湖北省荆州市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10小题每小题只有唯一正确答案，每小题 3分，共 30分） 1．（3分）下列实数中最大的是（　　） A． B．π C． D．|﹣4| 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．x﹣ x＝ B．a3•（﹣a2）＝﹣a6 D．﹣（a2）2＝a4 C．（ ﹣1）（ +1）＝4 3．（3分）已知直线 m∥n，将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（∠ABC＝30 °），其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．该几何体是长方体 B．该几何体的高是 3 C．底面有一边的长是 1 D．该几何体的表面积为 18平方单位 5．（3分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B，C 分别落在∠MON 的边 OM，ON 上，若 OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON 的平分线．小明的作法如下：连接 AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射线 OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（　　） 1A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（3分）若一次函数 y＝kx+b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2+kx+b＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 C．无实数根 B．有两个相等的实数根 D．无法确定 7．（3分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，），以原点为中心，将点A 顺时针旋转 30°得到点 A’，则点 A’的坐标为（　　） A．（，1） B．（，﹣1） C．（2，1） D．（0，2） 8．（3分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为 1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为 1.63米，下列说法一定正确的是（　　） A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高 B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高 C．丁同学的身高为 1.71米 D．四位同学身高的众数一定是 1.65 9．（3分）已知关于 x 的分式方程 ﹣2＝的解为正数，则 k 的取值范围为（　　） D．k＜2且 k≠1 A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且 k≠﹣1 C．k＞﹣2 10．（3分）如图，点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点，将△OAC 沿 AC 折叠，点 O 恰好落在 l上的点 D 处，且：l＝1：3（ l 表示的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（　　） A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9 二、填空题（本大题共 6小题每小题 3分，共 18分） 211．（3分）二次函数 y＝﹣2×2﹣4x+5的最大值是　　． 12．（3分）如图①，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 4cm，E，F，G 分别是 AB，AA1，AD 的中点，截面 EFG 将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为　　cm2． 13．（3分）对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当 n 为非负整数时，若 n﹣ 0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数 x 的取值范围是　　． 14．（3分）如图，灯塔 A 在测绘船的正北方向，灯塔 B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行 20海里后，恰好在灯塔 B 的正南方向，此时测得灯塔 A 在测绘船北偏西 63.5 °的方向上，则灯塔 A，B 间的距离为　海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5 °≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， ≈2.24） 15．（3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D， E 为弦 AC 的中点，AD＝10，BD＝6，若点 P 为直径 AB 上的一个动点，连接 EP，当△AEP 是直角三角形时，AP 的长为　． 16．（3分）边长为 1的 8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线 y＝k1x 平分这 8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于 A，B 两点，过 B 点的双曲线 y＝的一支交其中两个正方形的边于 C，D 两点，连接 OC，OD，CD，则 S△OCD＝　． 3三、解答题（本大题共 8小题，共 72分） 17．（8分）已知：a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |，b＝ ﹣2sin45°+（）﹣1，求 b﹣ a 的算术平方根． 18．