为4 本的百分比 求出 4 本的人数，据此补全条形图，用 1 减去其余的百分比求出 3 本的百分比，据此补全扇形图，根据条 形图即可求得众数； (2)根据条形图利用加权平均数公式进行求解即可； (3)用 1200 乘以 5 本所占的比例即可得. 【详解】(1)抽取的学生数为：3÷5%=60 人， 读书量为 4 本的人数为：60×20%=12(人)， 读书量为 3 本的人数所占的百分比为：1-5%-30%-20%-10%=35%， 补全统计图如图所示： 读书量为 3 本的人数最多，所以“读书量”的众数为：3， 故答案为：3. 31182 213124 65 3 (2)平均数= ；318 2112 6 61200 120 (3)四月份“读书量”为 5 本的学生人数= (人). 60 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等，从不同的统计图中获取必要的信息是 解题的关键. 的20. 小明利用刚学过 测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工 具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 B，如图所示。于是他们先在古树周围的空 地上选择一点 D，并在点 D 处安装了测量器 DC，测得古树的顶端 A 的仰角为 45°；再在 BD 的延长线上确 定一点 G，使 DG=5 米，并在 G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方向移动，当移动带 点 F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG=2 米，小明眼睛与地面的距离 EF=1.6 米，测倾器的高度 CD=0.5 米。已知点 F、G、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、AB 均垂直于 FB，求这棵古树的高度 AB。（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】这棵古树的高 AB 为 18m． 【解析】 【分析】 如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则 CH＝BD，BH＝CD＝0.5，继而可得 AB＝BD＋0.5，再证明△EFG∽△ABC， EF FG 1.6 2根据相似三角形的性质得 ，即 ，由此求得 BD 长，即可求得 AB 长. AB BG BD 0.5 5 BD 【详解】如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H， 则 CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 在 Rt△ACH 中，∠ACH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°， 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， EF FG 1.6 2∴，即 ，AB BG BD 0.5 5 BD 解得：BD＝17.5， ∴AB=17.5＋0.5＝18(m)， ∴这棵古树的高 AB 为 18m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是 解题的关键. 21. 根据记录，从地面向上 11km 以内，每升高 1km，气温降低 6℃；又知在距离地面 11km 以上高空，气温 几乎不变。若地面气温为 m（℃），设距地面的高度为 x（km）处的气温为 y（℃） （1）写出距地面的高度在 11km 以内的 y 与 x 之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机 外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为 7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时 在距离地面 12km 的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面 12km 时，飞机外的气 温。 【答案】(1)y＝m－6x；(2)当时飞机距地面 12km 时，飞机外的气温为－50℃ 【解析】 【分析】 (1)根据从地面向上 11km 以内，每升高 1km，气温降低 6℃即可写出函数表达式； (2)将 x＝7，y＝－26 代入(1)中的解析式可求得当时地面的气温；根据地面气温以及飞机的高度利用(1)中的 解析式即可求得飞机距离地面 12km 时，飞机外的气温. 【详解】(1) ∵从地面向上 11km 以内，每升高 1km，气温降低 6℃，地面气温为 m(℃)，距地面的高度为 x(km) 处的气温为 y(℃)， ∴y 与 x 之间的函数表达式为：y＝m－6x(0≤x≤11)； (2)将 x＝7，y＝－26 代入 y＝m－6x，得－26＝m－42， ∴m＝16， ∴当时地面气温为 16℃； ∵x＝12＞11， ∴y＝16－6×11＝－50(℃)， 假如当时飞机距地面 12km 时，飞机外的气温为－50℃. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键. 22. 现有 A、B 两个不透明袋子，分别装有 3 个除颜色外完全相同的小球。其中，A 袋装有 2 个白球，1 个红 球；B 袋装有 2 个红球，1 个白球。 （1）将 A 袋摇匀，然后从 A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 A，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球， 若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则 对双方是否公平。 2【答案】(1)P(摸出白球)＝ ；(2)这个游戏规则对双方不公平. 3【解析】 【分析】 (1)根据 A 袋中共有 3 个球 ，其中2 个是白球，直接利用概率公式求解即可； (2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可. 【详解】(1)A 袋中共有 3 个球，其中有 2 个白球， 2∴P(摸出白球)＝ ；3(2)根据题意，列表如下： 红 1 红 2 白白 1 白 2 红(白 1，红 1) (白 2，红 1) (红，红 1) (白 1，红 2) (白 2，红 2) (红，红 2) (白 1，白) (白 2，白) (红，白) 由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色相同的结果有 4 种，颜色不同的结果有 5 种， 459∴P(颜色相同)＝ ，P(颜色不同)＝ ，94959∵＜，∴这个游戏规则对双方不公平. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比． 23. 如图，AC 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线。作 BM=AB 并与 AP 交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E， 交⊙O 于点 D，连接 AD. （1）求证：AB=BE； （2）若⊙O 的半径 R=5，AB=6，求 AD 的长. 48 5【答案】(1)见解析；(2) AD＝ 。【解析】 【分析】 (1)由切线的性质可得∠BAE＋∠MAB＝90°，进而得∠AEB＋∠AMB＝90°，由等腰三角形的性质得∠MAB＝ ∠AMB，继而得到∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边即可得结论； (2)连接 BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，利用勾股定理可求得 BC=8，证明 AC BC 48 5△ABC∽△EAM，可得∠C＝∠AME， ，可求得 AM＝ ，再由圆周角定理以及等量代换可得∠D EM AM 48 ＝∠AMD，继而根据等角对等边即可求得 AD＝AM＝ .5【详解】(1)∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠EAM＝90°， ∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°， 又∵AB＝BM， ∴∠MAB＝∠AMB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE； (2)连接 BC， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90° 在 Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6， AC2 AB2 ∴BC＝ =8， 由(1)知，∠BAE＝∠AEB， 又∠ABC=∠EAM=90°， ∴△ABC∽△EAM， AC BC ∴∠C＝∠AME， ，EM AM 10 8即，12 AM 48 ∴AM＝ ，5又∵∠D＝∠C， ∴∠D＝∠AMD， 48 ∴AD＝AM＝ 5.【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知 识，准确识图，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. y ax2 c a x c 经过点 A（-3，0）和点 B（0，-6），L 关 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 L： 于原点 O 对称的抛物线为 .L（1）求抛物线 L 的表达式； （2）点 P 在抛物线 上，且位于第一象限，过点P 作 PD⊥y 轴，垂足为 D.若△POD 与△AOB 相似，求符 L合条件的点 P 的坐标. 3234【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点 P 的坐标为(1，2)或(6，12)或( ，)或(4，2)。 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可得； (2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点 A(-3，0)、B(0，-6)在 L′上的对应点分别为 A′(3，0)、B′(0，6)， 利用待定系数法求得抛物线 L′的表达式为 y＝x2－5x＋6，设 P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据 PD⊥y 轴，可 得点 D 的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得 PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由 Rt△POD 与 Rt△AOB 相似，分 Rt△PDO∽Rt△AOB 或 Rt△ODP∽Rt△AOB 两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得. 9a 