海南省2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年海南省中考数学试卷一、选择题（本大题满分 36分，每小题 3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B铅笔涂黑 1．（3分）如果收入 100元记作+100元，那么支出 100元记作（　　） A．﹣100元 B．+100元 C．﹣200元 D．+200元 2．（3分）当 m＝﹣1时，代数式 2m+3的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a•a2＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4 D．x＝﹣2 4．（3分）分式方程＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 5．（3分）海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于 2020年 4月份完工，该项目总投资 3710000000元．数据 3710000000用科学记数法表示为（　　） A．371×107 B．37.1×108 C．3.71×108 D．3.71×109 6．（3分）如图是由 5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（　　） A． C． B． D． 7．（3分）如果反比例函数 y＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，1），点 B（3，﹣1），平移线段 AB，使点 A 落在点 A1（﹣2，2）处，则点 B 的对应点 B1的坐标为（　　） 1A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0） 9．（3分）如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2于 B、C 两点，连结 AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 10．（3分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，在▱ABCD 中，将△ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE 的周长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 12．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（　　） 2A．二、填空题（本大题满分 16分，每小题 4分） 13．（4分）因式分解：ab﹣a＝　． 14．（4分）如图，⊙O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD 的大小为　度． B． C． D． 15．（4分）如图，将 Rt△ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°）得到 AE，直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转 β（0°＜β＜90°）得到 AF，连结 EF．若 AB＝3，AC＝2，且 α+β＝∠B，则 EF＝　　． 16．（4分）有 2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6个数的和是　，这2019个数的和是　．三、解答题（本大题满分 68分） 17．（12分）（1）计算：9×3﹣2+（﹣1）3﹣ ；（2）解不等式组，并求出它的整数解． 18．（10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买 2千克“红土”百香果和 1千克“黄金”百香果需付 80元，若购买 1千克“红土” 3百香果和 3千克“黄金”百香果需付 115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？ 19．（8分）为宣传 6月 6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级 500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表 1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了　（2）表 1中 a＝　；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　　个参赛学生的成绩；　；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生约有　　人．表 1 知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 aABCD10 14 18 20．（10分）如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西 60°方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10海里．（1）填空：∠BAC＝　　度，∠C＝　　度；（2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号）． 421．（13分）如图，在边长为 l 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A、D 不重合），射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点 E 作 EF∥BC 交 PB 于点 F，连结 AF，当 PB＝PQ 时， ①求证：四边形 AFEP 是平行四边形； ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由． 22．（15分）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+5经过 A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶点为 D，连结 CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B、C 不重合），设点 P 的横坐标为 t． ①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 52019年海南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分 36分，每小题 3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B铅笔涂黑 1．（3分）如果收入 100元记作+100元，那么支出 100元记作（　　） A．﹣100元 B．+100元 C．﹣200元 D．+200元【分析】根据正数与负数的意义，支出即为负数；【解答】解：收入 100元+100元，支出 100元为﹣100元，故选：A．【点评】本题考查正数与负数的意义；能够理解正数与负数的实际意义是解题的关键． 2．（3分）当 m＝﹣1时，代数式 2m+3的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】将 m＝﹣1代入代数式即可求值；【解答】解：将 m＝﹣1代入 2m+3＝2×（﹣1）+3＝1；故选：C．【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a•a2＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4 【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3，A 准确； a6÷a2＝a6﹣2＝a4，B 错误； 2a2﹣a2＝a2，C 错误；（3a2）2＝9a4，D 错误；故选：A．【点评】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键． 4．（3分）分式方程＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 6【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况；【解答】解：＝1，两侧同时乘以（x+2），可得 x+2＝1，解得 x＝﹣1；经检验 x＝﹣1是原方程的根；故选：B．【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键． 5．（3分）海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于 2020年 4月份完工，该项目总投资 3710000000元．数据 3710000000用科学记数法表示为（　　） A．371×107 B．37.1×108 C．3.71×108 D．3.71×109 【分析】根据科学记数法的表示方法 a×10n（1≤a＜9）即可求解；【解答】解：由科学记数法可得 3710000000＝3.17×109，故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 6．（3分）如图是由 5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（　　） A． C． B． D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．