精品解析：2019年湖南省永州市中考数学试卷（解析版）

2019 年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（每小题 4 分，本大题共 10 个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题 4 分，共 40 分） 1. ﹣2 的绝对值等于（　　） 112A. B. C. D. 2﹣﹣2 2B【答案】【解析】【详解】解：|-2|=2．故选 D． 2. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3. 2019 年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客 140.42 万人次，实现旅游综合收入 8.94 亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（　　） 6589A. B. C. D. 0.894×10 1.4042×10 14.042×10 8.94×10 C【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【详解】将 8.94 亿用科学记数法表示为 8.94×108，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4. 某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了 8 块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（　　） A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．【详解】观察图形可知，这块西瓜的三视图是．故选：B．【点睛】此题主要考查了三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法． 5. A. 下列运算正确的是（　　） 235（a3）2＝a5 B. D. a +a ＝a （a•b）2＝a2•b2 C. a  b  a  b C【答案】【解析】【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝a6，不符合题意； C、原式＝a2b2，符合题意； D、原式不能合并，不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是 3，则 x 的值为（　　） A. B. C. D. 4123B【答案】【解析】【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，x 共有 6 个数，最中间的数只能为 x 和 4，然后根据它们的中位数为 3，即可求出 x 的值．【详解】数据 1，4，3，2，4，x 中共有 6 个数，该组数据的中位数是 3， x  3 32解得 x＝3．故选：B．【点睛】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B. 有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45° 点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 C. D. D【答案】【解析】【分析】根据去全等三角形的判定方法得出 A 不正确；由矩形的判定方法得出 B 不正确；由补角的定义得出 C 不正确；由点到直线的距离的定义得出 D 正确；即可得出结论．【详解】A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确； B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45°；不正确； D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键． 8. 如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且点 O 是 BD 的中点，若 AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝ ∠CDB，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A. B. C. D. 15 40 24 20 B【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到 AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到 AD=CD，推出四边形 ABCD 是菱形，根据勾股定理得到 AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点 O 是 BD 的中点， ∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO， ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AB＝CD， ∴四边形 ABCD 是菱形， 1∵AB＝5，BO ∴AO＝3， BD＝4， 2∴AC＝2AO＝6， 1  ∴四边形 ABCD 的面积故选：B． 6×8＝24， 2的【点睛】本题考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 9. 某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于 4：5：4：2，各基地之间的距离之比 a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（　　） A. B. C. D. 丁甲乙丙A【答案】【解析】【分析】设甲基地的产量为 4x 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为 5x 吨、4x 吨、2x 吨，设 a=2y 千米，则 b、c、 d、e 分别为 3y 千米、4y 千米、3y 千米、3y 千米，设运输的运费每吨为 z 元/千米， ①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z=28xyz； ②设在乙处建总仓库，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z=30xyz； ③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z=35xyz； ④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z=53xyz；进行比较运费最少的即可．【详解】∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于 4：5：4：2，设甲基地的产量为 4x 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为 5x 吨、4x 吨、2x 吨， ∵各基地之间的距离之比 a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，设 a＝2y 千米，则 b、c、d、e 分别为 3y 千米、4y 千米、3y 千米、3y 千米，设运输的运费每吨为 z 元/千米， ①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz； ②设在乙处建总仓库， ∵a+d＝5y，b+c＝7y， ∴a+d＜b+c，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz； ③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz； ④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；由以上可得建在甲处最合适，故选：A．