甘肃省兰州市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年兰州市中考试题数学注意事项： 1.全卷共 150分，考试时间 120分钟； 2.考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上； 3.考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。一、选择题（本大题 12个小题，每小题 4分，共 48分，每小题只有一个正确选项） 1. －2019的相反数是（）11A. B. 2019 C. －2019 D. － 2019 2019 【答案】B．【考点】相反数的定义. 【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】－（－2019）＝2019 2.如图，直线 a,b被直线 c所截，a∥b, ∠1＝∠800，则∠2＝（）A. 1300. B.1200. C. 1100. D. 1000. 第 2 题图【答案】D．【考点】平行线的性质. 【考察能力】识图运算能力【难度】容易【解析】∵∠1＝800， ∴∠1的对顶角为 800，又∵ a∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补， ∴∠2＝1800－800＝1000，答案为 D． 3. 计算： 12 －3＝（）A. 3.B. 2 3.C. 3. D. 43 . 【答案】A．【考点】平方根的运算. 1【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】－＝2 －＝ . 12 33334.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C．【考点】轴对称图形和中心对称图形【考察能力】观察能力【难度】容易【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除 A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转 1800后与原图形重合的图形排除 D. 故选 C. 5. x＝1是关于的一元二次方程 x2+ax+2b＝0的解，则 2a+4b＝（）A. －2 . 【答案】A． B. －3 . C. 4 . D. －6. 【考点】一元二次方程的解，整式运算【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】将 x＝1代入方程 x2+ax+2b＝0，得 a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2. 故选 A. 6. 如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（）A. 1100. B. 1200. C. 1350. D. 1400. 【答案】D．【考点】圆内接四边形的性质. 【考察能力】运算求解能力和观察识图能力【难度】容易【解析】∵四边形 ABCD内接于⊙O，∠A＝400， ∴∠C＝1800－400＝1400，故选 D. 2a2 1 a 1 a 1 27. 化简： ＝（）a 1 a 1 1A. a－1 . B. a+1 . C. .D. .a 1 【答案】A．【考点】分式计算. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单 a2 1 a 1 a 1 2a2 1 2 (a 1)(a 1) 【解析】 ＝＝＝a－1 . a 1 a 1 故选 A. BC B’C’ 8.已知△ABC∽△A′B′C′, AB＝8，A’B’＝6，则＝（）416 9A. 2 . B. .C. 3 . D. .3【答案】B．【考点】相似三角形的性质. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】容易【解析】∵△ABC∽△A′B′C′, AB BC ∴＝A’ B’ B’C’ 又∵AB＝8，A’B’＝6， BC B’C’ 4∴＝ . 3故选 B. 9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程为（）5x  6y  1 6x  5y  1 5x  6y  1 6x  5y  1 A. B. C. D. 5x  y  6y  x 5x  y  6y  x 4x  y  5y  x 4x  y  5y  x 【答案】C．【考点】利用方程求解实际问题. 【考察能力】抽象概括能力. 【难度】中等 3【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y＝5y+x, 故选 C. 10. 如图，平面直角坐标系 xoy中，将四边形 ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形 A1B1C1D1，已知 A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3）.则点 B1坐标为（）A. （1，2）【答案】B． B. （2，1） C. （1，4） D. （4，1）【考点】图形的平移. 【考察能力】识图能力和计算能力【难度】简单【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化.A（－3，5）到 A1（3，3）得向右平移 3－（－3）＝6个单位，向下平移 5－3＝2个单位.所以 B（－4，3）平移后 B1（2，1）. 故选 B. 11. 已知,点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1> y2 B. 2> y2 > y1 C. y1> y2>2 D.y2 > y1>2 【答案】A．【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质. 【考察能力】空间想象能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当 x>－1时，y随 x的增大而减小.因为－1<1<2.,所以 2> y1> y2 . 故选 A. 12. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O，将正方形 ABCD沿直线 DF折叠，点 C落在对角线 BD上的点 E处，折痕 DF交 AC于点 M,则 DM＝（）122A. B. C. 3－1 D. 2 －1 2【答案】D．【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质. 