河北省2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有 16个小题，共 42分，1-10小题各 3分，11-16小题各 2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列图形为正多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）规定：（→2）表示向右移动 2记作+2，则（←3）表示向左移动 3记作（　　） A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+ 3．（3分）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（　　） A．∠DAB 4．（3分）语句“x 的与x 的和不超过 5”可以表示为（　　） A． +x≤5 B． +x≥5 C． ≤5 5．（3分）如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝（　　） B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC D． +x＝5 A．30° B．25° C．20° D．15° 6．（3分）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 1则回答正确的是（　　） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 D．※代表 AB C．▲代表∠EFC 8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　） D．2×10﹣5 A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6个小正三角形涂黑，还需涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 n 的最小值为（　　） A．10 B．6 C．3 D．2 10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． C． B． D． 11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 2正确统计步骤的顺序是（　　） A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→③ D．②→④→③→① 12．（2分）如图，函数 y＝的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 13．（2分）如图，若 x 为正整数，则表示 ﹣的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 14．（2分）图 2是图 1中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2+2x，S 左＝x2+x，则 S 俯＝（　　） A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2×2+3x 15．（2分）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1，b＝4，解出其中一个根是 x＝﹣ 1．他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2．则原方程的根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 C．有一个根是 x＝﹣1 16．（2分）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．” 甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n．甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n＝13．乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n＝14． 3丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取 n＝13．下列正确的是（　　） A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对 C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有 3个小题，共 11分，17小题 3分：18～19小题各有 2个空，每空 2分，把答案写在题中横线上） 17．（3分）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p，则 p 的值为　． 18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即 4+3＝7 则（1）用含 x 的式子表示 m＝　（2）当 y＝﹣2时，n 的值为　　；　． 19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的坐标，数据如图（单位： km）．笔直铁路经过 A，B 两地．（1）A，B 间的距离为　（2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，D 间的距离为　km．　km； 4三、解答题（本大题有 7个小题，共 67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若 1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 21．（9分）已知：整式 A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式 B＞0．尝试化简整式A．发现 A＝B2，求整式 B． 22联想由上可知，B2＝（n2﹣1）+（2n），当 n＞1时，n2﹣1，2n，B 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中 B 的值：直角三角形三边勾股数组Ⅰ n2﹣1 /2n 8B　　　勾股数组Ⅱ 35 /　22．（9分）某球室有三种品牌的 4个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8元球）＝（1）求这 4个球价格的众数；．（2）若甲组已拿走一个 7元球训练，乙组准备从剩余 3个球中随机拿一个训练． ①所剩的 3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到 8元球的概率．又拿 5先拿 23．（9分）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值；（ 3 ）当AB ⊥ AC 时， ∠ AIC 的取值范围为m °＜ ∠ AIC ＜ n °，分别直接写出m ， n 的值． 24．（10分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头（m）．（1）当 v＝2时，解答： ①求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲（m），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 625．（10分）如图 1和 2，▱ABCD 中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P，设 BP＝x．（1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时⊙O 交 AD 于点 E，直接指出 PE 与 BC 的位置关系；（2）当 x＝4时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦 AP 与劣弧长度的大小；（3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围． 26．（12分）如图，若 b 是正数，直线 l：y＝b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y＝x﹣b 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：y＝﹣x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D．（1）若 AB＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；（3）设 x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在 l，a 和 L 上，且 y3是 y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离；（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 b ＝2019和 b＝2019.5时“美点”的个数． 72019年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 16个小题，共 42分，1-10小题各 3分，11-16小题各 2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D． 2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动 2记作+2，则（←3）表示向左移动 3记作﹣3．故选：B． 3．【解答】解：∵从点 C 观测点 D 的视线是 CD，水平线是 CE， ∴从点 C 观测点 D 的仰角是∠DCE，故选：B． 4．【解答】解：“x 的与x 的和不超过 5”用不等式表示为 x+x≤5．故选：A． 5．【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠D＝150°， ∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠1＝15°；故选：D． 6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C． 7．【解答】证明：延长 BE 交 CD 于点 F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 8故选：C． 8．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5 ．故选：D． 9．【解答】解：如图所示，n 的最小值为 3，故选：C． 10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C． 11．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 →③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D． 12．【解答】解：由已知可知函数 y＝关于 y 轴对称，所以点 M 是原点；故选：A． 13．【解答】解∵ 又∵x 为正整数， ﹣＝﹣＝1﹣ ＝∴≤x＜1 故表示 ﹣的值的点落在② 故选：B． 14．【解答】解：∵S 主＝x2+2x＝x（x+2），S 左＝x2+x＝x（x+1）， ∴俯视图的长为 x+2，宽为 x+1，则俯视图的面积 S 俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2， 9故选：A． 15．【解答】解：∵小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1，b＝4，解出其中一个根是 x＝﹣1， ∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中 c＝5，则 b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A． 