湖北省荆门市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题：本题共 12小题，每小题 3分，共 36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1．﹣ 的倒数的平方是（　　） A．2 B． C．﹣2 D．﹣ 【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．【解答】解：﹣ 的倒数的平方为：．故选：B．【点评】本题考查了倒数的定义、平方的定义以及二次根式的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键 2．已知一天有 86400秒，一年按 365天计算共有 31536000秒，用科学记数法表示 31536000 正确的是（　　） A．3.1536×106 C．31.536×106 B．3.1536×107 D．0.31536×108 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将 31536000用科学记数法表示为 3.1536×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．已知实数 x，y 满足方程组则 x2﹣2y2的值为（　　） C．3 D．﹣3 A．﹣1 B．1 【分析】首先解方程组，求出 x、y 的值，然后代入所求代数式即可．【解答】解：，①+②×2，得 5x＝5，解得 x＝1，把 x＝1代入②得，1+y＝2，解得 y＝1， 1∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于 x、y 的方程组是关键． 4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°， ∴∠3＝∠2＝45°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．抛物线 y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先计算自变量为 0对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点坐标，再解方程﹣ x2+4x﹣4＝0得抛物线与 x 轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 2【解答】解：当 x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，﹣ 4），当 y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得 x1＝x2＝2，抛物线与 x 轴的交点坐标为（2，0），所以抛物线与坐标轴有 2个交点．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程． 6．不等式组的解集为（　　） A．﹣ ＜x＜0 B．﹣ ＜x≤0 C．﹣ ≤x＜0 D．﹣ ≤x≤0 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≥﹣ 解②得 x＜0，，则不等式组的解集为﹣ ≤x＜0．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则， 7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为 a，b．那么方程 x2+ax+b＝0 有解的概率是（　　） A． B． C． D．【分析】画树状图展示所有 36种等可能的结果数，再找出使 a2﹣4b≥0，即 a2≥4b 的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为： 3共有 36种等可能的结果数，其中使 a2﹣4b≥0，即 a2≥4b 的有 19种， ∴方程 x2+ax+b＝0有解的概率是故选：D．，【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率． 8．欣欣服装店某天用相同的价格 a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．与售价 a 有关【分析】设第一件衣服的进价为 x 元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为 y 元，依题意得：y（1﹣20%）＝a，得出 x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服总的盈亏就可求出．【解答】解：设第一件衣服的进价为 x 元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为 y 元，依题意得：y（1﹣20%）＝a， ∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，即赔了 0.1x 元，故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件衣服的进价故选，进而求出总盈亏． 9．如果函数 y＝kx+b（k，b 是常数）的图象不经过第二象限，那么 k，b 应满足的条件是 4（　　） A．k≥0且 b≤0 B．k＞0且 b≤0 C．k≥0且 b＜0 D．k＞0且 b＜0 【分析】结合题意，分 k＝0和 k＞0两种情况讨论，即可求解；【解答】解：∵y＝kx+b（k，b 是常数）的图象不经过第二象限，当 k＝0，b＜0时成立；当 k＞0，b≤0时成立；综上所述，k≥0，b≤0；故选：A．【点评】本题考查函数图象及性质；正确理解题意中给的函数确定 k＝0和 k≠0有两种情况是解题的关键． 10．如图，Rt△OCB 的斜边在 y 轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点 C 在第二象限，将 Rt△OCB 绕原点顺时针旋转 120°后得到△OC′B’，则 B 点的对应点 B′ 的坐标是（　　） A．（，﹣1） B．（1，﹣ ）C．（2，0） D．（，0）【分析】如图，利用含 30度的直角三角形三边的关系得到 BC＝1，再利用旋转的性质得到 OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点 B′的坐标．【解答】解：如图，在 Rt△OCB 中，∵∠BOC＝30°， ∴BC＝ OC＝ × ＝1， ∵Rt△OCB 绕原点顺时针旋转 120°后得到△OC′B’， ∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°， ∴点 B′的坐标为（，﹣1）．故选：A． 5【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°， 90°，180°． 11．下列运算不正确的是（　　） A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1） B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2 C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3 D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3 【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A 正确，不符合题意； x2+y2+z2+xy+yz+zx＝ [（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B 错误，符合题意；（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C 正确，不符合题意；（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D 正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键． 