【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】过点 M作 MP⊥CD垂足为 P，过点 O作 OQ⊥CD垂足为 Q， ∵ 正方形的边长为 2 ， 42∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝ ,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF. 2又∵AC⊥BD, 设 OM＝PM＝x ∴OM＝PM, ∵OQ⊥CD，MP⊥CD ∴∠OQC＝∠MPC＝900， ∠PCM＝∠QCO, ∴△CMP∽△COQ x1 x 1MP OQ CM CO ∴＝,即，解得 x＝－1 222∴OM＝PM＝故选 D. 2 －1. 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共 16分） 13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________. 【答案】a（a+1）2．【考点】因式分解. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单【解析】a3 +2 a2+ a＝a（a2 +2 a+ 1）＝a（a+ 1）2. 14. 在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________. 【答案】700．【考点】等腰三角形性质. 【考察能力】空间想象能力. 【难度】容易【解析】∵AB＝AC, ∠A＝400， ∴∠B＝∠C＝700. k15. 如图，矩形OABC的顶点 B在反比例函数 y＝（x>0）的图象上，S矩形 OABC＝6， x5则 k＝___________. 【答案】6．【考点】k的几何意义. 【考察能力】数形结合. 第 15 题图【难度】简单【解析】|k|＝S矩形 OABC＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k＝6. 16. 如图，矩形 ABCD,∠BAC＝600. 以点 A为圆心，以任意长为半径作弧分别 1交 AB、AC于点 M、N两点，再分别以点 M、N 为圆心，以大于 MN的长为半径作 2弧交于点 P ,作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE＝1，则矩形 ABCD 的面积等于 ___________. 第 16 题图【答案】3 ．3【考点】尺规作图，矩形的性质. 【考察能力】基础运算能力，空间想象能力，推理论证能力.. 【难度】难. 【解析】由题可知AP是∠BAC的角平分线 ∵∠BAC＝600 ∴∠BAE＝∠EAC＝300 ∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝ 3∴∠AEB＝600 又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC＝∠ECA＝300 ∴AE＝EC＝2 ∴BC＝3 ∴S矩形 ABCD＝3 3 ．三、解答题（本大题共 12小题，满分 86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题 5分） 6计算：|－2|－（ 3+1）0+（－2）2－tan450 . 【答案】4．【考点】实数的计算. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单. 【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4. 18.(本题 5分) 化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1) 【答案】a－2．【考点】代数式的化简. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单. 【解析】解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1) ＝a－2a2+2a2－2 ＝a－2. 2x 1  x  5 ①②19.（本题 5分）解不等式组： x 1  x 1 3【答案】2<x<6．【考点】不等式组的解法. 【考察能力】计算能力. 【难度】中等. 2x 1  x  5 ①②【解析】解： x 1  x 1 3由①得：x<6 由②得：x>2 所以原不等式组的解集为：2<x<6. 720. （本题 6分）如图，AB＝DE, BF＝EC. 求证：AC∥DF. ∠B＝∠E. 第 20 题图【答案】AC∥DF. 【考点】三角形的全等. 【考察能力】推理论证能力. 【难度】简单. 【解析】证明：∵BF＝EC ∴BF+CF＝EC+CF ∴BC＝EF 在△ABC与△DEF中， AB  DE B  E BC  EF ∴△ABC≌△DEF (SAS) ∴∠ACB＝∠EFD ∴AC∥DF. 21.（本题 6分）2019年 5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强—-国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目. 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A1,A2,A3,A4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用 B1,B2,B3表示）. （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率. 【答案】解：（1）12种． 1（2） . 6【考点】概率与统计. 【考察能力】推理论证能力. 【难度】简单. 【解析】（1）解：二B1 B2 B3 一A1 A1B1 A1B2 A1B3 8A2 A3 A4 A2B1 A3B1 A4B1 A2B2 A3B2 A4B2 A2B3 A3B3 A4B3 21（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝＝ . 612 22.（本题 7分）如图，AC＝8,分别以 A、C为圆心，以长度 5为半径作弧，两弧分别相交于点 B和 D，依次连接 A、B、C、D，连接 BD交 AC于点 O. （1）判断四边形 ABCD的形状并说明理由；（2）求 BD的长. 【答案】（1）菱形，（2）BD＝6．【考点】菱形的判定，垂直平分线的应用. 【考察能力】推理论证能力，运算求解能力. 【难度】中等. 第 22 题图【解析】证明：（1）由图可知，BD垂直平分 AC，且 AB＝BC＝CD＝AD＝5, 所以四边形 ABCD是菱形. （2）∵AC＝8, ∴OA＝OC＝4 BD⊥AC且 BD平分 AC， ∴在 Rt△AOB中，OB＝ AB2  OA2 ＝ 52  42 ＝3, ∴BD＝2 OB＝2×3＝6 ∴BD的长为 6. 