湖北省十堰市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖北省十堰市中考数学试卷一、选择题（本题有 10个小题，每小题 3分，共 30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　） A．0 B．﹣3 C． D． 2．（3分）如图，直线 a∥b，直线 AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 3．（3分）如图是一个 L 形状的物体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．（﹣a）2＝﹣a2 D．（ab）2＝a2b2 C．（a﹣1）2＝a2﹣1 5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 6．（3分）一次数学测试，某小组 5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：组员得分甲乙丙■丁戊平均成绩众数 ■81 77 80 82 80 则被遮盖的两个数据依次是（　　） A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2 7．（3分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有 6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20米，就能提前 15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨 x 米，则根据题意所列的方程是（　　） 1A． C． ﹣﹣＝15 ＝20 B． D． ﹣﹣＝15 ＝20 8．（3分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝则 AE＝（　　），A．3 B．3 C．4 D．2 9．（3分）一列数按某规律排列如下：则 n＝（　　），，，，，，，，，，…，若第n 个数为， A．50 B．60 C．62 D．71 10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数 y＝的图象分别与线段 AB，BC 交于点 D，E，连接 DE．若点 B 关于 DE 的对称点恰好在 OA 上，则 k＝（　　） A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8 二、填空题（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11．（3分）分解因式：a2+2a＝　． 12．（3分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE＝3，则菱形的周长为　． 13．（3分）我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 2若该校有学生 2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有　　人． 14．（3分）对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝ 24，则 m＝　 15．（3分）如图，AB 为半圆的直径，且 AB＝6，将半圆绕点 A 顺时针旋转 60°，点 B 旋转到点 C 的位置，则图中阴影部分的面积为　．　． 16．（3分）如图，正方形 ABCD 和 Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接 BF，DE．若△AEF 绕点 A 旋转，当∠ ABF 最大时，S△ADE＝　．三、解答题（本题有 9个小题，共 72分） 17．（5分）计算：（﹣1）3+|1﹣ |+ ．18．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷（ ﹣2），其中 a＝ +1． 19．（7分）如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3m，坝高 AE＝DF＝6m，坡角 α＝45°，β＝30°，求 BC 的长． 20．（7分）第一盒中有 2个白球、1个黄球，第二盒中有 1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别． 3（1）若从第一盒中随机取出 1个球，则取出的球是白球的概率是　　．（2）若分别从每个盒中随机取出 1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好 1个白球、1 个黄球的概率． 21．（7分）已知于 x 的元二次方程 x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根 x1，x2．（1）求 a 的取值范围；（2）若 x12+x22﹣x1x2≤30，且 a 为整数，求 a 的值． 22．（8分）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径． 23．（10分）某超市拟于中秋节前 50天里销售某品牌月饼，其进价为 18元/kg．设第 x 天的销售价格为 y （元/kg），销售量为 m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 1≤x≤30时，y＝ 40；当 31≤x≤50时，y 与 x 满足一次函数关系，且当 x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m 与 x 的关系为 m＝5x+50．（1）当 31≤x≤50时，y 与 x 的关系式为　　；（2）x 为多少时，当天的销售利润 W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第 31天到第 35天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨 a 元/kg，求 a 的最小值． 24．（10分）如图 1，△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α，D 为△ABC 内一点，将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 α 得到△CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E，且 A，D，E 三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝　　（用含 α 的代数式表示）；（2）如图 2，若 α＝60°，请补全图形，再过点 C 作 CF⊥AE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若 α＝90°，AC＝5 ，且点 G 满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点 C 到 AG 的距离． 425．（12分）已知抛物线 y＝a（x﹣2）2+c 经过点 A（2，0）和 C（0，），与x 轴交于另一点 B，顶点为 D．（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点 P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点 P 的个数． 52019年湖北省十堰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10个小题，每小题 3分，共 30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　） A．0 B．﹣3 C． D．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、0是有理数，故 A 错误； B、﹣3是有理数，故 B 错误； C、是有理数，故C 错误； D、是无理数，故D 正确；故选：D．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2．（3分）如图，直线 a∥b，直线 AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠ 1．【解答】解：∵直线 AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°． ∵∠1＝50°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵直线 a∥b， ∴∠1＝∠3＝40°，故选：C． 