浙江省金华、丽水市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年浙江省金华、丽水市中考数学试卷一、选择题（本题有 10小题，每小题 3分，共 30分）. 1．（3分）实数 4的相反数是（　　） A．﹣ B．﹣4 2．（3分）计算 a6÷a3，正确的结果是（　　） A．2 B．3a C． D．4 C．a2 D．a3 3．（3分）若长度分别为 a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．8 4．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（　　）星期一二三四最高气温最低气温 10°C 12°C 0°C 11°C ﹣2°C 9°C 3°C ﹣3°C A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 5．（3分）一个布袋里装有 2个红球、3个黄球和 5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标 A 的位置表述正确的是（　　） A．在南偏东 75°方向处 B．在 5km 处 C．在南偏东 15°方向 5km 处 D．在南偏东 75°方向 5km 处 7．（3分）用配方法解方程 x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1 18．（3分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O．已知 AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（　　） A．∠BDC＝∠α B．BC＝m•tanα C．AO＝ D．BD＝ 9．（3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（　　） A．2 B． C． D． 10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中 FM，GN 是折痕．若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等，则的值是（　　） A． B． ﹣1 C． D．二、填空题（本题有 6小题，每小题 4分，共 24分） 11．（4分）不等式 3x﹣6≤9的解是　． 12．（4分）数据 3，4，10，7，6的中位数是　 13．（4分）当 x＝1，y＝﹣ 时，代数式x2+2xy+y2的值是　 14．（4分）如图，在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的 0 　．　． 2刻度线 AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是 50°，则此时观察楼顶的仰角度数是　． 15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程 s 关于行走时间 t 的函数图象，则两图象交点 P 的坐标是　． 16．（4分）图 2，图 3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN 是门轴的滑动轨道，∠ E＝∠F＝90°，两门 AB、CD 的门轴 A、B、C、D 都在滑动轨道上，两门关闭时（图 2）， A、D 分别在 E、F 处，门缝忽略不计（即 B、C 重合）；两门同时开启，A、D 分别沿 E→M， F→N 的方向匀速滑动，带动 B、C 滑动：B 到达 E 时，C 恰好到达 F，此时两门完全开启，已知 AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图 3，当∠ABE＝30°时，BC＝　　cm．（2）在（1）的基础上，当 A 向 M 方向继续滑动 15cm 时，四边形 ABCD 的面积为　 cm2．　三、解答题（本题有 8小题，共 66分，各小题都必须写出解答过程。） ﹣1 17．（6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°+ +（）．318．（6分）解方程组 19．（6分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求 m，n 的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有 1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数． 20．（8分）如图，在 7×6的方格中，△ABC 的顶点均在格点上．试按要求画出线段 EF（E， F 均为格点），各画出一条即可． 21．（8分）如图，在▱OABC 中，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 B，与 OC 相交于点 D．（1）求的度数．（2）如图，点 E 在⊙O 上，连结 CE 与⊙O 交于点 F，若 EF＝AB，求∠OCE 的度数． 422．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF 的对称中心 P 在反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边 CD 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，已知 CD＝2．（1）点 A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与 DE 交于点 Q，求点 Q 的横坐标；（3）平移正六边形 ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 P 为抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当 m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当 m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8个好点，求 m 的取值范围． 24．（12分）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝14 ，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，将线段 ED 绕点 E 按逆时针方向旋转 90°得到 EF．（1）如图 1，若 AD＝BD，点 E 与点 C 重合，AF 与 DC 相交于点 O．求证：BD＝2DO．（2）已知点 G 为 AF 的中点． ①如图 2，若 AD＝BD，CE＝2，求 DG 的长． ②若 AD＝6BD，是否存在点 E，使得△DEG 是直角三角形？若存在，求 CE 的长；若不存在，试说明理由． 