江苏省常州市2019年中考数学真题试题（含解析）

江苏省常州市 2019年中考数学试卷一、选择题（本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．﹣3的相反数是（　　） A． B．有意义，则实数 x的取值范围是（　　） B．x＝3 C．x≠﹣1 C．3 D．﹣3 2．若代数式 A．x＝﹣1 D．x≠3 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球 4．如图，在线段 PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（　　） A．线段 PA B．线段 PB C．线段 PC D．线段 PD 5．若△ABC～△A′B’C′，相似比为 1：2，则△ABC与△A’B′C’的周长的比为（　　） A．2：1 B．1：2 的积是有理数的是（　　） B．2 C． C．4：1 D．1：4 6．下列各数中与 2+ A．2+ D．2﹣ 7．判断命题“如果 n＜1，那么 n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的 n可以为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．0 D． 8．随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中 PM2.5的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2表示 0时到 t时 PM2.5的值 1的极差（即 0时到 t时 PM2.5的最大值与最小值的差），则 y2与 t的函数关系大致是（　　） A． C． B． D．二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．计算：a3÷a＝　　．　．　． 10．4的算术平方根是　 11．分解因式：ax2﹣4a＝　 12．如果∠α＝35°，那么∠α 的余角等于　 13．如果 a﹣b﹣2＝0，那么代数式 1+2a﹣2b的值是　 14．平面直角坐标系中，点 P（﹣3，4）到原点的距离是　　°．　．　． 15．若是关于 x、y的二元一次方程 ax+y＝3的解，则 a＝　　． 16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝　　°． 17．如图，半径为 ∠OCB＝　．的⊙O与边长为 8的等边三角形 ABC的两边 AB、BC都相切，连接 OC，则 tan 218．如图，在矩形 ABCD中，AD＝3AB＝3 ，点 P是 AD的中点，点 E在 BC上，CE＝2BE，点　． M、N在线段 BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则 MN＝　三、解答题（本大题共 10小题，共 84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）计算：（1）π0+（）﹣1﹣（）2；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）． 20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 21．（8分）如图，把平行四边形纸片 ABCD沿 BD折叠，点 C落在点 C′处，BC′与 AD相交于点 E．（1）连接 AC′，则 AC′与 BD的位置关系是　（2）EB与 ED相等吗？证明你的结论．　； 22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是　（2）求这组数据的平均数；　，这组数据的众数为　　元； 3（3）该校共有 600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 23．（8分）将图中的 A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在 3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出 1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　；（2）搅匀后先从中摸出 1个盒子（不放回），再从余下的 2个盒子中摸出 1个盒子，把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接） 24．（8分）甲、乙两人每小时共做 30个零件，甲做 180个零件所用的时间与乙做 120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2 ，∠AOC＝45°，点 C在 y轴上，点 D是 BC的中点，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 A、D．（1）求 k的值；（2）求点 D的坐标． 26．（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算， 4从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图 1，两个边长分别为 a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是 c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图 2，n行 n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： n2＝　　；【运用】（3）n边形有 n个顶点，在它的内部再画 m个点，以（m+n）个点为顶点，把 n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 y个这样的三角形．当 n＝3，m＝3时，如图 3，最多可以剪得 7个这样的三角形，所以 y＝7． ①当 n＝4，m＝2时，如图 4，y＝　　；当 n＝5，m＝　　时，y＝9； ②对于一般的情形，在 n边形内画 m个点，通过归纳猜想，可得 y＝　　（用含 m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 27．（10分）如图，二次函数 y＝﹣x2+bx+3的图象与 x轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为（﹣1，0），点 D为 OC的中点，点 P在抛物线上．（1）b＝　　；（2）若点 P在第一象限，过点 P作 PH⊥x轴，垂足为 H，PH与 BC、BD分别交于点 M、N．是否存在这样的点 P，使得 PM＝MN＝NH？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P的横坐标小于 3，过点 P作 PQ⊥BD，垂足为 Q，直线 PQ与 x轴交于点 R，且 S△PQB 2S△QRB，求点 P的坐标．＝528．