湖南省郴州市2019年中考数学真题试题（含解析）下载

2019年湖南省郴州市中考数学试卷 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，共 24分） 1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． C． B． D． 3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品 不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至 2017年止，我国已探明稀土储量约 4400万 吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（　　） A．44×106 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（ x2）3＝x5 B． + B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109 ＝C．x•x2•x4＝x6 D． ＝5．（3分）一元二次方程 2×2+3x﹣5＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（　　） A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式 B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式 C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式 7．（3分）如图，分别以线段 AB 的两端点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，在线段 AB 1的两侧分别交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 O．在直线 EF 上任取一点 P（不与 O 重 合），连接 PA，PB，则下列结论不一定成立的是（　　） A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB 8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形 和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形 ADOF 的边 长是（　　） A． 二、填空题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 9．（3分）二次根式 中，x 的取值范围是　． 10．（3分）若 ，则＝　． 11．（3分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截．若 a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3 的度数为　度． B．2 C． D．4 ＝12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组 数据的中位数是　． 13．（3分）某商店今年 6月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 12342数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为　 　瓶． 14．（3分）如图是甲、乙两人 6次投篮测试（每次投篮 10个）成绩的统计图，甲、乙两人 2测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2，则 s 甲 　　s 乙 2．（填“＞”，“＝”或“＜”） 15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为 5，底边长为 4的 等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　．（结果保留π） 16．（3分）如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象的交点， 过 A 点 作AD ⊥ x 轴 于 点D ， 过C 点 作CB ⊥ x 轴 于 点B ， 则 四 边 形ABCD 的 面 积 为　． 三、解答题（17～19题每题 6分，20～23题每题 8分，24～25题每题 10分，26题 12分， 共 82分） 3﹣1 17．（6分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）．18．（6分）先化简，再求值： ﹣，其中 a＝ ．19．（6分）如图，▱ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F， 连接 AC，DF．求证：四边形 ACDF 是平行四边形． 20．（8分）我市去年成功举办 2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范 市”．我市有 A，B，C，D，E 五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间 去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计 结果制作了如下两幅不完整的统计图： （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　 　人，m＝　 　，并补全 条形统计图； （2）若该小区有居民 1200人，试估计去 B 地旅游的居民约有多少人？ （3）小军同学已去过 E 地旅游，暑假期间计划与父母从 A，B，C，D 四个景区中，任选 两个去旅游，求选到 A，C 两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 21．（8分）如图所示，巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，距离 A 处 30km．在 灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？ （精确到 0.01km．参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449） 422．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B 两种型号的机器．已知一 台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2个零件，且一台 A 型机器加工 80个零件与一 台 B 型机器加工 60个零件所用时间相等． （1）每台 A，B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排 A，B 两种型号的机器共 10台一起加工一批该零件，为了如期 完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于 72件，同时为了保障机器的正常运转， 两种机器每小时加工的零件不能超过 76件，那么 A，B 两种型号的机器可以各安排多少 台？ 23．（8分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 D，且 AD∥OC． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）延长 CO 交⊙O 于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O 的半径为 2，求 的长．（结果保留 π） 24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函 数 为 分 段 函 数 ． 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 ， 探 究 分 段 函 数y ＝ 的图象与性质．列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0110213 … 2 … ﹣﹣y … 125描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标， 描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点 A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2），C（x1， ），D（x2，6）在函数图象上，则 y1　 　y2，x1　 　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值 y＝2时，求自变量 x 的值； ③在直线 x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x3，y3），Q（x4，y4），且 y3＝ y4，求 x3+x4的值； ④若直线 y＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围． 25．（10分）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合），把△ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为 A1，延长 EA1交直线 DC 于点 F，再把∠BEF 折叠，使点 B 的对应 点 B1落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC 于点 H． （1）求证：△A1DE∽△B1EH； （2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1恰好落在直线 MN 上，试判断△DEF 的形状，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF＝150°，试探究 DG， EG，FG 的数量关系． 26．（12分）已知抛物线 y＝ax2+bx+3与 x 轴分别交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； 6（2）点 F 是线段 AD 上一个动点． ①如图 1，设 k＝ ，当 k 为何值时，CF＝ AD？ ②如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若 不相似，请说明理由． 72019年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，共 24分） 1．【解答】解：﹣2的相反数是 2， 故选：D． 2．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 3．【解答】解：将 44 000 000用科学记数法可表示为 4.4×107． 故选：B． 4．【解答】解：A、（ x2）3＝x6，故本选项错误； B、 + ＝ +2 ＝3 ，故本选项错误； C、x•x2•x4＝x7，故本选项错误； D、 ＝，故本选项正确； 故选：D． 5．【解答】解：一元二次方程 2×2﹣3x+5＝0中， △＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适； B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式 不合适； C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查 的方式不合适； D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合 适， 8故选：A． 7．【解答】解：∵由作图可知，EF 垂直平分 AB， ∴PA＝PB，故 A 选项正确； OA＝OB，故 B 选项正确； OE＝OF，故 C 选项错误； PO⊥AB，故 D 选项正确； 故选：C． 8．【解答】解：设正方形 ADOF 的边长为 x， 由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6， ∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10， 在 Rt△ABC 中，AC2+AB2＝BC2， 即（6+x）2+（x+4）2＝102， 整理得，x2+10x﹣24＝0， 解得：x＝2，或 x＝﹣12（舍去）， ∴x＝2， 即正方形 ADOF 的边长是 2； 故选：B． 二、填空题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 9．【解答】解：根据题意，得 x﹣2≥0， 解得，x≥2； 故答案是：x≥2． 10．【解答】解：∵ ＝ ， ∴2x+2y＝3x， 故 2y＝x， 则＝ ． 故答案为： ．11．【解答】解：∵a∥b， ∴∠3＝∠4， 9∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°， ∴130°＝30°+∠3， 解得：∠3＝100°． 故答案为：100． 12．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9， 故这组数据的中位数是 8． 故答案为：8． 13．【解答】解：这是一个一次函数模型，设 y＝kx+b，则有 解得 ，，∴y＝5x+115， 当 x＝7时，y＝150， ∴预测今年 6月 7日该商店销售纯净水的数量约为 150瓶， 故答案为 150． 14．【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定， 2方差大，即 S 甲 2＜S 乙 ．故答案为：＜． 15．【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥， ∴侧面展开图的面积＝π•2•5＝10π， 故答案为 10π． 16．【解答】解：∵A、C 是两函数图象的交点， ∴A、C 关于原点对称， ∵CD⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD ，10 又∵反比例函数 y＝ 的图象上， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝ ×4＝2， ∴S 四边形 ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8， 故答案为：8． 三、解答题（17～19题每题 6分，20～23题每题 8分，24～25题每题 10分，26题 12分， 共 82分） 17．【解答】解：原式＝1﹣2× + ﹣1+2＝2． 18．【解答】解： ﹣＝＝＝＝＝，当 a＝ 时，原式＝ ＝＝1． 19．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AE＝DE， 又∵∠FEA＝∠CED， ∴△FAE≌△CDE（ASA）， ∴CD＝FA， 又∵CD∥AF， ∴四边形 ACDF 是平行四边形． 