扬州市 2019学初中毕业、升学统一考试数学试题 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分） 1.下列图案中，是中心对称图形的是( D ) A. B. C . D. 【考点】：中心对称图形 【解析】：中心对称图形绕某一点旋转 180°与图形能够完全重合 【答案】：D. 2.下列个数中，小于-2的数是（ A ）A.- B.-3 C.- 52D.-1 【考点】：数的比较大小，无理数 【解析】：根据二次根式的定义确定四个选项与-2的大小关系， 可得- 5 比-2小 【答案】：A. 13.分式 可变形为( D ) 3- x 1111A. B.- C. D.- 3 x 【考点】：分式的化简 3 x x 3 x 3 【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号 【答案】：故选 B. 4.一组数据 3、2、4、5、2，则这组数据的众数是( A) A.2 B.3 C.3.2 D.4 【考点】：统计，数据的集中趋势与离散程度 【解析】： 众数是出现次数最多的数据 【答案】：故选：A 5.如图所示物体的左视图是( B ) 【考点】：三视图 【解析】：三视图的左视图从物体的左边看 【答案】：选 B. 16.若点 P在一次函数 y x 4 的图像上，则点 P一定不在（ C ）. A.第一象限 B. 第二象限 【考点】：一次函数的图像 【解析】： C. 第三象限 D. 第四象限 坐标系中，一次函数 y x 4 经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限 【答案】：C 7.已知 n正整数，若一个三角形的三边长分别是 n+2、n+8、3n，则满足条件的 n的值有 ( D ) A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【考点】：正整数，三角形三边关系 【解析】： 方法一：∵n 是正整数 ∴n=1 时，三边为 3,9,3构不成三角形，不符合 n=2时，三边为 4,10,6构不成三角形，不符合 n=3时，三边为 5,11,9可以构成三角形，符合 n=4时，三边为 6,12,12可以构成三角形，符合 n=5时，三边为 7,13,15可以构成三角形，符合 n=6时，三边为 8,14,18可以构成三角形，符合 n=7时，三边为 9,15,21可以构成三角形，符合 n=8时，三边为 10,16,24可以构成三角形，符合 n=9时，三边为 11,17,27可以构成三角形，符合 n=10时，三边为 12,18,30不可以构成三角形，不符合 ∴总共 7个 n 2 3n＞n 8 n＞2 n＜4 方法二：当 n+8最大时 n 8 3n＜n 2 2＜n＜4 ∴n=3 n 8＞3n n 2 n 8＞3n 当 3n最大时 3n n 8＜n 2 4 n＜10 ∴n=4，5，6，7，8，9 3n n 8 综上：n总共有 7个 【答案】：选：D. 28.若反比例函数 y 的图像上有两个不同的点关于 y轴对称点都在一次函数 y=-x+m 的 x图像上，则 m的取值范围是（ C ） A.m＞2 2B.m＜- 22 ① C.m＞2 2或m＜- 22 D.- 22＜m＜2 2 2【考点】：函数图像，方程，数形结合 【解析】： 2∵反比例函数 y 上两个不同的点关于 y轴对称的点 x在一次函数 y=-x+m 图像上 2∴是反比例函数 y 与一次函数 y=-x+m 有两个不同的交点 x2y 2联立两个函数解方程 ∵有两个不同的交点 x m x2 mx 2 0 xxy x m ∴x2 mx 2 0有两个不等的根△=m2-8＞0 根据二次函数图像得出不等式解集 所以 m＞2 2或m＜- 22 【答案】：C. 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分） 9.2019年 5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全场约 1790000米， 数据 1790000用科学记数法表示为 1.79×106 .【考点】：科学计数法 【答案】：1.79×106 10.因式分解：a3b-9ab=ab（3-x）（3+x） 。 【考点】：因式分解， 【解析】：先提取公因式，在使用平方差公式因式分解 【答案】： ab（3-x）（3+x） 11.扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 .（精确到 0.01） 【考点】：频率与频数 【解析】：频率接近于一个数，精确到 0.01 【答案】：0.92 312.一元二次方程 【考点】：解方程 【解析】： 解： 【答案】：x1=1 xx 2 x 2 的根式__x1=1 x2=2___. xx 2 x 2 x 1x 2 0 x1=1 x2=2 x2=2. 2018 2019 13.计算： 5 – 2 5 2 的结果是 5 2 .