23. （本题 7分） k如图，在平面直角坐标系xoy中，反比例函数 y＝（k≠0）的图象， x过等边△BOC的顶点 B，OC＝2,点 A在反比例函数图象上，连接 AC、AO. 9k（1）求反比例函数 y＝（k≠0）的表达式； x（2）若四边形 ACBO的面积是 3 3，求点 A的坐标. 13【答案】（1）y＝；（2）A（，2 2）3x【考点】反比例函数解析式，不规则图形面积. 【考察能力】运算求解能力，推理论证能力. 【难度】中等. 【解析】解：（1）∵ OC＝2, ∴OM＝1, BM＝ ∴点 B(－1 ，－ 3,3)， ∴ k＝(－1) ×（－ 3) ＝ 3 , 3∴y＝ .x（2）∵SACBO＝3 3 ， SACBO＝S△AOC+ S△BOC 3∵S△BOC ＝OC2＝ 3,4∴3+ S△AOC＝3 3，∴S△AOC＝2 3 . ∵OC＝2 1∴ ×OC×AN＝2 23∴AN＝2 设 A（t，2 ∴2 t＝ ∴t＝ 333）3121∴A（，2 3 ）. 224. （本题 7分） 10 为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级 1班和 2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级 1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：表一分数段 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100 班级八年级 1班 7510 3表二中位数分数段班级平均数众数极差方差八年级 1班 78 85 36 105.28 小丽用同样的方式对八年级 2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：表三分数段平均数中位数众数极差方差班级八年级 2班 75 76 73 44 146.80 根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级 1班学生的成绩处在 80≤x＜90这一组的数据如下： 85，87，88，80，82，85，83，85，87，85. 根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由. 【答案】（1）80．（2）八年级 1班更为优异. 【考点】统计，数据的集中程度和离散程度. 【考察能力】运算求解能力，数据处理能力. 【难度】中等. 【解析】（1）表二分数段班级平均数中位数众数极差方差（2）八年级 1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可. 11 八年级 1班 78 80 85 36 105.28 25 （本题 7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：问题提出：如图 1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面 AC的遮阳篷 CD. 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线 DA与遮阳篷 CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线 DB 与遮阳篷 CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.560）；窗户的高度 AB＝2m. 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷 CD的长. （结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.560 ≈0.51, cos30.560 ≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈ 4.49）. 【答案】0.5m．【考点】三角函数及其应用. 【考察能力】运算求解能力，实际应用能力. 【难度】中等【解析：在 Rt△BCD中，∠BCD＝900，∠BDC＝30.560， BC ∵tan∠BDC＝ ,CD ∴BC＝CD⋅tan∠BDC, 在 Rt△ACD中，∠ACD＝900，∠ADC＝77.440， AC ∵tan∠ADC＝ ,CD ∴AC＝CD⋅tan∠ADC, ∵AC－BC＝AB, ∴CD⋅tan∠ADC－CD⋅tan∠BDC＝2 即 CD⋅tan77.440－CD⋅tan30.560＝2 （4.49－0.59）CD＝2 ∴CD＝0.5 答：遮阳篷 CD长为 0.5m. 26.（本题 9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm,BC＝8cm,点 D为 BC的中点，BE＝DE.将∠BDE绕点 D顺时针旋转 a度（00≤a≤830）.角的两边分别 12 交直线 AB于 M、N两点.设 B、M两点间的距离为 xcm，M、N两点间的距离为 ycm. 小涛根据学习函数的经验，对函数 y随自变量 x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程. 请补充完整. （1）列表：下表的已知数据是根据 B、M两点间的距离 x进行取点、画图、测量，分别得到了 y与 x 的几组对应值： 8x/cm 0 0.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50 y/cm 2.882.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 3请你通过计算，补全表格. （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xoy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数 y关于 x的图象：（3）探究性质：随着自变量 x的不断增大，函数 y的变化趋势__________. (4)解决问题：当 MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）. 【答案】（1） 8x/cm 0 0.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 310 y/cm 3 2.882.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 3（2）图略（描点可得）（3）随着自变量 x的不断增大，函数 y呈现先减小再增大的趋势. （4）4和 1.33 【考点】函数图象性质，三角形相似. 