【点睛】本题考查了三元一次方程的应用；设出未知数，求出各个运费是解题的关键． 2x  6  m＜0 4x  m＞0 10. 若关于 x 的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　） A. B. C. D. 4123C【答案】【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出 m＜4，然后分别取 m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解． 6  m 2＜【详解】解不等式 2x﹣6+m＜0，得：x ，m＞解不等式 4x﹣m＞0，得：x ，4∵不等式组有解， m6  m 2＜∴，4解得 m＜4，如果 m＝2，则不等式组的解集为 1＜m＜2，整数解为 x＝1，有 1 个； 2如果 m＝0，则不等式组的解集为 0＜m＜3，整数解为 x＝1，2，有 2 个； 172 ＜＜如果 m＝﹣1，则不等式组的解集为故选：C． m，整数解为 x＝0，1，2，3，有 4 个； 4【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．二、填空题（本大题共 8 个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题 4 分，共 32 分） 211. 分解因式： _____________ ．=x  2x 1 【答案】 (x 1)2 【解析】 2分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 2×2+2x+1= x+1 解：（）． 2112. 方程 _____ 的解为 x＝． x 1 x【答案】﹣1 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到方程的解．【详解】去分母得：2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，经检验 x＝﹣1 是分式方程的解，故答案为：﹣1 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13. 使代数式 x有意义的的取值范围是．x 1 【答案】【解析】。x 1 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。x 1 0  x 1 x 1 14. 下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为 100 分）的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲乙90 90 88 91 92 93 94 94 91 92 _____ 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是．【答案】乙．【解析】【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 1【详解】甲同学的平均数是：（90+88+92+94+91）＝91（分）， 51甲同学的方差是： [（90﹣91）2+（88﹣91）2+（92﹣91）2+（94﹣91）2+（91﹣91）2]＝4， 51乙同学的平均数是：（90+91+93+94+92）＝92（分）， 51乙同学的方差是： [（90﹣92）2+（91﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（92﹣92）2]＝2， 5∵S 甲 2＝4＞S 乙 2＝2，方差小的为乙， ∴成绩较好且比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．熟练掌握求方差的公式是本题解题的关键. 15. 已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线 DE⊥OA，垂足为点 E，且 _____ 直线 DE 交 OB 于点 F，如图所示．若 DE＝2，则 DF＝．【答案】4．【解析】【分析】过点D 作 DM⊥OB ，垂足为M ，则DM=DE=2 ，在Rt△OEF 中，利用三角形内角和定理可求出 ∠DFM=30°，在 Rt△DMF 中，由 30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出 DF 的长，此题得解．【详解】过点 D 作 DM⊥OB，垂足为 M，如图所示． ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴DM＝DE＝2．在 Rt△OEF 中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°， ∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在 Rt△DMF 中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°， ∴DF＝2DM＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含 30 度角的直角三角形，利用角平分线的性质及 30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出 DF 的长是解题的关键． 16. 如图，已知点 F 是△ABC 的重心，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E，连接 CF 并延长，交 AB 于点 D，过 _____ 点 F 作 FG∥BC，交 AC 于点 G．设三角形 EFG，四边形 FBCG 的面积分别为 S1，S2，则 S1：S2＝．1【答案】．8【解析】【分析】 2S1 11  由三角形的重心定理得出 BF=2EF，得出 BE=3EF，由平行线得出△EFG∽△EBC，∴得出，  SEBC 3  9即可得出结果．【详解】∵点 F 是△ABC 的重心， ∴BF＝2EF， ∴BE＝3EF， ∵FG∥BC， ∴△EFG∽△EBC， S1 EF BE 1313192∴，（），SEBC ∴S1：S2； 1故答案为：．8【点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键． 317. 如图，直线 y＝4﹣x 与双曲线 y 交于 A，B 两点，过 B 作直线 BC⊥y 轴，垂足为 C，则以 OA 为直径 x_____ 的圆与直线 BC 的交点坐标是．【答案】（﹣1，1）和（2，1）．【解析】【分析】求得交点 A、B的坐标，即可求得直径 AB的长度和 P点的坐标，从而求得 PE的长度，利用勾股定理求得 3EM=EN= ，结合 P的坐标即可求得以 OA为直径的圆与直线 BC的交点坐标． 