【考点】：根式的计算，积的乘方 【解析】： 2018 5 – 2 5 2 5 2 5 2 【答案】： 5 2 .14.将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD= 128°. 【考点】：矩形的性质，折叠问题，等腰三角形，平行线，平角 【解析】： 解：延长 DC到 F ∵矩形纸条折叠 ∴∠ACB=∠∠BCF ∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCF=26° ∴∠ACF=52° ∵∠ACF+∠ACD=180° ∴∠ACD=128° 【答案】：128° 15.如图，AC是⊙O 的内接正六边形的一边，点 B在弧 AC上，且 BC是⊙O 的内接正十边形 的一边，若 AB是⊙O 的内接正 n边形的一边，则 n=__15_。 【考点】：圆心角，圆内正多边形 【解析】： 解：∵AC 是⊙O 的内接正六边形的一边 ∴∠AOC=360°÷6=60° ∵BC 是⊙O 的内接正十边形的一边 ∴∠BOC=360°÷10=36° ∴∠AOB=60°-36°=24° 即 360°÷n=24°∴n=15 【答案】：15. 416.如图，已知点 E在正方形 ABCD的边 AB上，以 BE为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF，M、N分别是 DC、DF的中点，连接 MN.若 AB=7，BE=5，则 13 MN= .2【考点】：正方形，中位线，勾股定理 【解析】：连接 FC，∵M、N分别是 DC、DF的中点 ∴FC=2MN ∵AB=7，BE=5 且四 ABCD，四 EFGB是正方形 ∴FC= FG2 GC2 =13 13 ∴MN= 213 【答案】：MN= 217.如图，将四边形 ABCD绕顶点 A顺时针旋转 45°至 AB’C’D’的位置，若 AB=16cm，则 图中阴影部分的面积为 32π ．【考点】：扇形的面积，阴影部分面积 【解析】： ∵阴影部分面积=扇形 BB’A的面积+四边形 ABCD的面积-四 AB’C’D’的面积 45π162 ∴阴影部分面积=扇形 BB’A的面积= 32π 360 【答案】：32π. 18.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边 BC上从左到右一次取点 D1、 D2、D3、D4…；过点 D1作 AB、AC的平行线分别交于 AC、AB与点 E1、F1；过点 D2作 AB、AC 的平行线分别交于 AC、AB于点 E2、F2；过点 D3作 AB、AC的平行线分别交于 AC、AB于点 E3、F3…， 则 4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）= 40380 ．【考点】：相似三角形，比例性质 【解析】：∵D1E1∥AB D1F1∥AC D1E1 CD1 D1F BD1 ∴AB CB AC BC 5∵AB=5 AC=4 D1E1 CD1 D1F BD1 ∴∴5CB 4BC D1E1 D1F CD1 BD1 BC 1 54CB BC BC ∴4D1E+5D1F=20 有 2019组，即 2019×20=40380 【答案】：40380 三、解答题（本大题共有 10小题，共 96分） 19.（本题满分 8分）计算或化简： a2 1（1） 8 – 3-π0 - 4cos45 （2） a 1 1 a 2a2 1 a 1 解原式=2 2-1-4× 解原式 = 2=-1 =a+1 【考点】：有理数的计算，因式分解，分式化简，三角函数 4x 1 7x 13 20.（本题满分 8分）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解 x 8 3x 4＜ 4x 4 7x 13 3x -9 x -3 x＜2 解： -3 x＜2 ∴负整数解为-3，-2，-1 3x 12＜x 8 2x＜4 【考点】：一元一次不等式组，取整数，不等式的解集 21.（本题满分 8分）扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课 外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成 如下不完整的频数分布表和频数分布直方图. 6根据以上信息，请回答下列问题： （1）表中 a= 120 ，b= （2）请补全频数分布直方图； 0.1 ；（3）若该校有学生 1200人，试估计该校学生每天阅读时间超过 1小时的人数. 【解析】： （1）36÷0.3=120（人） 总共 120人，∴a=120 12÷120=0.1=b （2）如图 0.4×120=48（人） （3）1200×（0.4+0.1）=600人 答：该校学生每天阅读时间超过 1小时的人数为 600人. 【考点】：数据的收集与整理，统计图的运用 22.（本题满分 8分）只有 1和它本身两个因数且大于 1的正整数叫做素数.