河南省2019年中考数学真题试题（含解析）下载

河南省 2019年中考数学试卷 一、选择题（每小题 3分，共 30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1．（3分）﹣ 的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．2 D．﹣2 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可． 【解答】解：|﹣ |＝ 故选：B． ，【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝 对值是它的相反数；0的绝对值是 0是解题的关键． 2．（3分）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数 法表示为（　　） A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答． 【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6 故选：C． ．【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与 0 的个数的关系要掌握好． 3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D 的度数为（　　） A．45° B．48° C．50° D．58° 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵AB∥CD， 1∴∠B＝∠1， ∵∠1＝∠D+∠E， ∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°， 故选：B． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2 D．3 ＝2 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 ﹣【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运 算即可； 【解答】解：2a+3a＝5a，A 错误； （﹣3a）2＝9a2，B 错误； （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C 错误； ＝2 ，D 正确； 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与 积的乘方的运算法则是解题的关键． 5．（3分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图 ②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图相同 B．左视图相同 C．俯视图相同 D．三种视图都不相同 【分析】根据三视图解答即可． 【解答】解：图①的三视图为： 2图②的三视图为： 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三 种视图的空间想象能力． 6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 D．没有实数根 C．只有一个实数根 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式． 【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程由两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 7．（3分）某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5元、3元、2元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是 5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25 （元）， 故选：C． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 8．（3分）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（　　） 3A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴 x＝1，再由对称轴的 x＝ 即可求解； 【解答】解：抛物线 y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点， 可知函数的对称轴 x＝1， ∴＝1， ∴b＝2； ∴y＝﹣x2+2x+4， 将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得 n＝﹣4； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解 题的关键． 9．（3分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点 A，C 为圆心，大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D． 【分析】连接 FC，根据基本作图，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AF＝ FC．再根据 ASA 证明△FOA≌△BOC，那么 AF＝BC＝3，等量代换得到 FC＝AF＝3，利用线 段的和差关系求出 FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长． 【解答】解：如图，连接 FC，则 AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA 与△BOC 中， 4，∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝3， ∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC 中，∵∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2 ．故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等 三角形的判定与性质，难度适中．求出 CF 与 DF 是解题的关键． 10．（3分）如图，在△OAB 中，顶点 O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70次旋转结束时，点 D 的坐 标为（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 【分析】先求出 AB＝6，再利用正方形的性质确定 D（﹣3，10），由于 70＝4×17+2，所 5以第 70次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2次， 每次旋转 90°，此时旋转前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标 特征可出旋转后的点 D 的坐标． 【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4）， ∴AB＝3+3＝6， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝4×17+2， ∴每 4次一个循环，第 70次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2次，每次旋转 90°， ∴点 D 的坐标为（3，﹣10）． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°， 90°，180°． 二、填空题（每小题 3分，共 15分。） 11．（3分）计算： ﹣2﹣1＝　1 　． 【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点．针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解： ﹣2﹣1 ＝2﹣ ＝1 ．故答案为：1 ．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题 目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算． 12．