湖南省岳阳市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，满分 24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　） A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣ 2．（3分）下列运算结果正确的是（　　） A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2 3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，已知 BE 平分∠ABC，且 BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C 的度数是（　　） A．20° B．25° 中，自变量 x 的取值范围是（　　） B．x＞﹣2 C．x＞0 C．30° D．50° 5．（3分）函数 y＝ A．x≠0 D．x≥﹣2且 x≠0 6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了 10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 S 甲 2＝1.2，S 乙 2＝1.1，S 丙 2＝0.6，S 丁 2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．同角（或等角）的余角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 8．（3分）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不 1动点．如果二次函数 y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值范围是（　　） A．c＜﹣3 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，满分 32分） 9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝　． B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1 10．（4分）2018年 12月 26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以 2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为 600000人次．数据 600000用科学记数法表示为　． 11．（4分）分别写有数字、、﹣1、0、π 的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是　． 12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　　． 13．（4分）分式方程的解为 x＝　　． 14．（4分）已知 x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为　　． 15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布 5 尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　尺．　16．（4分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上的一点，过点 P 作⊙O 的切线 PE，切点为 M，过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D，连接 AM，则下列结论正确的是　　．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分∠CAB； ②AM2＝AC•AB； ③若 AB＝4，∠APE＝30°，则的长为 ④若 AC＝3，BD＝1，则有 CM＝DM＝；．2三、解答题（本大题共 8小题，满分 64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1+（﹣1）2019 18．（6分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AD、CD 边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠ 2． 19．（8分）如图，双曲线 y＝经过点P（2，1），且与直线 y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求 m 的值．（2）求 k 的取值范围． 20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40年地方改革创新 40 案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多 600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要 3求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立 70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的 40名选手的成绩（满分为 100分，得分为正整数且无满分，最低为 75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段 74.5～79.5 79.5～84.5 84.5～89.5 89.5～94.5 94.5～99.5 （1）表中 m＝　频数 2频率 0.05 0.2 0.3 nm12 14 40.1 　，n＝　　；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　分数段内；　（4）选拔赛中，成绩在 94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定 2 名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率． 22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高 CD 为 1.7米，他站在 D 处测得塔顶的仰角∠ACG 为 45°，小琴的目高 EF 为 1.5米，她站在距离塔底中心 B 点 a 米远的 F 处，测得塔顶的仰角∠AEH 为 62.3°．（点 D、B、F 在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈ 41.9）（1）求小亮与塔底中心的距离 BD；（用含 a 的式子表示）（2）若小亮与小琴相距 52米，求慈氏塔的高度 AB． 23．（10分）操作体验：如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 D 恰好与点 B 重合，点 C 落在点 C′处．点 P 为直线 EF 上一动点（不与 E、F 重合），过点 P 分别作直线 BE、BF 的垂线，垂足分别为点 M 和 N，以 PM、PN 为邻边构造平行四边形 PMQN．（1）如图 1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图 2，若 DE＝5，CF＝2，当点 P 在线段 EF 上运动时，求平行四边形 PMQN 的周长；（3）类比探究：若 DE＝a，CF＝b． ①如图 3，当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时，试用含 a、b 的式子表示 QM 与 QN 之间的数量关系，并证明； ②如图 4，当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时，请直接用含 a、b 的式子表示 QM 与 QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程） 24．（10分）如图 1，△AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 F1：y＝ x2+ x 的图象上，点 A 的横坐标为﹣4，点 B 的纵坐标为﹣2．（点 A 在点 B 的左侧）（1）求点 A、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A’OB’，抛物线 F2：y＝ax2+bx+4经过 A’、B’ 5两点，已知点 M 为抛物线 F2的对称轴上一定点，且点 A’恰好在以 OM 为直径的圆上，连接 OM、A’M，求△OA’M 的面积；（3）如图 2，延长 OB’交抛物线 F2于点 C，连接 A’C，在坐标轴上是否存在点 D，使得以 A、O、D 为顶点的三角形与△OA’C 相似．若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 62019年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，满分 24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A． 2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误； B、x3÷x2＝x，正确； C、x3•x2＝x5，故此选项错误； D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；故选：B． 3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意； B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意； C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意； D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C． 4．【解答】解：∵BE 平分∠ABC，∠ABC＝50°， ∴∠ABE＝∠EBC＝25°， ∵BE∥DC， ∴∠EBC＝∠C＝25°．故选：B． 5．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且 x≠0．故选：D． 6．【解答】解：∵S 甲 2＝1.2，S 乙 2＝1.1，S 丙 2＝0.6，S 丁 2＝0.9， 2∴S 丙 2＜S 丁 2＜S 乙 2＜S 甲，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C． 77．