16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为 n＝ 14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．二、填空题（本大题有 3个小题，共 11分，17小题 3分：18～19小题各有 2个空，每空 2分，把答案写在题中横线上） 17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p， ∴﹣2﹣1+0＝p，解得：p＝﹣3．故答案为：﹣3． 18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得： m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3＝m+n＝y．当 y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得 x＝﹣1． ∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1． 19．【解答】解：（1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：AB∥x 轴， ∴AB＝12﹣（﹣8）20； 10 （2）过点 C 作 l⊥AB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18， AE＝12，设 CD＝x， ∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122， ∴解得：x＝13， ∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；三、解答题（本大题有 7个小题，共 67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9 ＝3﹣6﹣9 ＝﹣3﹣9 ＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6， ∴1× ×6□9＝﹣6， ∴3□9＝﹣6， ∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴1□2□6的结果是负数即可， ∴1□2□6的最小值是 1﹣2×6＝﹣11， ∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20， ∴这个最小数是﹣20． 21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2， ∵A＝B2，B＞0， 11 ∴B＝n2+1，当 2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；当 n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：15；37 22．【解答】解：（1）∵P（一次拿到 8元球）＝，∴8元球的个数为 4× ＝2（个），按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， ∴这 4个球价格的众数为 8元；（2）①所剩的 3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数相同；理由如下：原来 4个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， ∴原来 4个球价格的中位数为所剩的 3个球价格为 8，8，9，＝8（元）， ∴所剩的 3个球价格的中位数为 8元， ∴所剩的 3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数相同； ②列表如图所示：共有 9个等可能的结果，乙组两次都拿到 8元球的结果有 4个， ∴乙组两次都拿到 8元球的概率为．23．【解答】解：（1）在△ABC 和△ADE 中，（如图 1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． 12 （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 当 AD⊥BC 时，AP＝ AB＝3最小，即 PD＝6﹣3＝3为 PD 的最大值．（3）如图 2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I 为△APC 的内心 ∴AI、CI 分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA）＝180°﹣ （90°﹣α+60°）＝α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜ α+105°＜150°，即 105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 24．【解答】解：（1）①排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），则排头也离开原排头 t（s）， ∴S 头＝2t+300 ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时 S 头＝2t+300＝600 m 甲返回时间为：（t﹣150）s 13 ∴S 甲＝S 头﹣S 甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S 头与 t 的函数关系式为 S 头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t 追及+t 返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（ ﹣﹣150）＝400﹣150v；，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．因此 T 与 v 的函数关系式为：T＝ 25．【解答】解：（1）如图 1，AP 经过圆心 O，∵CP 与⊙O 相切于 P， ∴∠APC＝90°， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠PBC＝∠DAB ∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由 CP2+BP2＝BC2，得（4k）2+（3k）2＝152，解得 k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝3×3＝9，故当 x＝9时，圆心 O 落在 AP 上； ∵AP 是⊙O 的直径， ∴∠AEP＝90°， ∴PE⊥AD， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC （2）如图 2，过点 C 作 CG⊥AP 于 G， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD， ∴∠CBG＝∠DAB 14 ∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，设 CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得 m＝3， ∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7， ∴AG＝AB+BG＝3+9＝12 ∴tan∠CAP＝＝＝1， ∴∠CAP＝45°；连接 OP，OQ，过点 O 作 OH⊥AP 于 H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝ AP＝，在 Rt△CPG 中，＝＝13， ∵CP 是⊙O 的切线， ∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90° ∴∠OPH＝∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴，即 PH×CP＝CG×OP， ×13＝12OP， ∴OP＝ ∴劣弧长度＝＝，∵＜2π＜7 ∴弦 AP 的长度＞劣弧长度．（3）如图 3，⊙O 与线段 AD 只有一个公共点，即圆心 O 位于直线 AB 下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB 时，此时 BP 取得最小值，过点 C 作 CM⊥AB 于 M， ∵∠DAB＝∠CBP， ∴∠CPM＝∠CBP ∴CB＝CP， ∵CM⊥AB ∴BP＝2BM＝2×9＝18， ∴x≥18 15 26．【解答】解：（1）当 x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b， ∴B （0，﹣b）， ∵AB＝8，而 A（0，b）， ∴b﹣（﹣b）＝8， ∴b＝4． ∴L：y＝﹣x2+4x， ∴L 的对称轴 x＝2，当 x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2， ∴L 的对称轴与 a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y＝﹣（x﹣ ）2+ ，∴L 的顶点 C（）∵点 C 在 l 下方， ∴C 与 l 的距离 b﹣ ＝﹣ （b﹣2）2+1≤1， 16 ∴点 C 与 1距离的最大值为 1；（3）由題意得，即 y1+y2＝2y3，得 b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得 x0＝0或 x0＝b﹣ ．但x0#0，取 x0＝b﹣ ，对于 L，当 y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即 0＝﹣x（x﹣b），解得 x1＝0，x2＝b， ∵b＞0， ∴右交点 D（b，0）． ∴点（x0，0）与点 D 间的距离 b﹣（b﹣ ）＝（4）①当 b＝2019时，抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019x 直线解析式 a：y＝x﹣2019 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019， ∴可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和 2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有 2021 个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有 2021个整数点 ∴总计 4042个点， ∵这两段图象交点有 2个点重复重复， ∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）； ②当 b＝2019.5时，抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式 a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5， ∴当 x 取整数时，在一次函数 y＝x﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为 0，在二次函数 y＝x+2019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数，可知﹣1到 2019.5之间有1009个偶数，并且在﹣1和 2019.5之间还有整数 0，验证后可知 0也符合条件，因此“美点”共有 1010个．故 b＝2019时“美点”的个数为 4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为 1010个． 17 18