3 c a c 0 【详解】(1)由题意，得 ，c 6 a 1 c 6 解得： ，∴L：y=－x2－5x－6； (2)∵抛物线 L 关于原点 O 对称的抛物线为 ，L∴点 A(-3，0)、B(0，-6)在 L′上的对应点分别为 A′(3，0)、B′(0，6)， ∴设抛物线 L′的表达式 y＝x2＋bx＋6， 将 A′(3，0)代入 y＝x2＋bx＋6，得 b＝－5， ∴抛物线 L′的表达式为 y＝x2－5x＋6， ∵A(－3，0)，B(0，－6)， ∴AO＝3，OB＝6， 设 P(m，m2－5m＋6)(m＞0)， ∵PD⊥y 轴， ∴点 D 的坐标为(0，m2－5m＋6)， ∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6， ∵Rt△PDO 与 Rt△AOB 相似， ∴有 Rt△PDO∽Rt△AOB 或 Rt△ODP∽Rt△AOB 两种情况， PD OD mm2 5m 6 ，①当 Rt△PDO∽Rt△AOB 时，则 ，即 AO BO 36解得 m1＝1，m2＝6， ∴P1(1，2)，P2(6，12)； PD OD mm2 5m 6 ，②当 Rt△ODP∽Rt△AOB 时，则 ，即 BO AO 633解得 m3＝ ，m4＝4， 2323∴P3( ，)，P4(4，2)， 4∵P1、P2、P3、P4 均在第一象限， 3234∴符合条件的点 P 的坐标为(1，2)或(6，12)或( ，)或(4，2). 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形 的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键. 25. 问题提出： （1）如图 1，已知△ABC，试确定一点 D，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这 个平行四边形； 问题探究： （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝ 90°，求满足条件的点 P 到点 A 的距离； 问题解决： 3（ ）如图3，有一座草根塔 A，按规定，要以塔 A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形 的草根景区 BCDE。根据实际情况，要求顶点 B 是定点，点 B 到塔 A 的距离为 50 米，∠CBE=120°，那么， 是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形 BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔 A 的占地面积忽略不计） 1D2【答案】（ ）点所在的位置见解析；（ ）AP的长为 2或 8；（3）可以，符合要求的□BCDE 的最大面积 2为.5000 3m 【解析】 【分析】 (1)根据平行四边形的特点，分三种情况利用平移的性质得到点 D 的位置即可； (2)由题意可知点 P 在边 AD 上时，△BPC 的面积最大，为满足∠BPC＝90°，根据 AB 比 BC 的一半小，以 BC 为直径画圆，圆与 AD 的交点即可满足条件的点 P，然后根据已知条件利用勾股定理进行求解即可； (3)可以，如图所示，连接 BD，由已知可得 BD=100，∠BED=60°，作△BDE 的外接圆⊙O，则点 E 在优弧 BD 上，取 的中点 ，则可得△ E B, E D E O C并延长，经过点 A 至 ， ，连接 BE D 为正三角形，连接 EBED BC ,C D 使，连接 ，可得四边形 为菱形，且∠ °，作 EF⊥BD，垂足为 F， C BE120 E A AC E BC D 11SBD EF BD E A S 连接 EO，则 可求得答案. ，则有 BE D ，据此即 EF EO OA E O OA E A BDE 22【详解】(1)如图所示，有三个符合条件的平行四边形； (2)如图， ∵AB=4，BC=10， ∴取 BC 的中点 O，则 OB＞AB， P, P ∴以点 O 为圆心，OB 长为半径作⊙O，⊙O 一定于 AD 相交于 2 两点， 1PB, PO, PC 连接 ，111∵∠BPC=90°，点 P 不能在矩形外； PP∴△BPC 的顶点 P 在 1 或 2 位置时，△BPC 的面积最大， PE AP BE OB OE 53 2 作⊥BC，垂足为 E，则 OE=3，∴ AP 8 ，11由对称性得 ，2综上可知 AP 的长为 2 或 8； (3)可以，如图所示，连接 BD， ∵A 为平行四边形 BCDE 的对称中心，BA=50，∠CBE=120°， ∴BD=100，∠BED=60°， 作△BDE 的外接圆⊙O，则点 E 在优弧 上，取 的中点 ，E B, E D ，连接 EBED BD 则，且∠ =60°，∴△ BE D 为正三角形， E B E D BE D BC ,C D ，连接 并延长，经过点 A 至 C，使 ，连接 E O E A AC ∵⊥BD， E A ∴四边形 为菱形，且∠ °， E BC D C BE120 作 EF⊥BD，垂足为 F，连接 EO，则 ，EF EO OA E O OA E A 121SSBD EF BD E A SBE D ∴∴，BDE 2 S菱形BC DE =2SBDE 1002 sin 60 5000 3(m2 ) ，BCDE 2所以符合要求的□BCDE 的最大面积为 .5000 3m 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性 质等，综合性较强，难度较大，正确画出符合题意的图形是解题的关键.
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