12．如图，△ABC 内心为 I，连接 AI 并延长交△ABC 的外接圆于 D，则线段 DI 与 DB 的关系是（　　） A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定【分析】连接 BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角 6定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断 DI＝DB．【解答】解：连接 BI，如图， ∵△ABC 内心为 I， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6， ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2， ∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI， ∴DI＝DB．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 13．计算 +|sin30°﹣π0|+ ＝　1﹣．【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣ +1﹣ ＝1﹣ 故答案为：1﹣ ﹣．．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 14．已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1 ﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则 k 的值为　1　． 7【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于 k 的一元二次方程，解之即可得出 k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围，进而即可确定 k 值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1． ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即 x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2， ∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣ ，k2＝1． ∵关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根， ∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2 或 k＞﹣3+2 ∴k＝1．，故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣ 1）（x2﹣1）＝8k2，求出 k 值是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形 OAB 的边 OA，AB 分别交于点 M，N，且 OM＝2MA，若 AB＝3，那么点 N 的横坐标为　　．【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出 OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点 M 的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点 N 在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线 AB 的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出 x 的值，再进行取舍即可．【解答】解：过点 A、M 分别作 AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为 C、D， ∵△AOB 是等边三角形， 8∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60° ∵又 OM＝2MA， ∴OM＝2，MA＝1，在 Rt△MOD 中， OD＝ OM＝1，MD＝ ∴M（1，）；，∴反比例函数的关系式为：y＝在 Rt△MOD 中， OC＝ OA＝，AC＝，∴A（，），设直线 AB 的关系式为 y＝kx+b，把 A（解得：k＝﹣ ，b＝，），B（3，0）代入得：，∴y＝ x+ ；由题意得：解得：x＝，∵x＞ ∴x＝，，故点 N 的横坐标为：【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的 x 的值． 916．如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，以 A 为圆心，1为半径作圆分别交 AB，AC 边于 D， E，再以点 C 为圆心，CD 长为半径作圆交 BC 边于 F，连接 E，F，那么图中阴影部分的面积为　 + ﹣．【分析】过 A 作 AM⊥BC 于 M，EN⊥BC 于 N，根据等边三角形的性质得到 AM＝ BC＝ ×2＝，求得EN＝ AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过 A 作 AM⊥BC 于 M，EN⊥BC 于 N， ∵等边三角形 ABC 的边长为 2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∴AM＝ BC＝ ×2＝，∵AD＝AE＝1， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴EN＝ AM＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S 扇形 ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S 扇形 DCF）＝ ×2× ﹣﹣×﹣（ ×﹣）＝ + ﹣ ，故答案为： +﹣ ．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数）的顶点为 P，且抛物线经过点 A（﹣1，0），B （m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论： 10 ①abc＞0， ②3a+c＜0， ③a（m﹣1）+2b＞0， ④a＝﹣1时，存在点 P 使△PAB 为直角三角形．其中正确结论的序号为　②③　．【分析】由已知可以确定 a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0； ①abc＜0； ②当 x＝3时，y＜0，即 9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0； ③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0； ④a＝﹣1时，P（，b+1+ 2不合题意；），则△PAB 为等腰直角三角形，b+1+ ＝ +1，求出 k＝﹣ 【解答】解：将 A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式 y＝ax2+bx+c， ∴对称轴 x＝，∴﹣ ＝m﹣1， ∵1＜m＜3， ∴ab＜0， ∵n＜0， ∴a＜0， ∴b＞0， ∵a﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣a＞0 ①abc＜0；错误； ②当 x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确； ③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确； ④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c， ∴P（，b+1+ ），若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， 11 ∴AP 的直线解析式的 k＝1， ∴b+1+ ＝ +1， ∴b＝﹣2， ∵b＞0， ∴不存在点 P 使△PAB 为直角三角形． ④错误；故答案为②③；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数 a，b，c 的取值情况是解题的关键．