（3分）不等式组 的解集是　x≤﹣2　． 6【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 ≤﹣1，得：x≤﹣2， 解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3， 则不等式组的解集为 x≤﹣2， 故答案为：x≤﹣2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有 2个红球、1个白球，另一个装有 1个黄球、 2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1个球，摸出的两个球颜 色相同的概率是　． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式 计算可得． 【解答】解：列表如下： 黄红红红红白（黄，红） （黄，红） （黄，白） （红，红） （红，红） （红，白） （红，红） （红，红） （红，白） 由表知，共有 9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为 故答案为： ，．【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所 有等可能的结果列举出来，难度不大． 14．（3分）如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝120°，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC⊥OA．若 OA ＝2 ，则阴影部分的面积为　 +π　． 7【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD 的面 积与扇形 OBC 的面积之和再减去△BDO 的面积，本题得以解决． 【解答】解：作 OE⊥AB 于点 F， ∵在扇形 AOB 中，∠AOB＝120°，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC⊥OA．OA＝2 ∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB， ，∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴OD＝OA•tan30°＝ ∴BD＝2， ×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2 × ＝6，OF＝ ，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S 扇形 OBC﹣S△BDO ＝＝+π， 故答案为： +π． 【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答． 15．（3分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E 在边 BC 上，且 BE＝ a．连接 AE， 将△ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为　 或　． 【分析】分两种情况：①点 B′落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 AB＝BE，即可 8求出 a 的值；②点 B′落在 CD 边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成 比例即可求出 a 的值． 【解答】解：分两种情况： ①当点 B′落在 AD 边上时，如图 1． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B′落在 AD 边上， ∴∠BAE＝∠B′AE＝ ∠BAD＝45°， ∴AB＝BE， ∴a＝1， ∴a＝ ；②当点 B′落在 CD 边上时，如图 2． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a． ∵将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B′落在 CD 边上， ∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝ a， ∴DB′＝ ＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣ a＝ a． 在△ADB′与△B′CE 中， ，∴△ADB′∽△B′CE， ∴＝，即 ＝，解得 a1＝ 综上，所求 a 的值为 故答案为 ，a2＝0（舍去）． 或．或．9【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理， 相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 75分） 16．（8分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x＝ ．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（ ）÷ ﹣＝＝•，当 x＝ 时，原式＝ ＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则． 17．（9分）如图，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D， 点 E 是 上不与点B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于 点 G． （1）求证：△ADF≌△BDG； （2）填空： 10 ①若 AB＝4，且点 E 是 的中点，则DF 的长为　4﹣2； ②取 的中点H，当∠EAB 的度数为　30°　时，四边形 OBEH 为菱形． 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再应用同角的 余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得 AD＝BD，△ADF≌△BDG 得证； （2）作 FH⊥AB，应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠DAE，再应用角平分线性质可得 结论；由菱形的性质可得 BE＝OB，结合三角函数特殊值可得∠EAB＝30°． 【解答】解：（1）证明：如图 1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45° ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90° ∴∠DAF＝∠DBG ∵∠ABD+∠BAC＝90° ∴∠ABD＝∠BAC＝45° ∴AD＝BD ∴△ADF≌△BDG（ASA）； （2）①如图 2，过 F 作 FH⊥AB 于 H，∵点 E 是 的中点， ∴∠BAE＝∠DAE ∵FD⊥AD，FH⊥AB ∴FH＝FD ∵∴＝sin∠ABD＝sin45°＝ ，即 BF＝ FD ，∵AB＝4， 11 ∴BD＝4cos45°＝2 ，即 BF+FD＝2 ，（ +1）FD＝2 ∴FD＝ ＝4﹣2 ．故答案为 ②连接 OE，EH，∵点 H 是 的中点， ∴OH⊥AE， ∵∠AEB＝90° ∴BE⊥AE ∴BE∥OH ∵四边形 OBEH 为菱形， ∴BE＝OH＝OB＝ AB ∴sin∠EAB＝ ＝∴∠EAB＝30°． 故答案为：30° 12 【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质， 解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理． 18．（9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级 各随机抽取 50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息 如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在 70≤x＜80这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 七平均数 76.9 中位数 m八79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80分以上（含 80分）的有　23　人； （2）表中 m 的值为　77.5　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78分，请判断两位学生 13 在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有 400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9分的人数． 