6【点评】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 3．（3分）如图是一个 L 形状的物体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到两个左右相邻的长方形，并且左边的长方形的宽度远小于右面长方形的宽度．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．（﹣a）2＝﹣a2 D．（ab）2＝a2b2 C．（a﹣1）2＝a2﹣1 【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+a＝3a，故此选项错误； B、（﹣a）2＝a2，故此选项错误； C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误； D、（ab）2＝a2b2，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等． 7故选：C．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 6．（3分）一次数学测试，某小组 5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：组员得分甲乙丙■丁戊平均成绩众数 ■81 77 80 82 80 则被遮盖的两个数据依次是（　　） A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2 【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意得： 80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），则丙的得分是 80分；众数是 80，故选：A．【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大． 7．（3分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有 6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20米，就能提前 15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨 x 米，则根据题意所列的方程是（　　） A． C． ﹣﹣＝15 ＝20 B． D． ﹣﹣＝15 ＝20 【分析】设原计划每天铺设钢轨 x 米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设 20米，就能提前 15天完成任务可列方程．【解答】解：设原计划每天铺设钢轨 x 米，可得：故选：A．，【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程． 8．（3分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝则 AE＝（　　），8A．3 B．3 C．4 D．2 【分析】连接 AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以 AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算 AE 的长．【解答】解：连接 AC，如图， ∵BA 平分∠DBE， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3， ∴∠3＝∠CDA， ∴AC＝AD＝5， ∵AE⊥CB， ∴∠AEC＝90°， ∴AE＝＝＝2 ．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理． 9．（3分）一列数按某规律排列如下：则 n＝（　　），，，，，，，，，，…，若第n 个数为， A．50 B．60 C．62 D．71 【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是 1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是 1，（2， 1），（3，2，1），…，从而可以求得第 n 个数为时n 的值，本题得意解决．【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…， 9∴ 分母为11 开头到分母为1 的数有11 个，分别为，∴第 n 个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数 y＝的图象分别与线段 AB，BC 交于点 D，E，连接 DE．若点 B 关于 DE 的对称点恰好在 OA 上，则 k＝（　　） A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8 【分析】根据 A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点 D 的横坐标，E 的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有 k 的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出 AF 的长，然后把问题转化到三角形 ADF 中，由勾股定理建立方程求出 k 的值．【解答】解：过点 E 作 EG⊥OA，垂足为 G，设点 B 关于 DE 的对称点为 F，连接 DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE， ∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90° 易证△ADF∽△GFE ∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4）， ∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8， ∵D、E 在反比例函数 y＝的图象上， ∴E（，4）、D（﹣8， ∴OG＝EC＝，AD＝﹣ ），∴BD＝4+ ，BE＝8+ ∴，10 ∴AF＝，在 Rt△ADF 中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2 2即：（﹣ ）2+22＝（4+ 解得：k＝﹣12 故选：C．）【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现 BD 与 BE 的比是 1：2是解题的关键．二、填空题（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11．（3分）分解因式：a2+2a＝　a（a+2）　．【分析】直接提公因式法：观察原式 a2+2a，找到公因式 a，提出即可得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用． 12．（3分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE＝3，则菱形的周长为　 24　．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 BO＝DO，然后求出 OE 是△BCD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD＝2OE＝2×3＝6， ∴菱形 ABCD 的周长＝4×6＝24； 11 故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 13．（3分）我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：若该校有学生 2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有　1400　人．【分析】先根据及格人数及其对应百分比求得总人数，总人数乘以优秀对应的百分比求得其人数，继而用总人数乘以样本中优秀、良好人数所占比例．【解答】解：∵被调查的总人数为 28÷28%＝100（人）， ∴优秀的人数为 100×20%＝20（人）， ∴估计成绩为优秀和良好的学生共有 2000× 故答案为：1400．＝1400（人），【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 14．