三、解答题：共 69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（8分）先化简，再求值：（）2• ﹣÷，其中 a＝，b＝．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a、b 的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝，当 a＝，b＝时，原式＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 19．（9分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AC＝2 （1）求平行四边形 ABCD 的面积；．（2）求证：BD⊥BC． 12 【分析】（1）作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，设 BE＝x，由勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；（2）利用全等三角形的判定与性质得出 AF＝BE＝，BF＝5﹣ ＝，DF＝CE＝，从而求出 BD 的长，在△BCD 中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．【解答】解：（1）作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，如图：设 BE＝x，CE＝h 在 Rt△CEB 中：x2+h2＝9① 在 Rt△CEA 中：（5+x）2+h2＝52② 联立①②解得：x＝，h＝ ∴平行四边形 ABCD 的面积＝AB•h＝12；（2）作 DF⊥AB，垂足为 F ∴∠DFA＝∠CEB＝90° ∵平行四边形 ABCD ∴AD＝BC，AD∥BC ∴∠DAF＝∠CBE 又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC ∴△ADF≌△BCE（AAS） ∴AF＝BE＝，BF＝5﹣ ＝，DF＝CE＝在 Rt△DFB 中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16 ∴BD＝4 ∵BC＝3，DC＝5 ∴CD2＝DB2+BC2 ∴BD⊥BC．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强． 13 20．（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读 5册书数的数据．（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校 1200名学生中课外阅读 5册书的学生人数；（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是 6 册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？【分析】（1）设阅读 5册书的人数为 x，由统计中的信息列式计算即可；（2）该校 1200名学生数×课外阅读 5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；（3）设补查了 y 人，根据题意列不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设阅读 5册书的人数为 x，由统计图可知：＝30%， ∴x＝14， ∴条形图中丢失的数据是 14，阅读书册数的众数是 5，中位数是 5；（2）该校 1200名学生中课外阅读 5册书的学生人数为 1200× ＝420（人），答：该校 1200名学生中课外阅读 5册书的学生人数是 420人；（3）设补查了 y 人，根据题意得，12+6+y＜8+14， ∴y＜4， ∴最多补查了 3人．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（10分）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 R． 14 （1）求证：＝2R；（2）若△ABC 中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC 的长及 sinC 的值．【分析】（1）如图 1，连接 AO 并延长交⊙O 于 D，连接 CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC ＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由＝2R，同理可得：＝2R，于是得到 2R＝＝2，即可得到 BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，如图2，过 C 作 CE⊥AB 于 E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图 1，连接 AO 并延长交⊙O 于 D，连接 CD，则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC， ∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，∴＝2R；＝2R，（2）∵ 同理可得：＝2R， ∴2R＝＝2， ∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝如图 2，过 C 作 CE⊥AB 于 E，，∴BE＝BC•cosB＝ cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，∴AB＝AE+BE＝，∵AB＝AR•sinC， ∴sinC＝＝．15 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得 AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE．【分析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于点 H，根据 GF∥AC 得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于点 H， ∵GF∥AC， ∴△MAC∽△MFG， 16 ∴，即：，∴，∴OE＝32，答：楼的高度 OE 为 32米．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答． 23．（10分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的 30天中，其销售价格 m（元/公斤）与第 x 天之间满足 m＝（x 为正整数），销售量 n（公斤）与第 x 天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为 80元．（1）求销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的 30天中，每天的销售利润 y 与第 x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润 y 的最大值及相应的 x． 