我国数学家陈 景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数都 表示为两个素数的和”.如 20=3+17. （1）从 7、11、19、23这 4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 7的 1概率是 ；4（2）从 7、11、19、23这 4个素数中随机抽取 1个数，再从余下的 3个数中随机抽取 1个 数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 30的概率. 【解析】： 1（1）总共有四个，7有一个，所以概率就是 1÷4= 4（2）根据题意得： 11 7777 19 11 11 19 11 23 11 23 23 23 19 13∴抽到两个素数之和等于 30的概率是 4÷12= 【考点】：概率，素数的定义 723.（本题满分 10分）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程 队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道 1500米，甲工程队整治 3600米所 用的时间与乙工程队整治 2400米所用时间相等。甲工程队每天整治河道多少米？ 【考点】：分式方程的应用 【解析】： 解设甲工程队每天整治河道 xm，则乙工程队每天整治（1500-x）m 3600 2400 由题意得： x 900 x1500 – x 经检验的 x=900是该方程的解 答：甲工程队每天整治河道 900米。 24.（本题满分 10分）如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分∠DAB，已知 CE=6，BE=8， DE=10. （1）求证：∠BEC=90°； （2）求 cos∠DAE. 【考点】：平行四边形的性质 ，勾股定理，三角函数 【解析】：证明（1） ∵四 ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠AED=∠EAB ∵AE 平分∠DAB∴∠DAE=∠EAB ∴∠AED=∠DAE ∴AD=DE=10∴BC=10 ∵BE=8 CE=6 ∴BE2+CE2=BC2 ∴△BEC 为直角三角形∴∠BEC=90° 解（2）∵ DE=10 CE=6 ∴AB=16 ∵∠BEC=90° ∴AE2= BE2 AB2 8 5 16 25∴cos∠EAB= 58 5 ∵∠DAE=∠EAB 2∴cos∠DAE== 5525.（本题满分 10分）如图，AB是⊙O 的弦，过点 O作 OC⊥OA，OC交于 AB于 P，且 CP=CB。 （1）求证：BC是⊙O 的切线； 8（2）已知∠BAO=25°，点 Q是弧 AmB上的一点。 ①求∠AQB 的度数； ②若 OA=18，求弧 AmB的长。 【考点】：直线与圆的位置关系，扇形的弧长，圆心角于圆周角关系， 等腰三角形 【解析】： 解（1）连接 OB ∵CP=CB ∴∠CPB=∠CBP ∵OA⊥OC ∴∠AOC=90° ∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∵∠PAO+∠APO=90° ∴∠ABO+∠CBP=90° ∴∠OBC=90° ∴BC 是⊙O 的切线 （2）①∵∠BAO=25° OA=OB ∴∠BAO=∠OBA=25° ∴∠AOB=130°∴∠AQB=65° ②∵∠AOB=130° OB=18 ∴l 弧 AmB=（360°-130°）π×18÷180=23π 26.（本题满分 10分） 如图，平面内的两条直线 l1、l2,点 A、B在直线 l2上，过点 A、B两点分别作直线 l1的垂线， 垂足分别为 A1、B1，我们把线段 A1B1叫做线段 AB在直线 l2上的正投影，其长度可记作 T （AB，CD）或 T（AB，l2）,特别地，线段 AC在直线 l2上的正投影就是线段 A1C 9请依据上述定义解决如下问题 （1）如图 1，在锐角△ABC 中，AB=5，T（AC，AB）=3，则 T（BC，AB）= 2 ；（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC 的面积； （3）如图 3，在钝角△ABC 中，∠A=60°，点 D在 AB边上，∠ACD=90°， T（AB，AC）=2，T（BC，AB）=6，求 T（BC，CD） .