562019年浙江省金华、丽水市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10小题，每小题 3分，共 30分）. 1．（3分）实数 4的相反数是（　　） A．﹣ B．﹣4 C． D．4 【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．【解答】解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选：B．【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数． 2．（3分）计算 a6÷a3，正确的结果是（　　） A．2 B．3a C．a2 D．a3 【分析】根据同底数幂除法法则可解．【解答】解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知，a6÷a3＝a6﹣3＝a3．故选：D．【点评】本题是整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．本题属于简单题． 3．（3分）若长度分别为 a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．8 【分析】根据三角形三边关系定理得出 5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即 2＜a＜8，即符合的只有 3，故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出 5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 4．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（　　）星期一二三四最高气温最低气温 10°C 3°C 12°C 0°C 11°C ﹣2°C 9°C ﹣3°C 7A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；【解答】解：星期一温差 10﹣3＝7℃；星期二温差 12﹣0＝12℃；星期三温差 11﹣（﹣2）＝13℃；星期四温差 9﹣（﹣3）＝12℃；故选：C．【点评】本题考查有理数的减法；能够理解题意，准确计算有理数减法是解题的关键． 5．（3分）一个布袋里装有 2个红球、3个黄球和 5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（　　） A．【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【解答】解：袋子里装有 2个红球、3个黄球和 5个白球共 10个球，从中摸出一个球是 B． C． D．白球的概率是．故选：A．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）＝．6．（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标 A 的位置表述正确的是（　　） A．在南偏东 75°方向处 B．在 5km 处 C．在南偏东 15°方向 5km 处 D．在南偏东 75°方向 5km 处【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标 A 在南偏东 75°方向 5km 处， 8故选：D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键． 7．（3分）用配方法解方程 x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1 【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程 x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8．（3分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O．已知 AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（　　） A．∠BDC＝∠α B．BC＝m•tanα C．AO＝ D．BD＝【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形求出即可．【解答】解：A、∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴AO＝OB＝CO＝DO， ∴∠DBC＝∠ACB， ∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意； B、在 Rt△ABC 中，tanα＝，即 BBC＝m•tanα，故本选项不符合题意； C、在 Rt△ABC 中，AC＝，即 AO＝，故本选项符合题意； D、∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DC＝AB＝m， ∵∠BAC＝∠BDC＝α， 9∴在 Rt△DCB 中，BD＝故选：C．，故本选项不符合题意；【点评】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 9．（3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（　　） A．2 B． C． D．【分析】先证明△ABD 为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝ AB，再证明△CBD 为等边三角形得到 BC＝BD＝ AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD， ∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°，BD＝ AB， ∵∠ABC＝105°， ∴∠CBD＝60°，而 CB＝CD， ∴△CBD 为等边三角形， ∴BC＝BD＝ AB， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 AB：CB， ∴下面圆锥的侧面积＝ ×1＝故选：D．．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 10 10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中 FM，GN 是折痕．若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等，则的值是（　　） A． B． ﹣1 C． D．【分析】连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得 PH＝ MF 且正方形 EFGH 的面积＝ ×正方形 ABCD 的面积，从而用 a 分别表示出线段 GF 和线段 MF 的长即可求解．