17 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式，（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 y 与第 x 天之间的函数关系式，（3）再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）当 1≤x≤10时，设 n＝kx+b，由图知可知，解得 ∴n＝2x+10 同理得，当 10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44 ∴销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式：n＝（2）∵y＝mn﹣80 ∴y＝整理得，y＝（3）当 1≤x≤10时， ∵y＝6×2+60x+70的对称轴 x＝＝＝﹣5 ∴此时，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 ∴x＝10时，y 取最大值，则 y10＝1270 当 10＜x＜15时 ∵y＝﹣4.2×2+111x+580的对称轴是 x＝﹣ ＝＝≈13.2＜13.5 ∴x 在 x＝13时，y 取得最大值，此时 y＝1313.2 当 15≤x≤30时 ∵y＝1.4×2﹣149x+3220的对称轴为 x＝＝＞30 ∴此时，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小 18 ∴x＝15时，y 取最大值，y 的最大值是 y15＝1300 综上，草莓销售第 13天时，日销售利润 y 最大，最大值是 1313.2元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 x＝时取得． 24．（12分）已知抛物线 y＝ax2+bx+c 顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线 y＝x﹣1 交于 A，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点 Q，M，N，满足 S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求 S 的值；（3）在 A，B 之间的抛物线弧上是否存在点 P 满足∠APB＝90°？若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M （ x1 ， y1 ）， N （ x2 ， y2 ）之间的距离MN ＝）【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为 y＝a（x﹣2）2﹣1，再把点 C （0，3）代入即求得 a 的值，进而得到抛物线解析式．（2）把抛物线解析式与直线 y＝x﹣1联立方程组，解方程组求得点 A、B 坐标，画出抛物线和直线草图．由图可知，△QAB、△MAB、△NAB 以 AB 为公共底时，高相等才有面积相等．假设 M、N 在直线 AB 上方的抛物线上，只要 MN∥AB，根据平行线间距离处处相等，则一定有 S△MAB＝S△NAB＝S；当点 Q 在直线 AB 下方且只有唯一的点 Q 满足 S△QAB＝S，则 Q 到 AB 距离取最大值．过点 Q 分别作 y 轴平行线 QC，作直线 AB 垂线 QD，易证△CDQ 为等腰直角三角形，故 CQ 取得最大值时，DQ 也最大．设点 Q 横坐标为 t，用 t 表示 CQ 的长并配方求得最大值，进而求得 DQ 最大值，再用 S＝S△QAB ＝ AB•DQ 求得 S 的值．（3）由∠APB＝90°，根据勾股定理有 AP2+BP2＝AB2，设点 P 横坐标为 p，根据两点间距离公式用 p 表示 AP2、BP2，列得关于 p 的一元四次方程．化简并对式子进行因式分解，由 1＜p＜4可进行两次约公因式达到降次效果，最终得到关于 p 的一元二次方程，求得的解有一个满足 p 的范围，即存在满足的点 P．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1） ∴顶点式为 y＝a（x﹣2）2﹣1 19 ∵抛物线经过点 C（0，3） ∴4a﹣1＝3 解得：a＝1 ∴抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3 （2）解得：，∴A（1，0），B（4，3） ∴AB＝设直线 y＝x﹣1与 y 轴交于点 E，则 E（0，﹣1） ∴OA＝OE＝1 ∴∠AEO＝45° ∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S ∴点 Q、M、N 到直线 AB 的距离相等如图，假设点 M、N 在直线 AB 上方，点 Q 在直线 AB 下方 ∴MN∥AB 时，总有 S△MAB＝S△NAB＝S 要使只有一个点 Q 在直线 AB 下方满足 S△QAB＝S，则 Q 到 AB 距离必须最大过点 Q 作 QC∥y 轴交 AB 于点 C，QD⊥AB 于点 D ∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45° ∴△CDQ 是等腰直角三角形 ∴DQ＝ CQ 设 Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则 C（t，t﹣1） ∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣ ）2+ ∴t＝时，CQ 最大值为 ∴DQ 最大值为 ∴S＝S△QAB ＝ AB•DQ＝（3）存在点 P 满足∠APB＝90°． 20 ∵∠APB＝90°，AB＝3 ∴AP2+BP2＝AB2 设 P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4） 222∴AP2＝（p﹣1）+（p2﹣4p+3）＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）+（p2﹣4p+3﹣ 3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16 2∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3 整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0 p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0 p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0 （p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0 ∵p＜4 ）∴p﹣4≠0 ∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0 展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0 （p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0 （p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0 （p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0 ∵p＞1 ∴p﹣1≠0 ∴p2+p+1﹣4p＝0 解得：p1＝，p2＝（舍去） ∴点 P 横坐标为时，满足∠APB＝90°．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，一元二次方程的解法，平行线间距离处处相等，勾股定理，因式分解．第（2）题的解题关键是理解题意并转化 21 为求线段最值问题；第（3）题的解题关键是列得关于 p 的一元四次方程后要有技巧地进行因式分解，通过约去公因式达到降次的效果再解方程． 22