（3分）对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝ 24，则 m＝　﹣3或 4　．【分析】利用新定义得到[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，整理得到（2m﹣1）2﹣49 ＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0， 2m﹣1+7＝0或 2m﹣1﹣7＝0，所以 m1＝﹣3，m2＝4． 12 故答案为﹣3或 4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 15．（3分）如图，AB 为半圆的直径，且 AB＝6，将半圆绕点 A 顺时针旋转 60°，点 B 旋转到点 C 的位置，则图中阴影部分的面积为　6π　．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形 ABC 的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：故答案为：6π．＝6π，【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．（3分）如图，正方形 ABCD 和 Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接 BF，DE．若△AEF 绕点 A 旋转，当∠ ABF 最大时，S△ADE＝　6　．【分析】作 DH⊥AE 于 H，如图，由于 AF＝4，则△AEF 绕点 A 旋转时，点 F 在以 A 为圆心，4为半径的圆上，当 BF 为此圆的切线时，∠ABF 最大，即 BF⊥AF，利用勾股定理计算出 BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF 得到 DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作 DH⊥AE 于 H，如图， ∵AF＝4，当△AEF 绕点 A 旋转时，点 F 在以 A 为圆心，4为半径的圆上， ∴当 BF 为此圆的切线时，∠ABF 最大，即 BF⊥AF，在 Rt△ABF 中，BF＝＝3， ∵∠EAF＝90°， ∴∠BAF+∠BAH＝90°， ∵∠DAH+∠BAH＝90°， 13 ∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH 和△ABF 中，∴△ADH≌△ABF（AAS）， ∴DH＝BF＝3， ∴S△ADE ＝ AE•DH＝ ×3×4＝6．故答案为 6．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三、解答题（本题有 9个小题，共 72分） 17．（5分）计算：（﹣1）3+|1﹣ |+ 【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣1+ ﹣1+2＝【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷（﹣2），其中 a＝ +1．．．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣ ）÷（ ﹣2）＝＝＝，当 a＝ +1时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（7分）如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3m，坝高 AE＝DF＝6m，坡角 α＝45°，β＝30°， 14 求 BC 的长．【分析】过 A 点作 AE⊥BC 于点 E，过 D 作 DF⊥BC 于点 F，得到四边形 AEFD 是矩形，根据矩形的性质得到 AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过 A 点作 AE⊥BC 于点 E，过 D 作 DF⊥BC 于点 F，则四边形 AEFD 是矩形，有 AE＝DF＝6，AD＝EF＝3， ∵坡角 α＝45°，β＝30°， ∴BE＝AE＝6，CF＝ DF＝6 ，∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6 ＝9+6 ∴BC＝（9+6 ）m，，答：BC 的长（9+6 ）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解． 20．（7分）第一盒中有 2个白球、1个黄球，第二盒中有 1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）若从第一盒中随机取出 1个球，则取出的球是白球的概率是　．（2）若分别从每个盒中随机取出 1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好 1个白球、1 个黄球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先画出树状图展示所有 6种等可能的结果数，再找出恰好 1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解；【解答】解：（1）若从第一盒中随机取出 1个球，则取出的球是白球的概率是故答案为：，；（2）画树状图为：，15 共有 6种等可能的结果数，取出的两个球中恰好 1个白球、1个黄球的有 3种结果，所以取出的两个球中恰好 1个白球、1个黄球的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率． 21．（7分）已知于 x 的元二次方程 x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根 x1，x2．（1）求 a 的取值范围；（2）若 x12+x22﹣x1x2≤30，且 a 为整数，求 a 的值．【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于 a 的不等式，则可求得 a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用 a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于 a 的不等式，则可求得 a 的取值范围，再求其值即可．【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根 x1，x2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得 a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2满足 x12+x22﹣x1x2≤30， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30， ∴a≥﹣ ，∵a 为整数， ∴a 的值为﹣1，0，1．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得 k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． 22．（8分）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径． 16 【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的 2倍角关系，证明∠ ODE 为直角即可；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【解答】解：（1）如图，连接 OD，AD， ∵AC 是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC， ∵∠CDE＝ ∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90° 又∵OD 是⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC，设 DC＝x，则 AC＝3x， ∴AD＝＝2 x， 17 ∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴＝，即＝＝∴DE＝4 ，x＝，∴AC＝3x＝14， ∴⊙O 的半径为 7．【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形． 23．（10分）某超市拟于中秋节前 50天里销售某品牌月饼，其进价为 18元/kg．