湖南省邵阳市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省邵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题有 10个小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．1.414 C． D． 2．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（　　） A． C．正方体 B． D．圆柱圆锥球3．（3分）据海关统计：2019年前 4个月，中国对美国贸易顺差为 5700亿元．用科学记数法表示 5700亿元正确的是（　　） A．5.7×1011元 C．5.7×10﹣11 B．57×1010元元D．0.57×1012元 4．（3分）如图，已知两直线 l1与 l2被第三条直线 l3所截，下列等式一定成立的是（　　） A．∠l＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180° 5．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：售价数目 3元 4元 5元 6元 14本 11本 10本 15本下列说法正确的是（　　） A．该班级所售图书的总收入是 226元 B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 4 1C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是 15 D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是 2 6．（3分）以下计算正确的是（　　） A．（﹣2ab2）3＝8a3b6 B．3ab+2b＝5ab C．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8×5 D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3 7．（3分）一次函数 y1＝k1x+b1的图象 l1如图所示，将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2，l2的函数表达式为 y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（　　） A．k1＝k2 C．b1＞b2 B．b1＜b2 D．当 x＝5时，y1＞y2 8．（3分）如图，以点 O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的 2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　） A．△ABC∽△A′B′C′ B．点 C、点 O、点 C′三点在同一直线上 C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′ 9．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD 是斜边 BC 上的中线，将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则∠BED 等于（　　） 2A．120° B．108° C．72° D．36° 10．（3分）某出租车起步价所包含的路程为 0～2km，超过 2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了 7km，付了 16元；盼盼乘坐这种出租车走了 13km，付了 28元．设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收费 y 元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．二、填空题（本大题有 8个小题，每小题 3分，共 24分） 11．（3分）的相反数是　　． 12．（3分）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出 2个小球，取出 2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是　　． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（﹣4，2），反比例函数 y＝（x＜ 0）的图象经过线段 OA 的中点 B，则 k＝　． 14．（3分）不等式组的解集是　　． 15．（3分）如图，已知 AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是　．（不添加任何字母和辅助线） 316．（3分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数值是　． 17．（3 分）公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面积是　． 18．（3分）如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0），点 B 在第一象限，将等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′，则点 B′的坐标是　．三、解答题（本大题有 8个小题，第 19-25题毎题 8分，第 26题 10分，共 66分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19．（8分）计第： ﹣（）﹣1+|﹣2|cos60° 20．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 m＝ ﹣2． 21．（8分）如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且 AD＝6，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F．（1）求由弧 EF 及线段 FC、CB、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正好 4重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h． 22．（8分）某校有学生 3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了 50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是　　；（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动． 23．（8分）2019年 1月 14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在 2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为 30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计 2020年我国外贸进出口总值将达 36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率． 