【解答】解：从上面看下来，上面一行是横放 3个正方体，左下角一个正方体．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 7．（3分）如果反比例函数 y＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是（　　） 7A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2 【分析】反比例函数 y＝图象在一、三象限，可得 k＞0．【解答】解：∵反比例函数 y＝（a 是常数）的图象在第一、三象限， ∴a﹣2＞0， ∴a＞2．故选：D．【点评】本题运用了反比例函数 y＝图象的性质，关键要知道 k 的决定性作用． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，1），点 B（3，﹣1），平移线段 AB，使点 A 落在点 A1（﹣2，2）处，则点 B 的对应点 B1的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）【分析】由点 A（2，1）平移后 A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点 B 的对应点 B1的坐标．【解答】解：由点 A（2，1）平移后 A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移 4个单位，上移 1个单位， ∴点 B 的对应点 B1的坐标（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点 A（2，1）平移后 A1（﹣2， 2）可得坐标的变化规律，由此可得点 B 的对应点 B1的坐标． 9．（3分）如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2于 B、C 两点，连结 AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　） 8A．20° B．35° C．40° D．70° 【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2于 B、C， ∴AC＝AB， ∴∠CBA＝∠BCA＝70°， ∵l1∥l2， ∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°， ∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 10．（3分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D．【分析】随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：∵每分钟红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒， ∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率 P＝＝，故选：D．【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 11．（3分）如图，在▱ABCD 中，将△ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE 的周长为（　　） 9A．12 B．15 C．18 D．21 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到 BC＝2AB＝6，AD＝6，再根据△ ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为 6×3＝18．【解答】解：由折叠可得，∠ACD＝∠ACE＝90°， ∴∠BAC＝90°，又∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝6， ∴AD＝6，由折叠可得，∠E＝∠D＝∠B＝60°， ∴∠DAE＝60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为 6×3＝18，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 12．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（　　） A． B． C． D． 10 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到 QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC＝＝3， ∵PQ∥AB， ∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD， ∴∠QBD＝∠BDQ， ∴QB＝QD， ∴QP＝2QB， ∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CAB， ∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝， ∴AP＝CA﹣CP＝，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题满分 16分，每小题 4分） 13．（4分）因式分解：ab﹣a＝　a（b﹣1）　．【分析】提公因式 a 即可．【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．故答案为：a（b﹣1）．【点评】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式． 14．（4分）如图，⊙O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD 的大小为　144　度． 11 【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠ OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．【解答】解：∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴∠E＝∠A＝＝108°． ∵AB、DE 与⊙O 相切， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°， ∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为：144．【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键． 15．（4分）如图，将 Rt△ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°）得到 AE，直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转 β（0°＜β＜90°）得到 AF，连结 EF．若 AB＝3，AC＝2，且 α+β＝∠B，则 EF＝　　．【分析】由旋转的性质可得 AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求 EF 的长．【解答】解：由旋转的性质可得 AE＝AB＝3，AC＝AF＝2， ∵∠B+∠BAC＝90°，且 α+β＝∠B， ∴∠BAC+α+β＝90° ∴∠EAF＝90° ∴EF＝＝故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 16．（4分）有 2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的 12 和．如果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6个数的和是　0　，这 2019个数的和是　 2　．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…， ∴前 6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0， ∵2019÷6＝336…3， ∴这 2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，故答案为：0，2．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．三、解答题（本大题满分 68分） 17．（12分）（1）计算：9×3﹣2+（﹣1）3﹣ ；（2）解不等式组，并求出它的整数解．【分析】（1）先计算负整数指数幂、乘方及算术平方根，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝9×﹣1﹣2 ＝3﹣1﹣2 ＝0；（2）解不等式 x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式 x+4＞3x，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，所以不等式组的整数解为 0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关 13 键． 18．