（10分）已知平面图形 S，点 P、Q是 S上任意两点，我们把线段 PQ的长度的最大值称为平面图形 S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距： ①半径为 1的圆：　　； ②如图 1，上方是半径为 1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　　；（2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接 AB、BC、CA所形成的图形为 S，记 S的宽距为 d． ①若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点 C在⊙M上运动，⊙M的半径为 1，圆心 M在过点（0，2）且与 y轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点 C，都有 5≤d≤8，直接写出圆心 M的横坐标 x的取值范围． 6参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．解：（﹣3）+3＝0．故选：C． 2．解：∵代数式有意义， ∴x﹣3≠0， ∴x≠3．故选：D． 3．解：该几何体是圆柱．故选：A． 4．解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为 B．故选：B． 5．解：∵△ABC～△A′B’C′，相似比为 1：2， ∴△ABC与△A’B′C’的周长的比为 1：2．故选：B． 6．解：∵（2+ 故选：D．）（2﹣ ）＝4﹣3＝1； 7．解：当 n＝﹣2时，满足 n＜1，但 n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果 n＜1，那么 n2﹣1＜0”是假命题，举出 n＝﹣2．故选：A． 8．解：当 t＝0时，极差 y2＝85﹣85＝0，当 0＜t≤10时，极差 y2随 t的增大而增大，最大值为 43；当 10＜t≤20时，极差 y2随 t的增大保持 43不变；当 20＜t≤24时，极差 y2随 t的增大而增大，最大值为 98；故选：B．二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．解：a3÷a＝a2． 7故答案为：a2． 10．解：4的算术平方根是 2．故答案为：2． 11．解：ax2﹣4a，＝a（x2﹣4），＝a（x+2）（x﹣2）． 12．解：∵∠α＝35°， ∴∠α 的余角等于 90°﹣35°＝55° 故答案为：55． 13．解：∵a﹣b﹣2＝0， ∴a﹣b＝2， ∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；故答案为 5． 14．解：作 PA⊥x轴于 A，则 PA＝4，OA＝3．则根据勾股定理，得 OP＝5．故答案为 5． 15．解：把代入二元一次方程 ax+y＝3中， a+2＝3，解得 a＝1．故答案是：1． 16．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDB＝ ∠BOC＝30°．故答案为 30． 17．解：连接 OB，作 OD⊥BC于 D， ∵⊙O与等边三角形 ABC的两边 AB、BC都相切， ∴∠OBC＝∠OBA＝ ∴tan∠OBC＝ ∠ABC＝30°，，∴BD＝＝＝3， 8∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5， ∴tan∠OCB＝＝．故答案为．18．解：作 PF⊥MN于 F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3 ，∠A＝∠C＝90°，＝10， ∴AB＝CD＝ ∵点 P是 AD的中点， ∴PD＝ AD＝，BD＝，∵∠PDF＝∠BDA， ∴△PDF∽△BDA， ∴＝，即＝，解得：PF＝ ∵CE＝2BE，，∴BC＝AD＝3BE， ∴BE＝CD， ∴CE＝2CD， ∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN， ∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC， ∵∠PFN＝∠C＝90°， ∴△PNF∽△DEC， 9∴＝＝2， ∴NF＝2PF＝3， ∴MN＝2NF＝6；故答案为：6．三、解答题（本大题共 10小题，共 84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．解：（1）π0+（）﹣1﹣（）2＝1+2﹣3＝0；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1； 20．解：解不等式 x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式 3x﹣8≤﹣x，得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将解集表示在数轴上如下： 21．解：（1）连接 AC′，则 AC′与 BD的位置关系是 AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与 ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C’BD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 10 22．解：（1）本次调查的样本容量是 6+11+8+5＝30，这组数据的众数为 10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为＝12 （元）；（3）估计该校学生的捐款总数为 600×12＝7200（元）． 23．解：（1）搅匀后从中摸出 1个盒子，可能为 A型（正方形）、B型（菱形）或 C型（等腰直角三角形）这 3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2种， ∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是故答案为：（2）画树状图为：；；共有 6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有 2种：A和 C，C和 A， ∴拼成的图形是轴对称图形的概率为 24．解：设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，．由题意得：＝，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，则 30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做 18个零件，则乙每小时做 12个零件． 25．解：（1）∵OA＝2 ，∠AOC＝45°， 11 ∴A（2，2）， ∴k＝4， ∴y＝；（2）四边形 OABC是平行四边形 OABC， ∴AB⊥x轴， ∴B的横纵标为 2， ∵点 D是 BC的中点， ∴D点的横坐标为 1， ∴D（1，4）； 26．