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题； B．同角（或等角）的余角相等；真命题； C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题； D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A． 8．【解答】解：由题意知二次函数 y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2是方程 x2+2x+c＝ x 的两个实数根，且 x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，则．解得 c＜﹣2，故选：B．二、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，满分 32分） 9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）．故答案是：a（x﹣y）． 10．【解答】解：将 600000用科学记数法表示为：6×105．故答案为：6×105． 11．【解答】解：∵写有数字、、﹣1、0、π 的五张大小和质地均相同的卡片，、π 是无理数， ∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：故答案为：．．12．【解答】解：设多边形的边数为 n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4． 13．【解答】解：方程两边同乘 x（x+1），得 x+1＝2x，解得 x＝1． 8将 x＝1代入 x（x+1）＝2≠0．所以 x＝1是原方程的解． 14．【解答】解：∵x﹣3＝2， ∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2 ＝（2﹣1）2 ＝1．故答案为：1． 15．【解答】解：设第一天织布 x 尺，则第二天织布 2x 尺，第三天织布 4x 尺，第四天织布 8x 尺，第五天织布 16x 尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝即该女子第一天织布故答案为：，尺．．16．【解答】解：连接 OM， ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∠OAM＝∠AMO， ∴∠CAM＝∠OAM，即 AM 平分∠CAB，故①正确； ∵AB 为⊙O 的直径， 9∴∠AMB＝90°， ∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确； ∵∠APE＝30°， ∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴的长为，故③错误； ∵BD⊥PC，AC⊥PC， ∴BD∥AC， ∴，∴PB＝ ∴，，BD＝，∴PB＝OB＝OA， ∴在 Rt△OMP 中，OM＝＝2， ∴∠OPM＝30°， ∴PM＝2 ，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共 8小题，满分 64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：原式＝1﹣2× +3﹣1 ＝1﹣1+3﹣1 ＝2． 18．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， 10 ∴AD＝CD，在△ADF 和△CDE 中，，∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 19．【解答】解：（1）∵双曲线 y＝经过点P（2，1）， ∴m＝2×1＝2；（2）∵双曲线 y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点， ∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0， ∴△＝（﹣4）2﹣4k（• ﹣2）＞0， ∴k＞﹣2， ∴k 的取值范围是﹣2＜k＜0． 20．【解答】解：（1）设改造土地面积是 x 亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，由题意，得 x+（600+x）＝1200 解得 x＝300．则 600+x＝900．答：改造土地面积是 300亩，则复耕土地面积是 900亩；（2）设休闲小广场总面积是 y 亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，由题意，得 y≤ （300﹣y）．解得 y≤75．故休闲小广场总面积最多为 75亩．答：休闲小广场总面积最多为 75亩． 21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下： 11 （3）由于 40个数据的中位数是第 20、21个数据的平均数，而第 20、21个数据均落在 89.5～94.5， ∴测他的成绩落在分数段 89.5～94.5内，故答案为：89.5～94.5．（4）选手有 4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为＝． 22．【解答】解：（1）由题意得，四边形 CDBG、HBFE 为矩形， ∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5， ∴GH＝0.2，在 Rt△AHE 中，tan∠AEH＝，则 AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a， ∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在 Rt△ACG 中，∠ACG＝45°， ∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2， ∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离 BD（1.9a﹣0.2）米； 12 （2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则 AG＝1.9a﹣0.2＝34.4， ∴AB＝AG+GB＝36.1，答：慈氏塔的高度 AB 为 36.1米． 23．【解答】（1）证明：如图 1中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．（2）解：如图 2中，连接 BP，作 EH⊥BC 于 H，则四边形 ABHE 是矩形，EH＝AB． ∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，在 Rt△ABE 中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴ •BF•EH＝ •BE•PM+ •BF•PN， 13 ∵BE＝BF， ∴PM+PN＝EH＝，∵四边形 PMQN 是平行四边形， ∴四边形 PMQN 的周长＝2（PM+PN）＝2 ．（3）①证明：如图 3中，连接 BP，作 EH⊥BC 于 H． ∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝ ∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF BE•PM﹣ •BF•PN＝ •BF•EH，，，∴∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形 PMQN 是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图 4，当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．24．【解答】解：（1）当 x＝﹣4时，y＝ ×（﹣4）2+ ×（﹣4）＝﹣4 ∴点 A 坐标为（﹣4，﹣4）当 y＝﹣2时， x2+ x＝﹣2 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点 A 在点 B 的左侧 14 ∴点 B 坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图 1，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，过点 B’作 B’G⊥x 轴于点 G ∴∠BEO＝∠OGB’＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A’OB’ ∴OB＝OB’，∠BOB’＝90° ∴∠BOE+∠B’OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ∴∠B’OG＝∠OBE 在△B’OG 与△OBE 中 ∴△B’OG≌△OBE（AAS） ∴OG＝BE＝2，B’G＝OE＝1 ∵点 B’在第四象限 ∴B’（2，﹣1）同理可求得：A’（4，﹣4） ∴OA＝OA’＝ ∵抛物线 F2：y＝ax2+bx+4经过点 A’、B’ ∴解得： ∴抛物线 F2解析式为：y＝ x2﹣3x+4 ∴对称轴为直线：x＝﹣ ＝6 ∵点 M 在直线 x＝6上，设 M（6，m） ∴OM2＝62+m2，A’M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20 ∵点 A’在以 OM 为直径的圆上 ∴∠OA’M＝90° ∴OA’2+A’M2＝OM2 ∴（4 ）2+m2+8m+20＝36+m2 15 解得：m＝﹣2 ∴A’M＝ ∴S△OA’M ＝OA’•A’M＝＝8 （3）在坐标轴上存在点 D，使得以 A、O、D 为顶点的三角形与△OA’C 相似． ∵B’（2，﹣1） ∴直线 OB’解析式为 y＝﹣ x解得：（即为点 B’） ∴C（8，﹣4） ∵A’（4，﹣4） ∴A’C∥x 轴，A’C＝4 ∴∠OA’C＝135° ∴∠A’OC＜45°，∠A’CO＜45° ∵A（﹣4，﹣4），即直线 OA 与 x 轴夹角为 45° ∴当点 D 在 x 轴负半轴或 y 轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD 不可能与△OA’C 相似 ∴点 D 在 x 轴正半轴或 y 轴正半轴时，∠AOD＝∠OA’C＝135°（如图 2、图 3） ①若△AOD∽△OA’C，则＝1 ∴OD＝A’C＝4 ∴D（4，0）或（0，4） ②若△DOA∽△OA’C，则 ∴OD＝ OA’＝8 ∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点 D 坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以 A、O、D 为顶点的三角形与△OA’C 相似． 16 17