江苏省镇江市2019年中考数学真题试题（含解析）

镇江市 2019年中考数学试卷一、填空题（本大题共有 12小题，每小题 2分，共计 24分.） 1．﹣2019的相反数是　 2．27的立方根为　． 3．一组数据 4，3，x，1，5的众数是 5，则 x＝　 4．若代数式有意义，则实数x 的取值范围是　 5．氢原子的半径约为 0.00000000005m，用科学记数法把 0.00000000005表示为　　．　．　．　．的图象上，则 y1　y2．（填 6．已知点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数 y＝﹣ “＞”或“＜”） 7．计算： 8．如图，直线 a∥b，△ABC 的顶点 C 在直线 b 上，边 AB 与直线 b 相交于点 D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　°． ﹣＝　　． 9．若关于 x 的方程 x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于　 10．将边长为 1的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置（如图），使得点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD＝　．（结果保留根号）　． 11．如图，有两个转盘 A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字 1，2，分别转动转盘 A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字 1的扇形区域内”的概率是盘 B 中标有数字 1的扇形的圆心角的度数是　°．，则转 112．已知抛物线 y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点 A（m，3），B（n，3）两点，若线段 AB 的长不大于 4，则代数式 a2+a+1的最小值是　　．二、选择题（本大题共有 5小题，每小题 3分，共计 15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求） 13．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a7÷a3＝a4 C．（a3）5＝a8 D．（ab）2＝ab2 14．一个物体如图所示，它的俯视图是（　　） A． C． B． D． 15．如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC 的度数等于（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 16．下列各数轴上表示的 x 的取值范围可以是不等式组的解集的是（　　） 2A． B． C． D． 17．如图，菱形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上（B 在 C 的左侧），顶点 A、D 在 x 轴上方，对角线 BD 的长是，点 E（﹣2，0）为 BC 的中点，点 P 在菱形 ABCD 的边上运动．当点 F（0， 6）到 EP 所在直线的距离取得最大值时，点 P 恰好落在 AB 的中点处，则菱形 ABCD 的边长等于（　　） A． B． C． D．3 三、解答题（本大题共有 11小题，共计 81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 18．（8分）（1）计算：（（2）化简：（1+ ﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；）÷ ．19．（10分）（1）解方程：＝+1；（2）解不等式：4（x﹣1）﹣ ＜x 20．（6分）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E、F 分别在 AD、BC 上，AE＝CF，过点 A、C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF； 3（2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由． 21．（6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率． 22．（6分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，过 AC 延长线上的点 O 作 OD⊥AO，交 BC 的延长线于点 D，以 O 为圆心，OD 长为半径的圆过点 B．（1）求证：直线 AB与⊙O相切；（2）若 AB＝5，⊙O的半径为 12，则 tan∠BDO＝　　． 23．（6分）如图，点 A（2，n）和点 D 是反比例函数 y＝（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数 y＝kx+3（k≠0）的图象经过点 A，与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E，连接 OA，OD．已知△OAB 与△ODE 的面积满足 S△OAB：S△ODE＝3：4．（1）S△OAB＝　　，m＝　　；（2）已知点 P（6，0）在线段 OE 上，当∠PDE＝∠CBO 时，求点 D 的坐标． 424．（6分）在三角形纸片 ABC（如图 1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用 5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图 2）．（1）∠ABC＝　　°；（2）求正五边形 GHMNC 的边 GC 的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7． 25．（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表得分类别 A：没有作答 0136B：解答但没有正确 C：只得到一个正确答案 D：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有 50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为 3.78分．请解决如下问题： 5（1）九（2）班学生得分的中位数是　　；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于 B 类和 C 类的人数各是多少？ 26．（6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 α 的大小是变化的．【实际应用】观测点 A在图 1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点 A处测得 α 为 31°，在点 A所在子午 6线往北的另一个观测点 B，用同样的工具尺测得 α 为 67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB 的度数；（2）已知 OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O 上的长．（π 取 3.1） 27．（10分）如图，二次函数 y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为 D，对称轴是直线 1，一次函数 y＝的图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 关于 l 的对称直线交于点 B． x+1 （1）点 D 的坐标是　　；（2）直线 l 与直线 AB 交于点 C，N 是线段 DC 上一点（不与点 D、C 重合），点 N 的纵坐标为 n．过点 N 作直线与线段 DA、DB 分别交于点 P、Q，使得△DPQ 与△DAB 相似． 7①当 n＝ ②若对于每一个确定的 n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出 n 的取值范围　．