【考点】：新定义，投影问题，相似三角形，母子相似，点到直线的距离， 含 30°的直角三角形 【解析】：解答： (1)过 C作 CE⊥AB，垂足为 E ∴由 T（AC，AB）=3投影可知 AE=3∴BE=2 即 T（BC，AB）=2 (2)过点 C作 CF⊥AB 于 F ∵∠ACB=90°CF⊥AB∴△ACF∽△CBF∴CF2=AF·BF ∵T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9∴AF=4 BF=9即 CF=6 ∴S△ABC=（AB·CF）÷2=13×6÷2=39 (3)过 C作 CM⊥AB 于 M，过 B作 BN⊥CD 于 N ∵∠A=60°∠ACD=90°∴∠CDA=30° ∵T（AB，AC）=2，T（BC，AB）=6∴AC=2 BM=6 ∵∠A=60° CM⊥AB∴AM=1CM= 3∵∠CDA=30°∴MD=3 BD=3 3∵∠BDN=∠CDA=30°∴DN= 323272∵T（BC，CD）=CN∴CN=CD+DN= 3+3=372【答案】：（1）2 ；（2）39；（3） 27.（本题满分 12分）问题呈现 3如图，四边形 ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以 CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC， ∠G=90°，点 M在线段 AB上，且 AM=a，点 P沿折线 AD-DG运动，点 Q沿折线 BC-CG运动 （与点 G不重合），在运动过程中始终保持线段 PQ∥AB.设 PQ与 AB之间的距离为 x. （1）若 a=12. ①如图 1，当点 P在线段 AD上时，若四边形 AMQP的面积为 48， 10 则 x 的值为____2_____； ②在运动过程中，求四边形 AMQP的最大面积； （2）如图 2，若点 P在线段 DG上时，要使四边形 AMQP的面积始终不小于 50，求 a 的取值 范围. 【考点】：矩形，等腰直角三角形，梯形面积，动点问题，函数思想， 分段函数的最值 【解析】： 解：（1）①由题意得：PQ=20 AM=a=12 PQ AM x20 12 x S四 AMQP = 48 解得 x=3 22PQ AM x ②当 P在 AD上时，即 0≤x≤10，S四 AMQP =2PQ AM x20 12 x S四 AMQP = 16x 22当 x=10时，S四 AMQP最大值=160 当 P在 DG上，即 10≤x≤20，S四 AMQP PQ AM x =2PQ AM x40 – 2x 12 QP=40-2x，S四 AMQP ==-x2+26x 22当 x=13时，S四 AMQP最大值=169 综上：x=13时，S四 AMQP最大值=169 （2）由上知：PQ=40-2x PQ AM x40 – 2x a x40 a xS四 AMQP = x2 222∵10≤x≤20 40 a 4∴离对称轴越远取值越小 开口向下 对称轴为：x= 40 a ≤15 时， 当4S四 AMQP最小值=10a≥50 得a≥5 ∴5≤a≤20 40 a ＞15时 当4S四 AMQP最小值=40+a≥50 得a≥20 11 综上所述：5≤a≤20 【答案】：（1）3 ；（2）169；（3）5≤a≤20 28.如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P事 AB边上的一个动点（与点 A、B不重合），直 线 l 是经过点 P的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B的对应点是点 B’. （1）如图 1，当 PB=4时，若点 B’恰好在 AC边上，则 AB’的长度为__4____； （2）如图 2，当 PB=5时，若直线 l∥AC，则 BB’的长度为 5 3 ；（3）如图 3，点 P在 AB边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于 AC，△ACB’的面积是否变 化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB=6时，在直线 l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。 【考点】：折叠问题，等腰三角形，动态问题，对称，路径问题 【解析】 解：（1）∵折叠∴PB=PB’=4 ∵△ABC 为等边三角形 ∴∠A=60° ∴△APB’是等边三角形 即∠B’PA=60° ∴AB’=AP=4 （2）∵l∥AC ∴∠BPB’=120°∴∠PBB’=30° ∵PB=5 ∴BB’=5 312 （3）过 B作 BF⊥AC，垂足为 F，过 B’作 B’E⊥AC，垂足为 E ∵B 与 B’关于 l对称 ∴B’E=BF=4 3AC B’E 8 4 3 ∴S△ACB’ = 16 3 22△ACB’面积不变 （4）由题意得： l变化中，B’的运动路径为以 P为圆心，PB长为半径的圆上 过 P作 B’P⊥AC，交 AC于 E，此时 B’E最长 AP=2，AE=1 ∴PE= 3∴B’E=B’P+PE=6+ 3∴S△ACB’最大值=（6+ 3 ）×8÷2=24+4 3 【答案】（1）4；（2）5 3；（3）面积不变；（4）24+4 3 13
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