（8分）先化简（ ﹣1）÷ ，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为 a 的值代入求值． 19．（8分）如图①，等腰直角三角形 OEF 的直角顶点 O 为正方形 ABCD 的中心，点 C，D 分别在 OE 和 OF 上，现将△OEF 绕点 O 逆时针旋转 α 角（0°＜α＜90°），连接 AF，DE （如图②）．（1）在图②中，∠AOF＝　　；（用含 α 的式子表示）（2）在图②中猜想 AF 与 DE 的数量关系，并证明你的结论． 20．（8分）体育组为了了解九年级 450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：组别个数段频数 5频率 0.1 12340≤x＜10 10≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 21 a0.42 b（1）表中的数 a＝　　，b＝　　；（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于 10的人数；（3）排球垫球测试结果小于 10的为不达标，若不达标的 5人中有 3个男生，2个女生， 4现从这 5人中随机选出 2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的 2人为一个男生一个女生的概率． 21．（8分）若二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数 y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称 y＝ax2+bx+c（a≠0）为 y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是 y＝x+1 的伴随函数．（1）若 y＝x2﹣4是 y＝﹣x+p 的伴随函数，求直线 y＝﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数 y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数 y＝x2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4，求 m，n 的值． 22．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，点 P 是半径 OB 上一动点（不与 O，B 重合），过点 P 作射线 1⊥AB，分别交弦 BC，于D，E 两点，在射线 l 上取点 F，使 FC＝FD．（1）求证：FC 是⊙O 的切线；（2）当点 E 是的中点时， ①若∠BAC＝60°，判断以 O，B，E，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②若 tan∠ABC＝，且AB＝20，求 DE 的长． 23．（10分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10名学生没老师带；若每位老师带队 15名学生，就有一位老师少带 6 5名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车 35 乙型客车载客量（人/辆）租金（元/辆） 30 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2名老师，可知租车总辆数为　　辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（6， 0），（4，3），经过 B，C 两点的抛物线与 x 轴的一个交点 D 的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC 的平分线交 BC 于点 E，交抛物线的对称轴于点 F，点 P 是 x 轴上一动点，当 PE+PF 的值最小时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H，点 M，N 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点 M，N，使得以点 M，N，H，E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 M 的坐标，若不存在，说明理由． 62019年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10小题每小题只有唯一正确答案，每小题 3分，共 30分） 1．【解答】解：∵ ＜π＜＜|﹣4|＝4， ∴所给的几个数中，最大的数是|﹣4|．故选：D． 2．【解答】解：A、x﹣ x＝ x，故本选项错误； B、a3（• ﹣a2）＝﹣a5，故本选项错误； C、（ ﹣1）（ +1）＝5﹣1＝4，故本选项正确； D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项错误；故选：C． 3．【解答】解：∵直线 m∥n， ∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°， ∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，故选：B． 4．【解答】解：A、该几何体是长方体，正确； B、该几何体的高为 3，正确； C、底面有一边的长是 1，正确； D、该几何体的表面积为：2×（1×2+2×3+1×3）＝22平方单位，故错误，故选：D． 5．【解答】解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AE＝CE，而 OA＝OC， ∴OE 为∠AOC 的平分线．故选：C． 6．【解答】解：∵一次函数 y＝kx+b 的图象不经过第二象限， ∴k＞0，b≤0， 7∴△＝k2﹣4b＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：A． 7．【解答】解：如图，作 AE⊥x 轴于 E，A′F⊥x 轴于 F． ∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30° ∴∠AOE＝∠A′， ∵OA＝OA′， ∴△AOE≌△OA′F（AAS）， ∴OF＝AE＝，A′F＝OE＝1， ∴A′（，1）．