【分析】（1）根据条形图及成绩在 70≤x＜80这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数 76.9分的人数所占比例可得． 【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在 80分以上（含 80分）的有 15+8＝23人， 故答案为：23； （2）七年级 50人成绩的中位数是第 25、26个数据的平均数，而第 25、26个数据分别 为 78、79， ∴m＝ ＝77.5， 故答案为：77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前， ∵七年级学生甲的成绩大于中位数 78分，其名次在该班 25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数 78分，其名次在该班 25名之后， ∴甲学生在该年级的排名更靠前． （4）估计七年级成绩超过平均数 76.9分的人数为 400× ＝224（人）． 【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直 方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所 示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34°，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60°，求炎帝塑像 DE 的高度． （精确到 1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67， ≈1.73） 14 【分析】由三角函数求出 AC＝ ≈82.1m，得出 BC＝AC﹣AB＝61.1m，在 Rt△BCD 中，由三角函数得出 CD＝ BC≈105.7m，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m， ∴tan∠CAE＝ ，＝∴AC＝ ≈82.1m， ∵AB＝21m， ∴BC＝AC﹣AB＝61.1m， 在 Rt△BCD 中，tan60°＝ ＝，∴CD＝ BC≈1.73×61.1≈105.7m， ∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m， 答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角 三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中． 20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3个 A 奖品和 2个 B 奖品共需 120元；购买 5个 A 奖品和 4个 B 奖品共需 210元． （1）求 A，B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请 设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【分析】（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意列出方程组 ，即可求解； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为 W 元，根据 15 题意得到由题意可知，z≥ （30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数 的性质，即可求解； 【解答】解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元， 根据题意，得 ，∴，∴A 的单价 30元，B 的单价 15元； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为 W 元， 由题意可知，z≥ （30﹣z）， ∴z≥ ，W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z， 当 z＝8时，W 有最小值为 570元， 即购买 A 奖品 8个，购买 B 奖品 22个，花费最少； 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组， 将最优方案转化为一次函数性质解题是关键． 21．（10分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围，小亮已 经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy＝4，即 y＝ ；由周长为m， 得 2（x+y）＝m，即 y＝﹣x+ ．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　一　象限 内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数 y＝ （x＞0）的图象如图所示，而函数 y＝﹣x+ 的图象可由直线 y＝﹣x 平移得 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 y＝﹣x． （3）平移直线 y＝﹣x，观察函数图象 ①当直线平移到与函数 y＝ （x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为　8　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值 16 范围． （4）得出结论 若能生产出面积为 4的矩形模具，则周长 m 的取值范围为　m≥8　． 【分析】（1）x，y 都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点（2，2）代入 y＝﹣x+ 即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1个、2个三种情况，联立 y＝ 和y＝﹣x+ 并整理得：x2﹣ mx+4＝0，即可求解； （4）由（3）可得． 【解答】解：（1）x，y 都是边长，因此，都是正数， 故点（x，y）在第一象限， 答案为：一； （2）图象如下所示： 17 （3）①把点（2，2）代入 y＝﹣x+ 得： 2＝﹣2+ ，解得：m＝8， 即：0个交点时，m＜8；1个交点时，m＝8； 2个交点时，m＞8； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立 y＝ 和y＝﹣x+ 并整理得：x2﹣ mx+4＝0， △＝ m2﹣4×4≥0 时，两个函数有交点， 解得：m≥8； （4）由（3）得：m≥8． 【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等 知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 22．（10分）在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一 点．连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图 1，当 α＝60°时， 的值是　1　，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数 是　60°　． （2）类比探究 如图 2，当 α＝90°时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并 就图 2的情形说明理由． （3）解决问题 当 α＝90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C， P，D 在同一直线上时 的值． 18 【分析】（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E ，设 AB 交 EC 于点 O ．证明 △CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题． （2）如图 2中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问 题． （3）分两种情形：①如图 3﹣1 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H．