江苏省宿迁市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年江苏省宿迁市中考数学试卷一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）2019的相反数是（　　） A． B．﹣2019 C．﹣ D．2019 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（ab2）3＝a3b6 3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．7 4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点 C 重合），边 AB 与 CE 交于点 F，DE∥BC，则∠BFC 等于（　　） A．105° B．100° C．75° D．60° 5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（　　） A．20π 6．（3分）不等式 x﹣1≤2的非负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 B．15π C．12π D．9π D．4个 7．（3分）如图，正六边形的边长为 2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的 6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　） 1A．6 ﹣π B．6 ﹣2π C．6 +π D．6 +2π 8．（3分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点 O 重合，顶点 B 落在 x 轴的正半轴上，对角线 AC、BD 交于点 M，点 D、M 恰好都在反比例函数 y＝（x＞ 0）的图象上，则的值为（　　） A． B． C．2 D．二、填空题，（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）实数 4的算术平方根为　 10．（3分）分解因式：a2﹣2a＝　　．　． 11．（ 3 分）宿迁近年来经济快速发展， 2018 年 GDP 约达到275000000000 元．将 275000000000用科学记数法表示为　． 212．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为 2.07米，方差分别是 S 甲 2、S 乙且 S 甲 2＞S 乙 2，则队员身高比较整齐的球队是　．，13．（3分）下面 3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为　． 14．（ 3 分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3 的倍数的概率是　． 15．（3分）直角三角形的两条直角边分别是 5和 12，则它的内切圆半径为　 16．（3分）关于 x 的分式方程＝1的解为正数，则 a 的取值范围是　　．　． +17．（3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB＝2，点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是　． 218．（3分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为　．三、解答题（本大题共 10题，共 96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（）﹣1﹣（π﹣1）0+|1﹣ |．）÷ ，其中a＝﹣2． 20．（8分）先化简，再求值：（1+ 21．（8分）如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝﹣ 的图象相交于点A（﹣1， m）、B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数表达式；（2）求△AOB 的面积． 22．（8分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 BE＝DF＝．（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）求线段 EF 的长． 323．（10分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．男、女生所选类别人数统计表类别男生（人）女生（人）文学类史学类 12 m855n科学类 6哲学类 2根据以上信息解决下列问题（1）m＝　　，n＝　　；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　　°；（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率． 24．（10分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°．（1）如图①，点 O 在斜边 AB 上，以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，与边 AC 相切于点 F．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件： ①圆心在边 AB 上；②经过点 B；③与边 AC 相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 425．（10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 AB、CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm．（1）求坐垫 E 到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 80cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E’，求 EE′的长．（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 26．（10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过 60元），每天可售出 50件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1件．设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件．（1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 27．（12分）如图①，在钝角△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 α 度（0≤α≤180）．（1）如图②，当 0＜α＜180时，连接 AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线 CE、AD 交于点 G．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE 从图①位置绕点 B 逆时针方向旋转 180°，求点 G 的运动路程． 528．（12分）如图，抛物线 y＝x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点 P 的坐标；（3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M、N．请问 DM+DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 62019年江苏省宿迁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）2019的相反数是（　　） A． B．﹣2019 C．﹣ D．2019 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 B．（a2）3＝a5 D．（ab2）3＝a3b6 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别分析得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、（a2）3＝a6，故此选项错误； C、a6÷a3＝a3，故此选项错误； D、（ab2）3＝a3b6，正确；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．7 【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．【解答】解：这组数据重新排列为：2、3、4、4、7、7， ∴这组数据的中位数为＝4，故选：C． 