故选：A． 8．【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误； B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误； C、丁同学的身高为 1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确； D．四位同学身高的众数一定是 1.65，错误．故选：C． 9．【解答】解：∵ ＝2，＝2， ∴∴x＝2+k， ∵该分式方程有解， ∴2+k≠1， ∴k≠﹣1， ∵x＞0， 8∴2+k＞0， ∴k＞﹣2， ∴k＞﹣2且 k≠﹣1，故选：B． 10．【解答】解：连接 OD 交 OC 于 M．由折叠的知识可得：OM＝ OA，∠OMA＝90°， ∴∠OAM＝30°， ∴∠AOM＝60°， ∵且：＝1：3， ∴∠AOB＝80° 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，＝2πr， ∴r：i＝2：9．故选：D．二、填空题（本大题共 6小题每小题 3分，共 18分） 11．【解答】解：y＝﹣2×2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数 y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是 7，故答案为：7． 12．【解答】解：∵已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 4cm，E，F，G 分别是 AB，AA1，AD 的中点， ∴GF＝GE＝EF＝＝2 ，过 G 作 GH⊥EF 于 H， ∴GH＝ GF＝，9∴图②中阴影部分的面积＝ ×2 × ＝2 cm2．故答案为：2 ．13．【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5 解得 13≤x＜15．故答案是：13≤x＜15． 14．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°， ∴BN＝MN＝20，如图，过 A 作 AE⊥BN 于 E，则四边形 AMNE 是矩形， ∴AE＝MN＝20，EN＝AM， ∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10， ∴BE＝20﹣10＝10， ∴AB＝＝10 ≈22.4海里．故答案为：22.4． 15．【解答】解：∵过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D， ∴AB⊥BD， ∴AB＝＝＝8，当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC， ∴EP 经过圆心 O， ∴AP＝AO＝4；当∠APE＝90°时，则 EP∥BD， 10 ∴＝，∵DB2＝CD•AD， ∴CD＝＝＝3.6， ∴AC＝10﹣3.6＝6.4， ∴AE＝3.2， ∴＝，∴AP＝2.56．综上 AP 的长为 4和 2.56．故答案为 4和 2.56． 16．【解答】解：设 A（4，t）， ∵直线 y＝k1x 平分这 8个正方形所组成的图形的面积， ∴ ×4×t＝4+1，解得 t＝ ∴A（4，），，把 A（4，）代入直线y＝k1x 得 4k1＝，解得k1＝ ∴直线解析式为 y＝ x，，当 x＝2时，y＝ x＝，则B（2，）， ∵双曲线 y＝ ∴k2＝2× 经过点 B，＝，∴双曲线的解析式为 y＝＝，当 y＝2时，＝2，解得 x＝，则C（，2）；，则 D（3，），当 x＝3时，y＝＝∴S△OCD＝3×2﹣ ×3× ﹣ ×2× 故答案为三、解答题（本大题共 8小题，共 72分） ﹣（2﹣ ）×（3﹣ ）＝．．11 17．【解答】解：∵a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |＝3﹣1+ ﹣1＝1+ b＝ ﹣2sin45°+（ ﹣1＝2 ﹣ +2＝ +2． ∴b﹣a＝ +2﹣1﹣ ＝1．＝1．，）∴＝18．【解答】解：（ ﹣1）÷ ＝＝＝，当 a＝﹣2时，原式＝＝﹣1． 19．【解答】解：（1）如图 2， ∵△OEF 绕点 O 逆时针旋转 α 角， ∴∠DOF＝∠COE＝α， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠AOD＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣α；故答案为 90°﹣α；（2）AF＝DE．理由如下：如图②，∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD， ∵∠DOF＝∠COE＝α， ∴∠AOF＝∠DOE， ∵△OEF 为等腰直角三角形， ∴OF＝OE，在△AOF 和△DOE 中，∴△AOF≌△DOE（SAS）， 12 ∴AF＝DE． 20．【解答】解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人）， 20≤x＜30的人数：50× ＝20（人），即 a＝20， 30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人）， b＝＝0.08，故答案为 20，0.08；（2）该九年级排球垫球测试结果小于 10的人数 450×（1﹣0.1）＝405（人），答：该九年级排球垫球测试结果小于 10的人数为 405人；（3）列表如下 ∴P（选出的 2人为一个男生一个女生的概率）＝＝． 21．