【考察能力】数据处理分析能力【难度】难【解析】（1）当 x＝0时，M点与 N点分别和 B点 E点重合 MN＝BE＝3 8当 x＝时，假设DN交 CA的延长线于点 H 3∵AB＝AC, ∴∠B＝∠C, 又∵D为 BC的中点， BE＝DE. ∴∠B＝∠EDB, ED为 AC边的中位线 13 根据旋转性质 ∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN, ∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB＝∠MDB+∠MDN, ∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H, ∴△MDB∽△DHC ∠B＝∠C, CH DC ∴＝BD BM ,CH 4＝ , 8∴CH＝6＝AC 即 A点与 H点重合 4310 ∴MN＝6－BM＝ . 3(2)根据表格描点可得. （3）根据图象可得（4）∵MN＝2BM 设 BM＝x，MN＝2x， EN＝3x－3 ， AN＝6－3x， ∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB＝∠MDB+∠MDN, ∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H, ∴△MDB∽△DHC ∠B＝∠C, CH DC ∴∴＝BD BM ,CH 416 16 ＝ , ∴CH＝ x， HA＝HC－AC＝－6 4xx又∵△HAN∽△DEN AH AN NE ∴＝,ED 16  6 6  3x 3x  3 4x∴＝,解得： x1＝4， x2＝ ≈1.33 33答：BM为 4或 1.33. 主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第 27题、第 28题【模型呈现】 14 如右图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝900,将斜边 AB绕点 A顺时针旋转 900得到 AD，过点 D作 DE⊥AC于点 E，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到 AC＝DE, BC＝AE. 我们把这个数学模型称为“K型” 推理过程如下：【模型应用】 27.（本题 10分）如图，Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边 AB绕点 A顺时针旋转一定角度得到 AD，过点 D作 DE⊥AC于点 E，∠DAE＝∠ABC, DE＝1,连接 DO交⊙O于点 F. （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接 FC交 AB于点 G，连接 FB，求证：FG2＝GO•GB. 【答案】答案见解析．【考点】三角形相似，圆切线证明. 【考察能力】推理论证能力，运算求解能力【难度】较难【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠ABC 且∠ABC+∠CAB＝900, ∴∠EAD+∠CAB＝900, ∴∠DAB＝900, ∵AO为⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线. （2）证明：由（1）知∠DAB＝900, ∵ AC＝1， BC＝2 ∴AB＝ 5 , 由模型可知，△AED≌△BCA, ∴AD＝ ∴AO＝ 55,5,∴DO＝ , 22AE AD DE 2 5 ∵＝＝＝,AD DO AO 515 ∴△AED∽△DAO ∴∠EAD＝∠ADO ∴AE∥DO ∴∠ACF＝∠CFO＝∠ABF ∵∠FGO＝∠BGF, ∴△FGO∽△BGF FG GO ∴＝BG FG ∴FG2＝GO•GB. 28.(本题 12分)二次函数 y＝ax2+bx+2的图象交 x轴于点 A（－1，0），点 B（4，0）两点，交 y轴于点 C. 动点 M从点 A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿 AB方向运动，过点 M作 MN⊥x轴交直线 BC于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t秒. （1）求二次函数 y＝ax2+bx+2的表达式； 3（2）连接 BD，当 t＝时，求△DNB的面积； 2（3）在直线 MN上存在一点 P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D的坐标； 5（4）当 t＝时，在直线MN上存在一点 Q，使得∠AQC+∠QAC＝900, 4求点 Q的坐标. 13【答案】（1）y＝－ x2+ x+2． 22（2） 2 （3） D（1，3） 3252352（4）Q（，）或 Q（，－ 2）【考点】二次函数的综合应用. 【考察能力】运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力. 【难度】困难【解析】（1）将点 A（－1，0），点 B（4，0）代入 y＝ax2+bx+2中，得： 12a   a  b  2  0 解得： b  16a  4b  2  0 3213所以，二次函数的表达式为：y＝－ x2+ x+2． 2232（2） ∵ t＝，∴AM＝3， 16 又∵OA＝1, ∴ OM＝2, 设 BC的解析式为：y＝kx+b (k≠0),将点 C（0,2）、B（4，0）代入，得： 12b  2 k   解得： 4k  b  0 b  2 1所以直线 BC的解析式为：y＝－ x+2． 2131将 x＝2分别代入 y＝－ x2+ x+2和 y＝－ x+2中，得：D（2，3）、N（2，1） 222∴DN＝2, 1∴ S△DNB＝ ×2×2＝2. 2(3)过点 P作 x轴的平行线，交 y轴于点 E，过点 B作 y轴的平行线，交 EP的延长线于点 F，设 13D（m，－ m2+ m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得： 22△PEC≌△BFP, ∴PE＝BF, CE＝PF 4  m  2  n  n  m m  1 ∴∴n  1 所以，点 D的坐标为：（1，3）. 55（4）当 t＝时，AM＝ ,此时 M点在二次函数的对称轴上， 42以 M点为圆心，AM长为半径作圆，交 MN于 Q1、Q2两点， 3∵C（0，2），M（，0） 25∴CM＝＝R, 2∴C点在该圆上 ∴∠ACB＝900, ∴∠CAB+∠CBA＝900, ∵∠CQ1A＝∠CAB, (同弧所对的圆周角) ∴∠C Q1A+∠CBA＝900, ∠C Q2A+∠CBA＝900, 3252352∴Q（，）或 Q（，－ 2）17 18