（10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买 2千克“红土”百香果和 1千克“黄金”百香果需付 80元，若购买 1千克“红土” 百香果和 3千克“黄金”百香果需付 115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【分析】设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，由题意得：解得：，；答：“红土”百香果每千克 25元，“黄金”百香果每千克 30元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键． 19．（8分）为宣传 6月 6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级 500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表 1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了　50　个参赛学生的成绩；（2）表 1中 a＝　8　；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　C　；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生约有　320　人．表 1 知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 aABCD10 14 18 14 【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）；（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8；（3）本次调查一共随机抽取 50名学生，中位数落在 C 组；（4）该校九年级竞赛成绩达到 80分以上（含 80分）的学生有 500×＝320（人）．【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），故答案为 50；（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，故答案为 8；（3）本次调查一共随机抽取 50名学生，中位数落在 C 组，故答案为 C；（4）该校九年级竞赛成绩达到 80分以上（含 80分）的学生有 500×＝320（人），故答案为 320．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（10分）如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西 60°方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10海里．（1）填空：∠BAC＝　30　度，∠C＝　45　度；（2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号）． 15 【分析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C 的度数；（2）证出△BCP 是等腰直角三角形，得出 BP＝PC，求出 PA＝ BP+ BP＝10，解得 BP＝5 ﹣5即可． BP，由题意得出【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC， ∴∠BPA＝∠BPC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴△BCP 是等腰直角三角形， ∴BP＝PC， ∵∠BAC＝30°， ∴PA＝ BP， ∵PA+PC＝AC， ∴BP+ BP＝10，解得：BP＝5 ﹣5，答：观测站 B 到 AC 的距离 BP 为（5 ﹣5）海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键． 21．（13分）如图，在边长为 l 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A、D 不重合），射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点 E 作 EF∥BC 交 PB 于点 F，连结 AF，当 PB＝PQ 时， ①求证：四边形 AFEP 是平行四边形； ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由． 16 【分析】（1）由四边形 ABCD 是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由 E 是 CD 的中点知 DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ 即可得证；（2）①由 PB＝PQ 知∠PBQ＝∠Q，结合 AD∥BC 得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌ △QCE 知 PE＝QE，再由 EF∥BQ 知 PF＝BF，根据 Rt△PAB 中 AF＝PF＝BF 知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得 PE∥AF，从而得证； ②设 AP＝x，则 PD＝1﹣x，若四边形 AFEP 是菱形，则 PE＝PA＝x，由 PD2+DE2＝PE2得关于 x 的方程，解之求得 x 的值，从而得出四边形 AFEP 为菱形的情况．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠D＝∠ECQ＝90°， ∵E 是 CD 的中点， ∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ， ∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ， ∴∠PBQ＝∠Q， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD， ∵△PDE≌△QCE， ∴PE＝QE， ∵EF∥BQ， ∴PF＝BF， ∴在 Rt△PAB 中，AF＝PF＝BF， ∴∠APF＝∠PAF， ∴∠PAF＝∠EPD， ∴PE∥AF， 17 ∵EF∥BQ∥AD， ∴四边形 AFEP 是平行四边形； ②当 AP＝时，四边形 AFEP 是菱形．设 AP＝x，则 PD＝1﹣x，若四边形 AFEP 是菱形，则 PE＝PA＝x， ∵CD＝1，E 是 CD 中点， ∴DE＝，在 Rt△PDE 中，由 PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得 x＝，即当 AP＝时，四边形 AFEP 是菱形．【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点． 22．（15分）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+5经过 A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶点为 D，连结 CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B、C 不重合），设点 P 的横坐标为 t． ①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①S△PBC＝PG（xC﹣xB），即可求解；②分点 P 在直线 BC 下方、上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 18 故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令 y＝0，则 x＝﹣1或﹣5，即点 C（﹣1，0）；（2）①如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G，将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 BC 的表达式为：y＝x+1…②，设点 G（t，t+1），则点 P（t，t2+6t+5）， S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6， ∵＜0，∴S△PBC 有最大值，当 t＝﹣时，其最大值为； ②设直线 BP 与 CD 交于点 H，当点 P 在直线 BC 下方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴点 H 在 BC 的中垂线上，线段 BC 的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与 BC 垂直的直线的 k 值为﹣1， 19 设 BC 中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线 BC 中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线 CD 的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点 H（﹣2，﹣2），同理可得直线 BH 的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点 P（﹣，﹣）；当点 P（P′）在直线 BC 上方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线 BP′的表达式为：y＝2x+s，将点 B 坐标代入上式并解得：s＝5，即直线 BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点 P（0，5）；故点 P 的坐标为 P（﹣，﹣）或（0，5）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏． 20