2y  4  x x 1 y  3 x  3 y 1 【详解】由求得或，3y  x∴A（1，3），B（3，1）， 22∴OA ， 3 1  10 设 OA 的中点为 P，以 AB 为直径的⊙P 与直线 BC 的交点为 M、N，过 P 点作 PD⊥x 轴于 D，交 BC 于 E，连接 PN， ∵P 是 OA 的中点， 1232∴P（，）， 3∴PD ，2∵BC⊥y 轴，垂足为 C， ∴BC∥x 轴， ∴PD⊥BC， 32121∴PE ，10 213222)2  ( )2  在 Rt△PEN 中，EM＝EN ， PN  PE  ( 2∴M（﹣1，1），N（2，1）． ∴以 OA 为直径的圆与直线 BC 的交点坐标是（﹣1，1）和（2，1），故答案为（﹣1，1）和（2，1）．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的交点问题，垂径定理，勾股定理的应用，求得圆心的坐标是解题的关键． 18. 我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n 的展开式（按 b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一 15 15 对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）的展开式按x 的升幂排列得：（s+x）＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15 ___ 依上述规律，解决下列问题：（1）若 s＝1，则 a2＝；（2）若 s＝2，则 a0+a1+a2+…+a15＝ ___ ．（2）315． (2). (1). 【答案】【解析】【分析】（1）105；（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15 的展开式中第三项的系数为前 14 个数的和；（2）根据 x 的特殊值代入要解答，即把 x=1 代入时，得到结论．【详解】（1）由图 2 知：（a+b）1 的第三项系数为 0，（a+b）2 的第三项的系数为：1，（a+b）3 的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b）4 的第三项的系数为：6＝1+2+3， …∴发现（1+x）3 的第三项系数为：3＝1+2；（1+x）4 的第三项系数为 6＝1+2+3；（1+x）5 的第三项系数为 10＝1+2+3+4；不难发现（1+x）n 的第三项系数为 1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）， ∴s＝1，则 a2＝1+2+3+…+14＝105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当 x＝1 时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，故答案为：315．【点睛】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n 中，相同字母 a 的指数是从高到低，相同字母 b 的指数是从低到高．三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共 78 分） 2019 19. 计算：（﹣1） sin60°﹣（﹣3）．  12  【答案】5. 【解析】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】（﹣1）2019 sin60°﹣（﹣3）  12  3＝﹣1+2 33 2＝﹣1+3+3 ＝5 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． aa2 1 a20. 先化简，再求值：，其中 a＝2． ·a2  a a1 a 1 【答案】-1. 【解析】【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题． aa2 1 a【详解】解： ·a2  a a1 a 1 a 1 a1  aa=a a1 a 1 a 1 a1 ===a 1 a 1 a a 1 1a 1 1时，原式=  1 当a  2 2 1 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 21. 为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶 A 测得 C 处的俯角为 45°，D 处的俯角为 30°，乙在山下测得 C，D 之间的距离为 400 米．已知 B，C，D 在同一水平面的同一直线上，求山高 AB．（可能用到的数据： 1.414， 11.732） 3  2  【答案】山高 AB 为 546.4 米【解析】【分析】设 AB=x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【详解】设 AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°， ∴AB＝BC＝x， ∴BD＝BC+CD＝x+400，在 Rt△ADB 中， AB tan30  ∴∴，BD 1X，X  400 3400 x   546.4 .解得： 3 1 ∴山高 AB 为 546.4 米. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型． 22. 在一段长为 1000 的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运动员均从 A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发 30 秒钟，甲距 A 点的距离 y（米）与其出发的时间 x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是 150 米分钟，且当乙到达 B 点后立即按原速返回．（1）当 x 为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．【答案】（1）当 x 为 0.75 分钟时，两人第一次相遇；（2）当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是 1109.375 米．【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当 x 为何值时，两人第一次相遇；（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．【详解】（1）甲的速度为：100÷4＝250 米/分钟， 30 令 250x＝150（x 解得，x＝0 75，）， 60 答：当 x 为 0.75 分钟时，两人第一次相遇；（2）当 x＝5 时， 30 乙行驶的路程为：150×（5 ）＝825＜1000， 60 1000 825 150  250 75∴甲乙第二次相遇的时间为：5 （分钟）， 16 7则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（5 5）×250＝1109.375（米）， 16 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是 1109.375 米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 BC 为⊙O 的直径，在劣弧  上取一点 D，使   CD  AB 23. ，将△ADC AC 沿 AD 对折，得到△ADE，连接 CE．（1）求证：CE 是⊙O 的切线； C D，劣弧  的弧长为 π，求⊙O 的半径．