24．（8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管 DE 与支架 CB 所在直线相交于点 O，且 OB＝OE；支架 BC 与水平线 AD 垂直．AC＝40cm，∠ADE＝ 30°，DE＝190cm，另一支架 AB 与水平线夹角∠BAD＝65°，求 OB 的长度（结果精确到 1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 525．（8分）如图 1，已知⊙O 外一点 P 向⊙O 作切线 PA，点 A 为切点，连接 PO 并延长交⊙O 于点 B，连接 AO 并延长交⊙O 于点 C，过点 C 作 CD⊥PB，分别交 PB 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图 2，当 AD＝AO 时 ①求∠P 的度数； ②连接 AB，在⊙O 上是否存在点 Q 使得四边形 APQB 是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 26．（10分）如图，二次函数 y＝﹣ x2+bx+c 的图象过原点，与 x 轴的另一个交点为（8， 0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在 x 轴上方作 x 轴的平行线 y1＝m，交二次函数图象于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 D、点 C．当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1个单位长度匀速运动，同时动点 Q 以相同的速度从点 A 出发沿线段 AD 匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t＞0）．过点 P 向 x 轴作垂线，交抛物线于点 E，交直线 AC 于点 F，问：以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由． 672019年湖南省邵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 10个小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：＝2是有理数；是无理数；故选：C． 2．【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项 A 不合题意； B．俯视图与主视图都是正方形，故选项 B 不合题意； C．俯视图是圆，左视图是三角形；故选项 C 符合题意； D．俯视图与主视图都是圆，故选项 D 不合题意；故选：C． 3．【解答】解：5700亿元＝570000000000元＝5.7×1011元；故选：A． 4．【解答】解：∠1与∠2是同为角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的性质可知，选项 A，B，C 成立的条件为 l1∥l2时，而∠1与∠4是邻补角，故 D 正确．故选：D． 5．【解答】解：A、该班级所售图书的总收入为 3×14+4×11+5×10+6×15＝226，所以 A 选项正确； B、第 25个数为 4，第 26个数为 5，所以这组数据的中位数为 4.5，所以 B 选项错误； C、这组数据的众数为 6，所以 C 选项错误； D、这组数据的平均数为＝＝4.52，所以这组数据的方差 S2＝ [14（3﹣4.52） 2+11（4﹣4.52）2+10（5﹣4.52）2+15（6﹣4.52）2]≈1.4，所以 D 选项错误．故选：A． 6．【解答】解：（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，A 错误； 3ab+2b 不能合并同类项，B 错误；（﹣x2）（﹣2x）3＝8×5，C 错误；故选：D． 87．【解答】解：∵将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2， ∴直线 l1∥直线 l2， ∴k1＝k2， ∵直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2， ∴b1＞b2， ∴当 x＝5时，y1＞y2，故选：B． 8．【解答】解：∵以点 O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的 2倍得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，点 C、点 O、点 C′三点在同一直线上，AB∥A′B′， AO：OA′＝1：2，故选项 C 错误，符合题意．故选：C． 9．【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD 是斜边 BC 上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B． 10．【解答】解：设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收费 y 元，则所列方程组为，故选：D．二、填空题（本大题有 8个小题，每小题 3分，共 24分） 11．【解答】解：的相反数是﹣ ；故答案为﹣ ；12．【解答】解：画树状图如下： 9由树状图知，共有 12种等可能结果，其中取出 2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有 2种结果，所以取出 2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为故答案为：＝，．13．【解答】解：如图：∵AC∥BD，B 是 OA 的中点， ∴OD＝DC 同理 OF＝EF ∵A（﹣4，2） ∴AC＝2，OC＝4 ∴OD＝CD＝2，BD＝OF＝EF＝1， ∴B（﹣2，1）代入 y＝得： ∴k＝﹣2×1＝﹣2 故答案为：﹣2 14．【解答】解：解不等式 x+4＜3，得：x＜﹣1，解不等式 ≤1，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，故答案为：﹣2≤x＜﹣1． 15．【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE， ∴可以添加 AB＝AC，此时满足 SAS；添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足 ASA；添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足 AAS，故答案为 AB＝AC 或∠ADC＝∠AEB 或∠ABE＝∠ACD； 10 16．【解答】解：一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝4+4m＞0， ∴m＞﹣1；故答案为 0； 17．【解答】解：∵勾 a＝6，弦 c＝10， ∴股＝＝8， ∴小正方形的边长＝8﹣6＝2， ∴小正方形的面积＝22＝4 故答案是：4 18．