设第 x 天的销售价格为 y （元/kg），销售量为 m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 1≤x≤30时，y＝ 40；当 31≤x≤50时，y 与 x 满足一次函数关系，且当 x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m 与 x 的关系为 m＝5x+50．（1）当 31≤x≤50时，y 与 x 的关系式为　　；（2）x 为多少时，当天的销售利润 W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第 31天到第 35天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨 a 元/kg，求 a 的最小值．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）依据题意利用待定系数法，易得出当 31≤x≤50时，y 与 x 的关系式为：y＝ x+55，（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）要使第 31天到第 35天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则对称轴＝ ≥35，求得 a 即可【解答】解： 18 （1）依题意，当 x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，当 31≤x≤50时，设 y＝kx+b，则有，解得 ∴y 与 x 的关系式为：y＝ x+55 （2）依题意， ∵W＝（y﹣18）•m ∴整理得，当 1≤x≤30时， ∵W 随 x 增大而增大 ∴x＝30时，取最大值 W＝30×110+1100＝4400 当 31≤x≤50时， W＝ x2+160x+1850＝＜0 ∵∴x＝32时，W 取得最大值，此时 W＝4410 综上所述，x 为 32时，当天的销售利润 W（元）最大，最大利润为 4410元（3）依题意， W＝（y+a﹣18）•m＝ ∵第 31天到第 35天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大 ∴对称轴 x＝＝≥35，得 a≥3 故 a 的最小值为 3．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 24．（10分）如图 1，△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α，D 为△ABC 内一点，将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋 19 转角 α 得到△CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E，且 A，D，E 三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝　（用含α 的代数式表示）；（2）如图 2，若 α＝60°，请补全图形，再过点 C 作 CF⊥AE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若 α＝90°，AC＝5 ，且点 G 满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点 C 到 AG 的距离．【分析】（1）由旋转的性质可得 CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；（2）由旋转的性质可得 AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE 是等边三角形，由等边三角形的性质可得 DF＝EF＝，即可求解；（3）分点 G 在 AB 的上方和 AB 的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 α 得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α ∴CD＝CE ∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+ CF 理由如下：如图， ∵将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60°得到△CBE ∴△ACD≌△BCE ∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60° ∴△CDE 是等边三角形，且 CF⊥DE 20 ∴DF＝EF＝ ∵AE＝AD+DF+EF ∴AE＝BE+ CF （3）如图，当点 G 在 AB 上方时，过点 C 作 CE⊥AG 于点 E， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5 ，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10 ∵∠ACB＝90°＝∠AGB ∴点 C，点 G，点 B，点 A 四点共圆 ∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且 CE⊥AG ∴∠AGC＝∠ECG＝45° ∴CE＝GE ∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90° ∴AG＝＝8 ∵AC2＝AE2+CE2， ∴（5 ）2＝（8﹣CE）2+CE2， ∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1 若点 G 在 AB 的下方，过点 C 作 CF⊥AG，同理可得：CF＝7 ∴点 C 到 AG 的距离为 1或 7．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 25．（12分）已知抛物线 y＝a（x﹣2）2+c 经过点 A（2，0）和 C（0，），与x 轴交于另一点 B，顶点为 D．（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰 21 三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点 P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点 P 的个数．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能．分三种情形①当 DE＝DF 时，②当 DE＝EF 时，③当 DF＝EF 时，分别求解即可．（3）如图 2中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，PH，PB．设 P[n，﹣ （n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为 y＝﹣ ∴顶点 D 坐标（2，3）．（x﹣2）2+3，（2）可能．如图 1， ∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5， ①当 DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立． ②当 DE＝EF 时，又∵△BEF∽△AED， 22 ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5 ③当 DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴∴＝＝，＝，∵△AEF∽△BCE ∴＝＝， ∴EB＝ AD＝，答：当 BE 的长为 5或时，△CFE 为等腰三角形．（3）如图 2中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，PH，PB．设 P[n，﹣ （n﹣2）2+3]， 2则 S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝ ×4×[﹣ （n﹣2）+3]+ ×3×（n﹣2）﹣ ×4×3＝﹣ （n﹣4） 2+，∵﹣ ＜0， ∴n＝4时，△PBD 的面积的最大值为，∵＝m， ∴当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值＝＝，观察图象可知：当 0＜m＜时，满足条件的点 P 的个数有 4个， 23 当 m＝当 m＞时，满足条件的点 P 的个数有 3个，时，满足条件的点 P 的个数有 2个（此时点 P 在 BD 的左侧）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 24