（2）若 CE  3 CD 【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为 3．【解析】【分析】（1）在△ACE 中，根据三角形内角和为 180°，则 2α+2β+2γ＝180°，即可求解； 13（2）证明四边形 AMCN 为矩形，，而 AB=x，则 CN  CE  x  AM 223sin∠ABM= ，即∠ABM=60°，即可求解． 2【详解】（1）∵  ，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD， CD  AB 设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，则△ACE 中，根据三角形内角和为 180°， ∴2α+2β+2γ＝180°， ∴α+β+γ＝90°， ∴CE 是⊙O 的切线；（2）过点 A 作 AM⊥BC，延长 AD 交 CE 于点 N，则 DN⊥CE，∴四边形 AMCN 为矩形，设：AB＝CD＝x，则 CE x，  3 123则 CN CE x＝AM，而 AB＝x，，∴∠ABM＝60°， 23则 sin∠ABM 2∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB＝60°， 60 360 CD  AB  2πr＝π，解得：r＝3，故圆的半径为 3．的【点睛】本题主要考查是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强，难度较大． 24. 如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线 x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B），求△PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标． 27 83215 4【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB 的面积的最大值为，此时点 P 的坐标（，）． 【解析】【分析】（1）因为对称轴是直线 x=-1，所以得到点 A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式 y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）∵抛物线对称轴直线x＝﹣1 且经过点 A（﹣3，0）是由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y＝a（x﹣1）（x+3）把 B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， 3k  b  0 b  3 ∴，∴直线 AB 为 y＝x+3，作 PQ⊥x 轴于 Q，交直线 AB 于 M，设 P（x，﹣x2﹣2x+3），则 M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， 2133227 8S  x2 3x 3  x  ∴当，222327 8323215 4x   S时，，，y    2  3  最大 227 83215 ∴△PAB 的面积的最大值为，此时点 P 的坐标为（，）. 4【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． 25. 某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了 100 台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有 8，9，10，11 这四种情况，并整理了这 100 台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述 100 台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率． ①求这台机器在使用期内共更换了 9 个该易损零件的概率； ②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个 200 元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个 500 元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？【答案】（1）补全的条形统计图如图所示，见解析；（2）①这台机器在使用期内共更换了 9 个该易损零件 1的概率为；②购买机器的同时应购买9 个该易损零件，可使公司的花费最少． 2【解析】【分析】（1）共抽查 100 台机器，更换 8 个零件的有 20 台，更换 9 个零件的有 50 台，更换 11 个零件的有 20 台，可以计算出更换 10 个零件的有 100-20-50-20=10 台，进而补全统计图；（2）①用样本的频数估计总体的概率，即求出抽查的 100 台机器中更换 9 个零件的频率即可；②利用加权平均数计算各种情况下的花费，比较得出答案．【详解】（1）100﹣20﹣50﹣20＝10，补全的条形统计图如图所示： 50 12（2）①这台机器在使用期内共更换了 9 个该易损零件的概率为：P ；20  50 10  20 ②购买机器的同时购买 8 个该易损零件 200×20%+500×80%＝440 元，购买机器的同时购买 9 个该易损零件 200×50%+500×50%＝350 元，购买机器的同时购买 10 个该易损零件 200×10%+500×90%＝470 元，购买机器的同时购买 11 个该易损零件 200×20%+500×80%＝440 元，因此，购买机器的同时应购买 9 个该易损零件，可使公司的花费最少．【点睛】考查条形统计图的制作方法，理解条形统计图的特点以及加权平均数的意义等知识，用样本估计总体时统计中常用的方法，要深刻领会和应用． 26. （1）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形 ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为 1 的正方形按如图 2﹣1 所示剪开，恰好能拼成如图 2﹣2 所示的矩形，则 m 的值是多少？（3）四边形 ABCD 是一个长为 7，宽为 5 的矩形（面积为 35），若把它按如图 3﹣1 所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图 3﹣2 所示的图形，得到一个长为 9，宽为 4 的矩形（面积为 36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由． 1 5 【答案】（1）如图所示，见解析；（2）m 的值为；（3）重新拼成的图形的面积会增加，理由见解 2析．【解析】【分析】（1）过 D 作 DE⊥BC 于 E，将△CDE 进行平移即可求解；（2）根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）如图所示： 11 m m（2）依题意有：，1 m 1 5 1 5 解得： (负值舍去)， m1  ，m2  221 5 经检验，是原方程的解. m1  21 5 故 m 的值为；273（3）∵ ，7  2 4∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．【点睛】考查了图形的剪拼，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，注意（3）中直角梯形与原来图形的直角梯形不一致．