7【点评】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点 C 重合），边 AB 与 CE 交于点 F，DE∥BC，则∠BFC 等于（　　） A．105° B．100° C．75° D．60° 【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含 30°角的直角三角形，故∠E＝45 °，∠B＝30°，由平行线的性质可知∠BCF＝∠E＝45°，由三角形内角和定理可求出∠ BFC 的度数．【解答】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°， ∵DE∥CB， ∴∠BCF＝∠E＝45°，在△CFB 中， ∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：A．【点评】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含 30°角的直角三角形． 5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（　　） A．20π B．15π C．12π D．9π 【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积．【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径＝，则底面周长＝6π，底面半径＝3，由图得，母线长＝5，侧面面积＝ ×6π×5＝15π．故选：B． 8【点评】本题考查了由三视图判断几何体，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 6．（3分）不等式 x﹣1≤2的非负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案．【解答】解：x﹣1≤2，解得：x≤3，则不等式 x﹣1≤2的非负整数解有：0，1，2，3共 4个．故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键． 7．（3分）如图，正六边形的边长为 2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的 6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　） A．6 ﹣π B．6 ﹣2π C．6 +π D．6 +2π 【分析】图中阴影部分面积等于 6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．【解答】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6× ×2×）＝6 ﹣π，故选：A．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点 O 重合，顶点 B 落在 x 轴的正半轴上，对角线 AC、BD 交于点 M，点 D、M 恰好都在反比例函数 y＝（x＞ 0）的图象上，则的值为（　　） 9A．【分析】设 D（m，），B（t，0），利用菱形的性质得到 M 点为 BD 的中点，则 M（），把 M（）代入 y＝得t＝3m，利用 OD＝AB＝t 得到 m2+（）2＝（3m） 2，解得 k＝2 m2，所以 M（2m， m），根据正切定义得到 tan∠MAB＝，从而得到 B． C．2 D．，，＝＝＝．【解答】解：设 D（m，），B（t，0）， ∵M 点为菱形对角线的交点， ∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM， ∴M（，），把 M（，）代入 y＝得•＝k， ∴t＝3m， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴OD＝AB＝t， ∴m2+（）2＝（3m）2，解得 k＝2 m2， ∴M（2m， m），在 Rt△ABM 中，tan∠MAB＝＝＝，∴＝．故选：A． 10 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y＝（k 为常数，k≠ 0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k．也考查了菱形的性质．二、填空题，（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）实数 4的算术平方根为　2　．【分析】依据算术平方根根的定义求解即可．【解答】解：∵22＝4， ∴4的算术平方根是 2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 10．（3分）分解因式：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　．【分析】观察原式，找到公因式 a，提出即可得出答案．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．【点评】提公因式法的直接应用，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解． 11．（ 3 分）宿迁近年来经济快速发展， 2018 年 GDP 约达到275000000000 元．将 275000000000用科学记数法表示为　2.75×1011　．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将 275000000000用科学记数法表示为：2.75×1011．故答案为：2.75×1011．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 212．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为 2.07米，方差分别是 S 甲 2、S 乙且 S 甲 2＞S 乙 2，则队员身高比较整齐的球队是　乙　．，11 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 2【解答】解：∵S 甲 2＞S 乙，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13．（3分）下面 3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为　10　．【分析】设“△”的质量为 x，“□”的质量为 y，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝10．【解答】解：设“△”的质量为 x，“□”的质量为 y，由题意得：解得：，，∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10；故答案为：10．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键． 14．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是 3的倍数的概率是　．【分析】由骰子的六个面上分别刻有 1到 6的点数，点数为 3的倍数的有 2个，利用概率公式直接求解即可求得答案．【解答】解：∵骰子的六个面上分别刻有 1到 6的点数，点数为 3的倍数的有 2个， ∴掷得朝上一面的点数为 3的倍数的概率为：故答案为：＝．．12 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（3分）直角三角形的两条直角边分别是 5和 12，则它的内切圆半径为　2　．【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）求解．【解答】解：直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为 2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）． 16．（3分）关于 x 的分式方程 3　． +＝1的解为正数，则 a 的取值范围是　a＜5且 a≠ 【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出 a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【解答】解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0，解得：a＜5，当 x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故 a＜5且 a≠3．故答案为：a＜5且 a≠3．【点评】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键． 17．