20．【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 20÷10%＝200（人）， 则 m%＝ ×100%＝35%，即 m＝35， 11 C 景区人数为 200﹣（20+70+20+50）＝40（人）， 补全条形图如下： 故答案为：200，35； （2）估计去 B 地旅游的居民约有 1200×35%＝420（人）； （3）画树状图如下： 由树状图知，共有 12种等可能结果，其中选到 A，C 两个景区的有 2种结果， 所以选到 A，C 两个景区的概率为 ＝ ． 21．【解答】解：延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D，如图所示： 则∠CDA＝90°， 由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝CD＝ ∴BD＝ AC＝15 ，AD＝ BD， ＝5 ，∴BC＝CD﹣BD＝15 ﹣5 ≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）； 答：巡逻船与渔船的距离约为 8.97km． 22．【解答】解：（1）设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件，则每台 A 型机器每小时加工（x+2） 12 个零件， 依题意，得： ＝，解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， ∴x+2＝8． 答：每台 A 型机器每小时加工 8个零件，每台 B 型机器每小时加工 6个零件． （2）设 A 型机器安排 m 台，则 B 型机器安排（10﹣m）台， 依题意，得： ，解得：6≤m≤8． ∵m 为正整数， ∴m＝6，7，8． 答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排 6台，B 型机器安排 4台；方案二：A 型 机器安排 7台，B 型机器安排 3台；方案三：A 型机器安排 8台，B 型机器安排 2台． 23．【解答】（1）证明：连接 OD， ∵CD 与⊙O 相切于点 D， ∴∠ODC＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD∥OC， ∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA， ∴∠COB＝∠COD， 在△COD 和△COB 中 ，∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠CEB＝30°， ∴∠COB＝60°， 13 ∵∠COB＝∠COD， ∴∠BOD＝120°， ∴的长： ＝ π． 24．【解答】解：（1）如图所示： （2）①A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2）， A 与 B 在 y＝﹣ 上，y 随 x 的增大而增大，∴y1＜y2； C（x1， ），D（x2，6）， C 与 D 在 y＝|x﹣1|上，观察图象可得 x1＜x2； 故答案为＜，＜； ②当 y＝2时，2＝﹣ ，∴x＝﹣ （不符合）； 当 y＝2时，2＝|x﹣1|，∴x＝3或 x＝﹣1； ③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在 x＝﹣1的右侧， ∴﹣1≤x≤3时，点关于 x＝1对称， ∵y3＝y4， ∴x3+x4＝2； ④由图象可知，0＜a＜2； 25．【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90 °，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH， ∴∠DEA1+∠HEB1＝90°． 14 又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°， ∴∠DEA1＝∠EHB1， ∴△A1DE∽△B1EH； （2）结论：△DEF 是等边三角形； 理由如下： ∵直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴， ∴点 A1是 EF 的中点，即 A1E＝A1F， 在△A1DE 和△A1DF 中 ，∴△A1DE≌△A1DF（SAS）， ∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1， 又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°． ∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF 是等边三角形； （3）DG，EG，FG 的数量关系是 DG2+GF2＝GE2， 理由如下：由（2）可知△DEF 是等边三角形；将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG’F 位置， 如解图（1）， ∴G’F＝GE，DG’＝DG，∠GDG’＝60°， ∴△DGG’是等边三角形， ∴GG’＝DG，∠DGG’＝60°， ∵∠DGF＝150°， ∴∠G’GF＝90°， ∴G’G2+GF2＝G’F2， ∴DG2+GF2＝GE2， 15 26．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3过点 A（﹣3，0），B（1，0）， ，解得： ∴，∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3； ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴顶点 D 的坐标为（﹣1，4）； （2）①∵在 Rt△AOC 中，OA＝3，OC＝3， ∴AC2＝OA2+OC2＝18， ∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0）， ∴CD2＝12+12＝2 ∴AD2＝22+42＝20 ∴AC2+CD2＝AD2 ∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD＝90°． ∵，∴F 为 AD 的中点， ∴∴，．②在 Rt△ACD 中，tan 在 Rt△OBC 中，tan ，，∴∠ACD＝∠OCB， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠FAO＝∠ACB， 16 若以 A，F，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF＝∠ABC 时，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b， ∴，解得： ，∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣3x+3， ∴直线 OF 的解析式为 y＝﹣3x， 设直线 AD 的解析式为 y＝mx+n， ∴，解得： ，∴直线 AD 的解析式为 y＝2x+6， ∴，解得： ）． ，∴F（﹣ 当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB， ∵∠CAB＝45°， ∴OF⊥AC， ∴直线 OF 的解析式为 y＝﹣x， ∴，解得： ∴F（﹣2，2）． 综合以上可得 F 点的坐标为（﹣ ，）或（﹣2，2）． 17