【解答】解：连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，如图：由折叠可知点 P、H、F、M 四点共线，且 PH＝MF，设正方形 ABCD 的边长为 2a，则正方形 ABCD 的面积为 4a2， ∵若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等 ∴由折叠可知正方形 EFGH 的面积＝ ×正方形 ABCD 的面积＝，∴正方形 EFGH 的边长 GF＝ ∴HF＝ GF＝＝∴MF＝PH＝＝a∴＝a÷ ＝11 故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键．二、填空题（本题有 6小题，每小题 4分，共 24分） 11．（4分）不等式 3x﹣6≤9的解是　x≤5　．【分析】根据移项、合并同类项、化系数为 1解答即可．【解答】解：3x﹣6≤9， 3x≤9+6 3x≤15 x≤5，故答案为：x≤5 【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． 12．（4分）数据 3，4，10，7，6的中位数是　6　．【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．【解答】解：将数据重新排列为 3、4、6、7、10， ∴这组数据的中位数为 6，故答案为：6．【点评】考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 13．（4分）当 x＝1，y＝﹣ 时，代数式x2+2xy+y2的值是　．【分析】首先把 x2+2xy+y2化为（x+y）2，然后把 x＝1，y＝﹣ 代入，求出算式的值是多少即可．【解答】解：当 x＝1，y＝﹣ 时， x2+2xy+y2 ＝（x+y）2 2＝（1﹣ ）12 ＝＝故答案为：．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 14．（4分）如图，在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的 0 刻度线 AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是 50°，则此时观察楼顶的仰角度数是　40 °　．【分析】过 A 点作 AC⊥OC 于 C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过 A 点作 AC⊥OC 于 C， ∵∠AOC＝50°， ∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是 40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC 的度数． 15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程 s 关于行 13 走时间 t 的函数图象，则两图象交点 P 的坐标是　（32，4800）　．【分析】根据题意可以得到关于 t 的方程，从而可以求得点 P 的坐标，本题得以解决．【解答】解：令 150t＝240（t﹣12），解得，t＝32，则 150t＝150×32＝4800， ∴点 P 的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．（4分）图 2，图 3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN 是门轴的滑动轨道，∠ E＝∠F＝90°，两门 AB、CD 的门轴 A、B、C、D 都在滑动轨道上，两门关闭时（图 2）， A、D 分别在 E、F 处，门缝忽略不计（即 B、C 重合）；两门同时开启，A、D 分别沿 E→M， F→N 的方向匀速滑动，带动 B、C 滑动：B 到达 E 时，C 恰好到达 F，此时两门完全开启，已知 AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图 3，当∠ABE＝30°时，BC＝　90﹣45 　cm．（2）在（1）的基础上，当 A 向 M 方向继续滑动 15cm 时，四边形 ABCD 的面积为　2256　 cm2．【分析】（1）先由已知可得 B、C 两点的路程之比为 5：4，再结合 B 运动的路程即可求出 C 运动的路程，相加即可求出 BC 的长；（2）当 A 向 M 方向继续滑动 15cm 时，AA’＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A’EB’、△ D’FC’和梯形 A’EFD’边长，即可利用割补法求出四边形四边形 ABCD 的面积． 14 【解答】解：∵A、D 分别在 E、F 处，门缝忽略不计（即 B、C 重合）且 AB＝50cm，CD＝ 40cm． ∴EF＝50+40＝90cm ∵B 到达 E 时，C 恰好到达 F，此时两门完全开启， ∴B、C 两点的路程之比为 5：4 （1）当∠ABE＝30°时，在 Rt△ABE 中，BE＝ AB＝25 cm， ∴B 运动的路程为（50﹣25 ）cm ∵B、C 两点的路程之比为 5：4 ∴此时点 C 运动的路程为（50﹣25 ）× ＝（40﹣20 ）cm ∴BC＝（50﹣25 ）+（40﹣20 ）＝（90﹣45 ）cm 故答案为：90﹣45 ；（2）当 A 向 M 方向继续滑动 15cm 时，设此时点 A 运动到了点 A’处，点 B、C、D 分别运动到了点 B’、C’、D’处，连接 A’D’，如图：则此时 AA’＝15cm ∴A’E＝15+25＝40cm 由勾股定理得：EB’＝30cm， ∴B 运动的路程为 50﹣30＝20cm ∴C 运动的路程为 16cm ∴C’F＝40﹣16＝24cm 由勾股定理得：D’F＝32cm， ∴四边形 A’B’C’D’的面积＝梯形 A’EFD’的面积﹣△A’EB’的面积﹣△D’FC’的面积＝ ﹣30×40﹣ 24×32＝2256cm2． ∴四边形 ABCD 的面积为 2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属 15 于中等题型．三、解答题（本题有 8小题，共 66分，各小题都必须写出解答过程。） ﹣1 17．（6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°+ +（）．【分析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出 2tan60°＝，然后根据二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．【解答】解：原式＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分式的加减法，设计到的知识点有零指数幂、特殊角的三角函数值，一定要牢记． 18．（6分）解方程组【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；【解答】解：，将①化简得：﹣x+8y＝5 ③， ②+③，得 y＝1，将 y＝1代入②，得 x＝3， ∴；【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键． 