解：（1）有三个 Rt△其面积分别为 ab， ab和 ab+ c2．直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．（a+b）（a+b）＝ ab+ 由图形可知： c2 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2．故结论为：直角长分别为 a、b斜边为 c的直角三角形中 a2+b2＝c2．（2）n行 n列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2，每层棋子分别为 1，3，5，7，…，2n﹣ 1．由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．故答案为 1+3+5+7+…+2n﹣1．（3）①如图 4，当 n＝4，m＝2时，y＝6， 12 如图 5，当 n＝5，m＝3时，y＝9． ②方法 1．对于一般的情形，在 n边形内画 m个点，第一个点将多边形分成了 n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2部分，故可得 y＝n+2（m﹣1）．方法 2．以△ABC的二个顶点和它内部的 m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成 3+2 （m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的 4个顶点和它内部的 m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成 4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以 n边形的 n个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原 n边形分割成 n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得 y＝n+2（m﹣1）．故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）． 27．解：（1）∵二次函数 y＝﹣x2+bx+3的图象与 x轴交于点 A（﹣1，0） ∴﹣1﹣b+3＝解得：b＝2 故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点 P，使得 PM＝MN＝NH． ∵二次函数解析式为 y＝﹣x2+2x+3 当 x＝0时 y＝3， ∴C（0，3）当 y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴直线 BC的解析式为 y＝﹣x+3 ∵点 D为 OC的中点， ∴D（0，）∴直线 BD的解析式为 y＝﹣ +，13 设 P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则 M（t，﹣t+3），N（t，﹣ t+ ），H（t，0） t+ ，NH＝﹣ ∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣ t+ x+ ）＝﹣ ∴MN＝NH ∵PM＝MN ∴﹣t2+3t＝﹣ 解得：t1＝ t+ ，t2＝3（舍去） ∴P（ ∴P的坐标为（（3）过点 P作 PF⊥x轴于 F，交直线 BD于 E ，），），使得 PM＝MN＝NH． ∵OB＝3，OD＝ ∴BD＝，∠BOD＝90° ＝∴cos∠OBD＝ ∵PQ⊥BD于点 Q，PF⊥x轴于点 F ∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90° ∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90° ∴∠EPQ＝∠OBD，即 cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在 Rt△PQE中，cos∠EPQ＝ ∴PQ＝ PE 在 Rt△PFR中，cos∠RPF＝ ∴PR＝ PF ∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB ∴PQ＝2QR ＝BQ•PQ，S△QRB ＝BQ•QR 14 设直线 BD与抛物线交于点 G ∵﹣ ＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点 B横坐标），x2＝﹣ ∴点 G横坐标为﹣ +设 P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则 E（t，﹣ ∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣ t+ ）t+ ）|＝|﹣t2+ t+ |①若﹣ ＜t＜3，则点 P在直线 BD上方，如图 2， ∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+ ∵PQ＝2QR t+ ∴PQ＝ ∴PR PE＝ t+ •PF，即 6PE＝5PF ∴6（﹣t2+ ）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去） ∴P（2，3） ②若﹣1＜t＜﹣ ，则点 P在 x轴上方、直线 BD下方，如图 3，此时，PQ＜QR，即 S△PQB＝2S△QRB不成立． ③若 t＜﹣1，则点 P在 x轴下方，如图 4， ∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣ t+ ﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣ t﹣ ∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR ∴PE＝2• t﹣ PF，即 2PE＝5PF ∴2（t2﹣ 解得：t1＝﹣ ）＝5（t2﹣2t﹣3），t2＝3（舍去） ∴P（﹣ ，﹣ ）综上所述，点 P坐标为（2，3）或（﹣ ，﹣ ）． 15 28．解：（1）①半径为 1的圆的宽距离为 1，故答案为 1． ②如图 1，正方形 ABCD的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P是⊙O上一点，连接 OP，PC，OC． 16 在 Rt△ODC中，OC＝ ∴OP+OC≥PC，＝＝∴PC≤1+ ∴这个“窗户形“的宽距为 1+ 故答案为 1+ （2）①如图 2﹣1中，点 C所在的区域是图中正方形 AEBF，面积为 2．，．．②如图 2﹣2中，当点 M在 y轴的右侧时，连接 AM，作 MT⊥x轴于 T． ∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8， ∴当 d＝5时．AM＝4， ∴AT＝＝2 ，此时 M（2 ﹣1，2），当 d＝8时．AM＝7， ∴AT＝＝2 ，此时 M（2 ﹣1≤x≤2 ﹣1，2）， ﹣1． ∴满足条件的点 M的横坐标的范围为 2 当点 M在 y轴的左侧时，满足条件的点 M的横坐标的范围为﹣2 +1≤x﹣2 +1． 17