（3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB＝2，点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是　＜BC＜　． 13 【分析】当点 C 在射线 AN 上运动，△ABC 的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的 BC 的值．【解答】解：如图，过点 B 作 BC1⊥AN，垂足为 C1，BC2⊥AM，交 AN 于点 C2 在 Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠ABC1＝30° ∴AC1＝ AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在 Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30° ∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2 当△ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C1C2上移动，此时＜BC＜2 故答案为：＜BC＜2 ，．．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． 18．（3分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为　．【分析】由题意分析可知，点 F 为主动点，G 为从动点，所以以点 E 为旋转中心构造全等关系，得到点 G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得 CG 最小值．【解答】解：由题意可知，点 F 是主动点，点 G 是从动点，点 F 在线段上运动，点 G 也 14 一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点 E 旋转 60°，使 EF 与 EG 重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH 为等边三角形，点 G 在垂直于 HE 的直线 HN 上作 CM⊥HN，则 CM 即为 CG 的最小值作 EP⊥CM，可知四边形 HEPM 为矩形，则 CM＝MP+CP＝HE+ EC＝1+ ＝故答案为．【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点 G 的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．三、解答题（本大题共 10题，共 96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（）﹣1﹣（π﹣1）0+|1﹣ |．【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+ ﹣1 ＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．（8分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝﹣2． 15 【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝ ×＝，当 a＝﹣2时，原式＝＝﹣ ．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键． 21．（8分）如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝﹣ 的图象相交于点A（﹣1， m）、B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数表达式；（2）求△AOB 的面积．【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定 A 点和 B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先求 OD 的长，根据面积和可得结论．【解答】解：（1）把 A（﹣1．m），B（n，﹣1）代入 y＝﹣ ，得m＝5，n＝5， ∴A（﹣1，5），B（5，﹣1），把 A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入 y＝kx+b 得，解得，∴一次函数解析式为 y＝﹣x+4；（2）x＝0时，y＝4， ∴OD＝4， ∴△AOB 的面积＝S△AOD+S△BOD＝ ×4×1+ ＝12． 16 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式． 22．（8分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 BE＝DF＝．（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）求线段 EF 的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到 CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得 CF＝AE＝4﹣ ＝，根据勾股定理得到 AF＝CE＝＝，于是得到结论；（2）过 F 作 FH⊥AB 于 H，得到四边形 AHFD 是矩形，根据矩形的性质得到 AH＝DF＝，FH＝AD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2， ∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°， ∵BE＝DF＝，∴CF＝AE＝4﹣ ∴AF＝CE＝＝，＝，∴AF＝CF＝CE＝AE＝ ∴四边形 AECF 是菱形；（2）解：过 F 作 FH⊥AB 于 H，，17 则四边形 AHFD 是矩形， ∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2， ∴EH＝ ∴EF＝ ﹣ ＝1，＝＝．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 23．（10分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．男、女生所选类别人数统计表类别男生（人）女生（人）文学类史学类科学类哲学类 12 m855n62根据以上信息解决下列问题（1）m＝　20　，n＝　2　；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　79.2　°；（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率． 18 【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出 m、n；（2）由 360°乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人）， m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；故答案为：20，2；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 360°× ＝79.2°；故答案为：79.2；（3）列表得：男 1 ﹣﹣ 男 2 男 2男 1 ﹣﹣ 女 1 女 2 男 1 男 2 女 1 女 2 女 1男 1 女 2男 1 女 1男 2 女 2男 2 男 1男 2 男 1女 1 男 2女 1 男 1女 2 男 2女 2 ﹣﹣ 女 2女 1 女 1女 2 ﹣﹣ 由表格可知，共有 12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有 2种可能， ∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、统计表的应用，要熟练掌握． 24．（10分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°．（1）如图①，点 O 在斜边 AB 上，以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，与边 AC 相切于点 F．求证：∠1＝∠2； 19 （2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件： ①圆心在边 AB 上；②经过点 B；③与边 AC 相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【分析】（1）连接 OF，可证得 OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB ＝∠2，可得出结论；（2）由（1）可知切点是∠ABC 的角平分线和 AC 的交点，圆心在 BF 的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．