19．（6分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求 m，n 的值． 16 （2）补全条形统计图．（3）该校共有 1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．【分析】（1）先用选 A 的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出 m、n 的值；（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选 D 的人数，从而补全条形统计图；（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选 A 的有 12人，占 20%，故总人数有 12÷20%＝60人， ∴m＝15÷60×100%＝25% n＝9÷60×100%＝15%；（2）选 D 的有 60﹣12﹣15﹣9﹣6＝18人，故条形统计图补充为：（3）全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200×25%＝300人．【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大． 20．（8分）如图，在 7×6的方格中，△ABC 的顶点均在格点上．试按要求画出线段 EF（E， F 均为格点），各画出一条即可．【分析】从图中可得到 AC 边的中点在格点上设为 E，过 E 作 AB 的平行线即可在格点上找到 F；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定 F 点；【解答】解：如图： 17 从图中可得到 AC 边的中点在格点上设为 E，过 E 作 AB 的平行线即可在格点上找到 F，则 EG 平分 BC； EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定 F 点，则 EF⊥AC；借助圆规作 AB 的垂直平分线即可；【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键． 21．（8分）如图，在▱OABC 中，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 B，与 OC 相交于点 D．（1）求的度数．（2）如图，点 E 在⊙O 上，连结 CE 与⊙O 交于点 F，若 EF＝AB，求∠OCE 的度数．【分析】（1）连接 OB，证明△AOB 是等腰直角三角形，即可求解；（2）△AOB 是等腰直角三角形，则 OA＝ t，HO＝＝＝t，即可求解．【解答】解：（1）连接 OB， 18 ∵BC 是圆的切线，∴OB⊥BC， ∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴OA∥BC，∴OB⊥OA， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∴的度数为 45°；（2）连接 OE，过点 O 作 OH⊥EC 于点 H，设 EH＝t， ∵OH⊥EC， ∴EF＝2HE＝2t， ∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴AB＝CO＝EF＝2t， ∵△AOB 是等腰直角三角形， ∴OA＝ t，则 HO＝＝＝t， ∵OC＝2OH， ∴∠OCE＝30°．【点评】本题主要利用了切线和平行四边形的性质，其中（2），要利用（1）中△AOB 是等腰直角三角形结论． 19 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF 的对称中心 P 在反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边 CD 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，已知 CD＝2．（1）点 A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与 DE 交于点 Q，求点 Q 的横坐标；（3）平移正六边形 ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．【分析】（1过点 P 作 x 轴垂线 PG，连接 BP，可得 BP＝2，G 是 CD 的中点，所以 P（2，）；（2）易求 D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE 的解析式为 x﹣3 ，联立反比例函数与一次函数即可求点 Q；（3）E（4，），F（3，2 ），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1， 2），则点 E 与 F 都在反比例函数图象上；【解答】解：（1）过点 P 作 x 轴垂线 PG，连接 BP， ∵P 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，CD＝2， ∴BP＝2，G 是 CD 的中点， ∴PG＝，∴P（2，）， ∵P 在反比例函数 y＝上， ∴k＝2 ∴y＝，，由正六边形的性质，A（1，2 ）， ∴点 A 在反比例函数图象上；（2）D（3，0），E（4，）， 20 设 DE 的解析式为 y＝mx+b， ∴∴，，∴y＝ x﹣3 ，联立方程解得 x＝，∴Q 点横坐标为；（3）E（4，），F（3，2 ），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2 ），则点 E 与 F 都在反比例函数图象上；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 P 为抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当 m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当 m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8个好点，求 m 的取值范围． 21 【分析】（1）如图 1中，当 m＝0时，二次函数的表达式 y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图 2中，当 m＝3时，二次函数解析式为 y＝﹣（x﹣3）2+5，如图 2，结合图象即可解决问题．（3）如图 3中，∵抛物线的顶点 P（m，m+2），推出抛物线的顶点 P 在直线 y＝x+2上，由点 P 在正方形内部，则 0＜m＜2，如图 3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8个好点时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外），求出抛物线经过点 E 或点 F 时 Dm 的值，即可判断．