【解答】解：作 BH⊥y 轴于 H，如图， ∵△OAB 为等边三角形， ∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°， ∴BH＝ OH＝2 ，∴B 点坐标为（2 ，2）， ∵等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′， ∴点 B′的坐标是（﹣2 ，﹣2）．故答案为（﹣2 ，﹣2）．三、解答题（本大题有 8个小题，第 19-25题毎题 8分，第 26题 10分，共 66分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19．【解答】解： ﹣（）﹣1+|﹣2|cos60°＝3﹣3+2× ＝1； 20．【解答】解：原式＝（ ﹣）÷ ＝＝•，11 当 m＝ ﹣2时，原式＝＝．21．【解答】解：∵在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°， ∴∠B＝30°， ∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BD＝ AD＝6 ∴BC＝2BD＝12 ，，∴由弧 EF 及线段 FC、CB、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S 扇形 EAF＝ × 6×12 ﹣＝36 ﹣12π；（2）设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2πr＝这个圆锥的高 h＝，解得 r＝2，＝4 ．22．【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是＝50，故答案为：50；（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，参与国学社的人数为 50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，补全条形统计图如图所示；（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为 360°× ＝86.4°；（4）3000×20%＝600名，答：全校有 600学生报名参加篮球社团活动． 23．【解答】解：设平均增长率为 x，根据题意列方程得 30（1+x）2＝36.3 12 解得 x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍）答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为 10%． 24．【解答】解：设 OE＝OB＝2x， ∴OD＝DE+OE＝190+2x， ∵∠ADE＝30°， ∴OC＝ OD＝95+x， ∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x， ∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9， ∴OB＝2x＝18． 25．【解答】解：（1）证明：如图 1，∵PA 切⊙O 于点 A，AC 是⊙O 的直径， ∴∠PAO＝∠CDA＝90° ∵CD⊥PB ∴∠CEP＝90° ∴∠CEP＝∠CDA ∴PB∥AD ∴∠POA＝∠CAO ∴△APO～△DCA （2）如图 2，连接 OD， ①∵AD＝AO，OD＝AO ∴△OAD 是等边三角形 ∴∠OAD＝60° ∵PB∥AD ∴∠POA＝∠OAD＝60° ∵∠PAO＝90° ∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30° ②存在．如图 2，过点 B 作 BQ⊥AC 交⊙O 于 Q，连接 PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠PAO＝90° 13 ∴∠BOC＝∠POA＝60° ∵OB＝OC ∴∠ACB＝60° ∴∠BQC＝∠BAC＝30° ∵BQ⊥AC， ∴CQ＝BC ∵BC＝OB＝OA ∴△CBQ≌△OBA（AAS） ∴BQ＝AB ∵∠OBA＝∠OPA＝30° ∴AB＝AP ∴BQ＝AP ∵PA⊥AC ∴BQ∥AP ∴四边形 ABQP 是平行四边形 ∵AB＝AP ∴四边形 ABQP 是菱形 ∴PQ＝AB ∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝ 14 26．【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入 y＝﹣ x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为 y＝﹣ x2+ x．（2）当 y＝m 时，﹣ x2+ x＝m，解得：x1＝4﹣ ，x2＝4+ ，∴点 A 的坐标为（4﹣ ∴点 D 的坐标为（4﹣ ∵矩形 ABCD 为正方形，，m），点 B 的坐标为（4+ ，0），点 C 的坐标为（4+ ，m），，0）． ∴4+ ﹣（4﹣ ）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴当矩形 ABCD 为正方形时，m 的值为 4．（3）以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点 A 的坐标为（2，4），点 B 的坐标为（6，4），点 C 的坐标为（6，0），点 D 的坐标为（2，0）．设直线 AC 的解析式为 y＝kx+a（k≠0），将 A（2，4），C（6，0）代入 y＝kx+a，得：，解得：，∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣x+6．当 x＝2+t 时，y＝﹣ x2+ x＝﹣ t2+ t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4， ∴点 E 的坐标为（2+t，﹣ t2+ t+4），点 F 的坐标为（2+t，﹣t+4）． ∵以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 AQ∥EF， 15 ∴AQ＝EF，分三种情况考虑： ①当 0＜t≤4时，如图 1所示，AQ＝t，EF＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t， ∴t＝﹣ t2+ t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4； ②当 4＜t≤7时，如图 2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t， ∴t﹣4＝﹣ t2+ t，解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6； ③当 7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣ t2+ t+4）＝ t2﹣ t， ∴t﹣4＝ t2﹣ t，解得：t5＝5﹣ （舍去），t6＝5+ （舍去）．综上所述：当以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t 的值为 4或 6． 16 17