证明 AD＝DC 即可解决问题． ②如图 3﹣2 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DA＝DC 解决问题． 【解答】解：（1）如图 1中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O． ∵∠PAD＝∠CAB＝60°， ∴∠CAP＝∠BAD， ∵CA＝BA，PA＝DA， ∴△CAP≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠BEO＝∠CAO＝60°， ∴＝1，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60°， 故答案为 1，60°． （2）如图 2中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E． 19 ∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB， ∵＝＝，∴△DAB∽△PAC， ∴∠PCA＝∠DBA， ＝＝，∵∠EOC＝∠AOB， ∴∠CEO＝∠OABB＝45°， ∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45°． （3）如图 3﹣1 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H． ∵CE＝EA，CF＝FB， ∴EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝45°， ∵∠PAO＝45°， ∴∠PAO＝∠OFH， ∵∠POA＝∠FOH， 20 ∴∠H＝∠APO， ∵∠APC＝90°，EA＝EC， ∴PE＝EA＝EC， ∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH， ∴∠H＝∠BAH， ∴BH＝BA， ∵∠ADP＝∠BDC＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AH， ∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°， ∵∠ADB＝∠ACB＝90°， ∴A，D，C，B 四点共圆， ∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°， ∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°， ∴DA＝DC，设 AD＝a，则 DC＝AD＝a，PD＝ a， ∴＝＝2﹣ ．如图 3﹣2 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DA＝DC，设 AD＝a，则 CD＝AD＝a，PD a， ＝∴PC＝a﹣ a， 21 ∴＝＝2+ ．【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角 形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中 考压轴题． 23．（11分）如图，抛物线 y＝ax2+ x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y＝ ﹣x﹣2 经过点 A，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标 为 m． ①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； ②作点 B 关于点 C 的对称点 B’，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B′到该直线的距离都 相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：y＝kx+b 的解析式．（k，b 可用含 m 的式子表示） 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，C 的坐标，根据点 A，C 的 坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式； （2）①由 PM⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑： （i）当∠MPC＝90°时，PC∥x 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 P 的坐标； （ii）当∠PCM＝90°时，设 PC 与 x 轴交于点 D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的 性质可求出点 D 的坐标，根据点 C，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 PC 的解析式， 22 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点 P 的坐标．综上，此问 得解； ②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 B，P 的坐标，根据点 P，B 的坐标，利用 待定系数法可求出直线 PB 的解析式，结合题意可知：直线 l 过点 C，且直线 l∥直线 PB， 再结合点 C 的坐标即可求出直线 l 的解析式． 【解答】解：（1）当 x＝0时，y＝﹣ x﹣2＝﹣2， ∴点 C 的坐标为（0，﹣2）； 当 y＝0时，﹣ x﹣2＝0， 解得：x＝﹣4， ∴点 A 的坐标为（﹣4，0）． 将 A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入 y＝ax2+ x+c，得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为 y＝ x2+ x﹣2． （2）①∵PM⊥x 轴， ∴∠PMC≠90°， ∴分两种情况考虑，如图 1所示． （i）当∠MPC＝90°时，PC∥x 轴， ∴点 P 的纵坐标为﹣2． 当 y＝﹣2 时，x2+ x﹣2＝﹣2， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴点 P 的坐标为（﹣2，﹣2）； （ii）当∠PCM＝90°时，设 PC 与 x 轴交于点 D． ∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°， ∴∠OAC＝∠OCD． 又∵∠AOC＝∠COD＝90°， ∴△AOC∽△COD， 23 ∴＝，即 ＝ ， ∴OD＝1， ∴点 D 的坐标为（1，0）． 设直线 PC 的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 将 C（0，﹣2），D（1，0）代入 y＝kx+b，得： ，解得： ，∴直线 PC 的解析式为 y＝2x﹣2． 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，得： ，解得： ，，点 P 的坐标为（6，10）． 综上所述：当△PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）． ②当 y＝0时， x2+ x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴点 B 的坐标为（2，0）． ∵点 C 的坐标为（0，﹣2），点 B，B′关于点 C 对称， ∴点 B′的坐标为（﹣2，﹣4）． ∵点 P 的横坐标为 m（m＞0且 m≠0）， ∴点 M 的坐标为（m，0）． 分三种情况考虑，如图 2所示： ∴直线 PB 的解析式为 y＝ （m+4）x﹣ （m+4）（可利用待定系数求出）． ∵点 B，B′关于点 C 对称，点 B，B′，P 到直线 l 的距离都相等， ∴直线 l 过点 C，且直线 l∥直线 PB， ∴直线 l 的解析式为 y＝ （m+4）x﹣2． 24 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次 函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以 及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解 析式；（2）①分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况求出点 P 的坐标；②利用待定系数 法及平行线的性质，求出直线 l 的解析式． 25