时，求 DP的长； 28．（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距 150个单位长度的直线跑道 AB 上，机器人甲从端点 A 出发，匀速往返于端点 A、B 之间，机器人乙同时从端点 B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 B、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】 ①观察图 1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A之间的距离为 30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为　　个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A之间的距离为 40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为　　个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度．兴趣小组成员发现了 y 与 x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 OP，不包括点 O，如图 2所示）． ①a＝　　； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图 2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度． 8若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是　．（直接写出结果） 9参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12小题，每小题 2分，共计 24分.） 1．解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019． 2．解：∵33＝27， ∴27的立方根是 3，故答案为：3． 3．解：∵数据 4，3，x，1，5的众数是 5， ∴x＝5，故答案为：5． 4．解：由题意得 x﹣4≥0，解得 x≥4．故答案为：x≥4． 5．解：用科学记数法把 0.0000 0000 005表示为 5×10﹣11 故答案为：5×10﹣11 ．．6．解：∵反比例函数 y＝﹣ 的图象在二、四象限，而 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限， ∴在第二象限内，y 随 x 的增大而增大， ∵﹣2＜﹣1 ∴y1＜y2．故答案为：＜ 7．解：故答案为：＝2 ﹣＝．．8．解：∵△BCD 是等边三角形， ∴∠BDC＝60°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40． 10 9．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得 m＝1．故答案为 1． 10．解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴CD＝1，∠CDA＝90°， ∵边长为 1的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置，使得点 D 落在对角线 CF 上， ∴CF＝ ∴△DFH 为等腰直角三角形， ∴DH＝DF＝CF﹣CD＝ ﹣1．故答案为 ﹣1． 11．解：设转盘 B 中指针落在标有数字 1的扇形区域内的概率为 x，，∠CFDE＝45°，根据题意得：解得，，∴转盘 B 中标有数字 1的扇形的圆心角的度数为：360°× 故答案为：80．＝80°． 12．解：∵抛物线 y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点 A（m，3），B（n，3）两点，＝﹣ ＝﹣2 ∴∵线段 AB 的长不大于 4， ∴4a+1≥3 ∴a≥ ∴a2+a+1的最小值为：（）2+ +1＝；故答案为．二、选择题（本大题共有 5小题，每小题 3分，共计 15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项 11 符合题目要求） 13．解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误； B、a7÷a3＝a4，正确； C、（a3）5＝a15，故此选项错误； D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；故选：B． 14．解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D． 15．解：连接 AC， ∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°， ∵＝，∴∠CAB＝ ∠DAB＝35°， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A． 16．解：由 x+2＞a 得 x＞a﹣2， A．由数轴知 x＞﹣3，则 a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得 x＞﹣2，与数轴不符； B．由数轴知 x＞0，则 a＝2，∴3x﹣6＜0，解得 x＜2，与数轴相符合； C．由数轴知 x＞2，则 a＝4，∴7x﹣6＜0，解得 x＜，与数轴不符； D．由数轴知 x＞﹣2，则 a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得 x＞﹣6，与数轴不符；故选：B． 17．解：如图 1中，当点 P 是 AB 的中点时，作 FG⊥PE 于 G，连接 EF． 12 ∵E（﹣2，0），F（0， 6）， ∴OE＝2，OF＝6， ∴EF＝＝2 ，∵∠FGE＝90°， ∴FG≤EF， ∴当点 G 与 E 重合时，FG 的值最大．如图 2中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J．设 BC＝2a． ∵PA＝PB，BE＝EC＝a， ∴PE∥AC，BJ＝JH， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，BH＝DH＝ ∴PE⊥BD，，BJ＝，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°， 13 ∴∠EBJ＝∠FEO， ∴△BJE∽△EOF， ∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝故选：A．，三、解答题（本大题共有 11小题，共计 81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 18．解：（1）（ ﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60° ＝1+3﹣2 ＝2；（2）（1+ ）÷ ）÷ ＝（ +＝•＝x+1． 19．解；（1）方程两边同乘以（x﹣2）得 2x＝3+x﹣2 ∴x＝1 检验：将 x＝1代入（x﹣2）得 1﹣2＝﹣1≠0 x＝1是原方程的解． ∴原方程的解是 x＝1．（2）化简 4（x﹣1）﹣ ＜x 得 4x﹣4﹣ ∴3x＜＜x 14 ∴x＜ ∴原不等式的解集为 x＜．20．（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE， ∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE 和△CHF 中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段 GH 与 AC 互相平分，理由如下：连接 AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF， ∴AG＝CH， ∵AG∥CH， ∴四边形 AHCG 是平行四边形， ∴线段 GH 与 AC 互相平分． 