【解答】解：（1）如图 1中，当 m＝0时，二次函数的表达式 y＝﹣x2+2，函数图象如图 1 所示． ∵当 x＝0时，y＝2，当 x＝1时，y＝1， ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共 5个．（2）如图 2中，当 m＝3时，二次函数解析式为 y＝﹣（x﹣3）2+5．如图 2． 22 ∵当 x＝1时，y＝1，当 x＝2时，y＝4，当 x＝4时，y＝4， ∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）如图 3中，∵抛物线的顶点 P（m，m+2）， ∴抛物线的顶点 P 在直线 y＝x+2上， ∵点 P 在正方形内部，则 0＜m＜2，如图 3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8个好点时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外），当抛物线经过点 E 时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得 m＝或（舍弃），当抛物线经过点 F 时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得 m＝1或 4（舍弃）， ∴当 ≤m＜1时，顶点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8个好点． 23 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题． 24．（12分）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝14 ，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，将线段 ED 绕点 E 按逆时针方向旋转 90°得到 EF．（1）如图 1，若 AD＝BD，点 E 与点 C 重合，AF 与 DC 相交于点 O．求证：BD＝2DO．（2）已知点 G 为 AF 的中点． ①如图 2，若 AD＝BD，CE＝2，求 DG 的长． ②若 AD＝6BD，是否存在点 E，使得△DEG 是直角三角形？若存在，求 CE 的长；若不存在，试说明理由．【分析】（1）如图 1中，首先证明 CD＝BD＝AD，再证明四边形 ADFC 是平行四边形即可解决问题．（2）①作 DT⊥BC 于点 T，FH⊥BC 于 H．证明 DG 是△ABF 的中位线，想办法求出 BF 即可解决问题． ②分三种情形情形：如图 3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A 共线，作 DT⊥BC 于点 T，FH⊥BC 于 H．设 EC＝x．构建方程解决问题即可．如图 3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取 AB 的中点 O，连接 OG．作 EH⊥AB 于 H．构建方程解决问题即可．如图 3﹣3中，当∠DGE ＝90°时，构造相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．【解答】（1）证明：如图 1中， 24 ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD， ∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD， ∵CD＝CF， ∴AD＝CF， ∵∠ADC＝∠DCF＝90°， ∴AD∥CF， ∴四边形 ADFC 是平行四边形， ∴OD＝OC， ∵BD＝2OD．（2）①解：如图 2中，作 DT⊥BC 于点 T，FH⊥BC 于 H．由题意：BD＝AD＝CD＝7 ，BC＝ BD＝14， ∵DT⊥BC， ∴BT＝TC＝7， ∵EC＝2， ∴TE＝5， 25 ∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°， ∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°， ∴∠TDE＝∠FEH， ∵ED＝EF， ∴△DTE≌△EHF（AAS）， ∴FH＝ET＝5， ∵∠DDBE＝∠DFE＝45°， ∴B，D，E，F 四点共圆， ∴∠DBF+∠DEF＝90°， ∴∠DBF＝90°， ∵∠DBE＝45°， ∴∠FBH＝45°， ∵∠BHF＝90°， ∴∠HBF＝∠HFB＝45°， ∴BH＝FH＝5， ∴BF＝5 ，∵∠ADC＝∠ABF＝90°， ∴DG∥BF， ∵AD＝DB， ∴AG＝GF， ∴DG＝ BF＝．②解：如图 3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A 共线，作 DT⊥BC 于点 T，FH⊥BC 于 H．设 EC＝x． 26 ∵AD＝6BD， ∴BD＝ AB＝2 ，∵DT⊥BC，∠DBT＝45°， ∴DT＝BT＝2， ∵△DTE≌△EHF， ∴EH＝DT＝2， ∴BH＝FH＝12﹣x， ∵FH∥AC， ∴∴＝，＝，整理得：x2﹣12x+28＝0，解得 x＝6±2 ．如图 3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取 AB 的中点 O，连接 OG．作 EH⊥AB 于 H．设 EC＝x，由 2①可知 BF＝（12﹣x），OG＝ BF＝ ∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，（12﹣x）， 27 ∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°， ∴∠DGO＝∠HDE， ∴△EHD∽△DOG， ∴∴＝，＝，整理得：x2﹣36x+268＝0，解得 x＝18﹣2 或 18+2 （舍弃），如图 3﹣3中，当∠DGE＝90°时，取 AB 的中点 O，连接 OG，CG，作 DT⊥BC 于 T，FH⊥BC 于 H，EK⊥CG 于 K．设 EC＝x． ∵∠DBE＝∠DFE＝45°， ∴D，B，F，E 四点共圆， ∴∠DBF+∠DEF＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DBF＝90°， ∵AO＝OB，AG＝GF， ∴OG∥BF， ∴∠AOG＝∠ABF＝90°， ∴OG⊥AB， 28 ∵OG 垂直平分线段 AB，∵CA＝CB， ∴O，G，C 共线，由△DTE≌△EHF，可得 EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝ BF＝（12﹣x），CK＝EK＝ x，GK＝7 ﹣（12﹣x）﹣ x，由△OGD∽△KEG，可得＝，∴＝，解得 x＝2，，综上所述，满足条件的 EC 的值为 6±2 或 18﹣2 或 2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 29