【解答】解：∵y＝x2﹣4， ∴其顶点坐标为（0，﹣4）， ∵y＝x2﹣4是 y＝﹣x+p 的伴随函数， ∴（0，﹣4）在一次函数 y＝﹣x+p 的图象上， ∴﹣4＝0+p． ∴p＝﹣4， ∴一次函数为：y＝﹣x﹣4， ∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0）， ∴直线 y＝﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4， ∴直线 y＝﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数 y＝x2+2x+n 与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x2＝﹣2，x1x2＝ n， 13 ∴，∵函数 y＝x2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4， ∴，解得，n＝﹣3， ∴函数 y＝x2+2x+n 为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∵y＝x2+2x+n 是 y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数， ∴﹣4＝﹣m﹣3， ∴m＝1． 22．【解答】解：（1）证明：连接 OC，∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵PF⊥AB， ∴∠BPD＝90°， ∴∠OBC+∠BDP＝90°， ∵FC＝FD ∴∠FCD＝∠FDC ∵∠FDC＝∠BDP ∴∠OCB+∠FCD＝90° ∴OC⊥FC ∴FC 是⊙O 的切线．（2）如图 2，连接 OC，OE，BE，CE， ①以 O，B，E，C 为顶点的四边形是菱形．理由如下： ∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°， ∵点 E 是的中点， ∴∠BOE＝∠COE＝60°， ∵OB＝OE＝OC ∴△BOE，△OCE 均为等边三角形， ∴OB＝BE＝CE＝OC 14 ∴四边形 BOCE 是菱形； ②若 tan∠ABC＝，且AB＝20，求 DE 的长． ∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得 AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得 k＝4， ∴AC＝12，BC＝16， ∵点 E 是的中点， ∴OE⊥BC，BH＝CH＝8， ∴OE×BH＝OB×PE，即 10×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得 OP＝＝＝6， ∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4， ∵＝tan∠ABC＝，即DP＝ BP＝＝3 ∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5． 23．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有 x 人，学生有 y 人，依题意，得：解得：，．答：参加此次研学活动的老师有 16人，学生有 234人．（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆）， 15 ∴租车总辆数为 8辆．故答案为：8．（3）设租 35座客车 m 辆，则需租 30座的客车（8﹣m）辆，依题意，得：，解得：2≤m≤5 ∵m 为正整数，．∴m＝2，3，4，5， ∴共有 4种租车方案．设租车总费用为 w 元，则 w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560， ∵80＞0， ∴w 的值随 m 值的增大而增大， ∴当 m＝2时，w 取得最小值，最小值为 2720． ∴学校共有 4种租车方案，最少租车费用是 2720元． 24．【解答】解：（1）∵平行四边形 OABC 中，A（6，0），C（4，3） ∴BC＝OA＝6，BC∥x 轴 ∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即 B（10，3）设抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 B、C、D（1，0） ∴解得： ∴抛物线解析式为 y＝﹣ x2+ x﹣ （2）如图 1，作点 E 关于 x 轴的对称点 E’，连接 E’F 交 x 轴于点 P ∵C（4，3） ∴OC＝ ∵BC∥OA ∴∠OEC＝∠AOE 16 ∵OE 平分∠AOC ∴∠AOE＝∠COE ∴∠OEC＝∠COE ∴CE＝OC＝5 ∴xE＝xC+5＝9，即 E（9，3） ∴直线 OE 解析式为 y＝ x∵直线 OE 交抛物线对称轴于点 F，对称轴为直线：x＝﹣ 7∴F（7，）∵点 E 与点 E’关于 x 轴对称，点 P 在 x 轴上 ∴E’（9，﹣3），PE＝PE’ ∴当点 F、P、E’在同一直线上时，PE+PF＝PE’+PF＝FE’最小设直线 E’F 解析式为 y＝kx+h ∴解得： ∴直线 E’F：y＝﹣ x+21 当﹣ x+21＝0时，解得：x＝ ∴当 PE+PF 的值最小时，点 P 坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点 M，N，使得以点 M，N，H，E 为顶点的四边形为平行四边形．设 AH 与 OE 相交于点 G（t， t），如图 2 ∵AH⊥OE 于点 G，A（6，0） ∴∠AGO＝90° ∴AG2+OG2＝OA2 ∴（6﹣t）2+（ t）2+t2+（ t）2＝62 ∴解得：t1＝0（舍去），t2＝ 17 ∴G（，）设直线 AG 解析式为 y＝dx+e ∴解得： ∴直线 AG：y＝﹣3x+18 当 y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5 ∴H（5，3） ∴HE＝9﹣5＝4，点 H、E 关于直线 x＝7对称 ①当 HE 为以点 M，N，H，E 为顶点的平行四边形的边时，如图 2 则 HE∥MN，MN＝HE＝4 ∵点 N 在抛物线对称轴：直线 x＝7上 ∴xM＝7+4或 7﹣4，即 xM＝11或 3 当 x＝3时，yM＝﹣ ×9+ ×9﹣ ∴M（3，）或（11，＝）②当 HE 为以点 M，N，H，E 为顶点的平行四边形的对角线时，如图 3 则 HE、MN 互相平分 ∵直线 x＝7平分 HE，点 F 在直线 x＝7上 ∴点 M 在直线 x＝7上，即 M 为抛物线顶点 ∴yM＝﹣ ×49+ ×7﹣ ＝4 ∴M（7，4）综上所述，点 M 坐标为（3，）、（11，）或（7，4）． 18 19