21．解：根据题意画树状图如下： 15 共有 9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有 3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是＝．22．（1）证明：连接 AB，如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠OCD， ∴∠ABC＝∠OCD， ∵OD⊥AO， ∴∠COD＝90°， ∴∠D+∠OCD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠D， ∴∠OBD+∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°， ∴AB⊥OB， ∵点 B 在圆 O 上， ∴直线 AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ABO＝90°， ∴OA＝＝＝13， ∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA﹣AC＝8， ∴tan∠BDO＝＝＝；故答案为：．16 23．解：（1）由一次函数 y＝kx+3知，B（0，3）．又点 A 的坐标是（2，n）， ∴S△OAB ＝×3×2＝3． ∵S△OAB：S△ODE＝3：4． ∴S△ODE＝4． ∵点 D 是反比例函数 y＝（m＞0，x＞0）图象上的点， ∴m＝S△ODE＝4，则 m＝8．故答案是：3；8；（2）由（1）知，反比例函数解析式是 y＝ ∴2n＝8，即 n＝4．．故 A（2，4），将其代入 y＝kx+3得到：2k+3＝4．解得 k＝ ∴直线 AC 的解析式是：y＝．x+3．令 y＝0，则 ∴x＝﹣6， x+3＝0， ∴C（﹣6，0）． ∴OC＝6．由（1）知，OB＝3．设 D（a，b），则 DE＝b，PE＝a﹣6． ∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°， ∴△CBO∽△PDE， 17 ∴＝，即＝①，又 ab＝8 ②．联立①②，得故 D（8，1）．（舍去）或．24．解：（1）∵五边形 ABDEF 是正五边形， ∴∠BAF＝＝108°， ∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，故答案为：30；（2）作 CQ⊥AB 于 Q，在 Rt△AQC 中，sin∠QAC＝，∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在 Rt△BQC 中，∠ABC＝30°， ∴BC＝2QC＝19.6， ∴GC＝BC﹣BG＝9.6． 25．解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人， 18 将 48个数据按从小到大的顺序排列，第 24、25个数据都在 D 类，所以中位数是 6分．故答案为 6分；（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于 B 类和 C 类的人数各是 x 人、y 人．由题意，得解得，．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于 B 类和 C 类的人数各是 6人、17人． 26．解：（1）设点 B 的切线 CB 交 ON 延长线于点 E，HD⊥BC 于 D，CH⊥BH 交 BC 于点 C，如图所示：则∠DHC＝67°， ∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°， ∴∠HBD＝∠DHC＝67°， ∵ON∥BH， ∴∠BEO＝∠HBD＝67°， ∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°， ∵PQ⊥ON， ∴∠POE＝90°， ∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°， ∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°， ∴＝＝3968（km）． 19 27．解：（1）顶点为 D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴 x＝2， ∴C（2，由已知可求 A（﹣ 点 A 关于 x＝2对称点为（），，0），，0），则 AD 关于 x＝2对称的直线为 y＝﹣2x+13， ∴B（5，3）， ①当 n＝ ∴DA＝时，N（2，，DN＝），，CD＝当 PQ∥AB 时，△DPQ∽△DAB， ∵△DAC∽△DPN， ∴，∴DP＝9 ；当 PQ 与 AB 不平行时，△DPQ∽△DBA， ∴△DNQ∽△DCA， ∴，∴DP＝9 ；综上所述，DN＝9 ；20 ②当 PQ∥AB，DB＝DP时， DB＝3 ，∴，∴DN＝，∴N（2，）， ∴有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，故答案为＜n＜＜n＜；；28．解：【观察】①∵相遇地点与点 A之间的距离为 30个单位长度， ∴相遇地点与点 B 之间的距离为 150﹣30＝120个单位长度，设机器人甲的速度为 v， ∴机器人乙的速度为 v＝4v， ∴机器人甲从相遇点到点 B 所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为＝，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点 A，返回到点 B，再返回向 A 时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点 A 为 m 个单位，根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30）， ∴m＝90，故答案为：90； ②∵相遇地点与点 A之间的距离为 40个单位长度， ∴相遇地点与点 B 之间的距离为 150﹣40＝110个单位长度，设机器人甲的速度为 v， ∴机器人乙的速度为 v＝ v， ∴机器人乙从相遇点到点 A再到点 B所用的时间为＝，21 机器人甲从相遇点到点 B 所用时间为，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点 A，再到点 B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点 A 为 m 个单位，根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40）， ∴m＝120，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点 B时，设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为 v，根据题意知，x+150＝（150﹣x）， ∴x＝50，经检验：x＝50是分式方程的根，即：a＝50，故答案为：50； ②当 0＜x≤50时，点 P（50，150）在线段 OP上， ∴线段 OP 的表达式为 y＝3x，当 v＜ v 时，即当 50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点 B 返回向点 A 时，设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为 v，根据题意知，x+y＝ ∴y＝﹣3x+300，（150﹣x+150﹣y），即：y＝，补全图形如图 2所示，【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝ ∴y＝﹣5x+300，（150﹣x+150﹣y）， ∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60个单位长度， 22 ∴﹣5x+300≤60， ∴x≥48， ∵x＜75， ∴48≤x＜75，故答案为 48≤x＜75． 23