【解答】解：（1）证明：如图①，连接 OF， ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OE⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠OFB， ∵OF＝OB， ∴∠OFB＝∠2， ∴∠1＝∠2．（2）如图②所示⊙M 为所求．① 20 ①作∠ABC 平分线交 AC 于 F 点， ②作 BF 的垂直平分线交 AB 于 M，以 MB 为半径作圆，即⊙M 为所求．证明：∵M 在 BF 的垂直平分线上， ∴MF＝MB， ∴∠MBF＝∠MFB，又∵BF 平分∠ABC， ∴∠MBF＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠MFB， ∴MF∥BC， ∵∠C＝90°， ∴FM⊥AC， ∴⊙M 与边 AC 相切．【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键， 25．（10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 AB、CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm．（1）求坐垫 E 到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 80cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E’，求 EE′的长．（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 21 【分析】（1）作 EM⊥CD 于点 M，由 EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作 E′H⊥CD 于点 H，先根据 E′C＝求得 E′C 的长度，再根据 EE′＝CE ﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图 1，过点 E 作 EM⊥CD 于点 M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm， ∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座 E 到地面的高度为 67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图 2所示，过点 E′作 E′H⊥CD 于点 H，由题意知 E′H＝80×0.8＝64，则 E′C＝＝≈71，1， ∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进 22 行解答． 26．（10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过 60元），每天可售出 50件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1件．设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件．（1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意得到 w＝﹣ （x﹣30）2+2450，根据二次函数的性质得到当 x＜30时，w 随 x 的增大而增大，于是得到结论．【解答】解：（1）根据题意得，y＝﹣ x+50；（2）根据题意得，（40+x）（﹣ x+50）＝2250，解得：x1＝50，x2＝10， ∵每件利润不能超过 60元， ∴x＝10，答：当 x 为 10时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250元；（3）根据题意得，w＝（40+x）（﹣ x+50）＝﹣ x2+30x+2000＝﹣ （x﹣30）2+2450， ∵a＝﹣ ＜0， ∴当 x＜30时，w 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝20时，w 增大＝2400，答：当 x 为 20时 w 最大，最大值是 2400元．【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 27．（12分）如图①，在钝角△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 α 度（0≤α≤180）．（1）如图②，当 0＜α＜180时，连接 AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线 CE、AD 交于点 G．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化？如变 23 化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE 从图①位置绕点 B 逆时针方向旋转 180°，求点 G 的运动路程．【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出 DE∥AC，可得＝，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．（2）利用相似三角形的性质证明即可．（3）点 G 的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图②中，由图①，∵点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点， ∴DE∥AC， ∴∴＝＝，，∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBA＝∠EBC， ∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC 的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设 AB 交 CG 于点 O． 24 ∵△DBA∽△EBC， ∴∠DAB＝∠ECB， ∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB， ∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设 AB 的中点为 K，连接 DK，以 AC 为边向右作等边△ACO，连接 OG， OB．以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， ∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°， ∴∠AGC＝ ∠AOC， ∴点 G 在⊙O 上运动， 25 以 B 为圆心，BD 为半径作⊙B，当直线与⊙B 相切时，BD⊥AD， ∴∠ADB＝90°， ∵BK＝AK， ∴DK＝BK＝AK， ∵BD＝BK， ∴BD＝DK＝BK， ∴△BDK 是等边三角形， ∴∠DBK＝60°， ∴∠DAB＝30°， ∴∠DOG＝2∠DAB＝60°， ∴的长＝＝，观察图象可知，点 G 的运动路程是的长的两倍＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题． 28．（12分）如图，抛物线 y＝x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点 P 的坐标；（3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M、N．请问 DM+DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 26 【分析】（1）把点 A、C 坐标代入抛物线解析式即求得 b、c 的值．（2）点 P 可以在 x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点 P 在 x 轴下方，延长 AP 到 H，使 AH＝AB 构造等腰△ABH，作 BH 中点 G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO 的三角函数值，求 BG、BH 的长，进而求得 H 的坐标，求得直线 AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点 P 坐标．②若点 P 在 x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点 H 关于 x 轴的对称点 H’，求得直线 AH’的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点 P 坐标．（3）设点 Q 横坐标为 t，用 t 表示直线 AQ、BN 的解析式，把 x＝﹣1分别代入即求得点 M、N 的纵坐标，再求 DM、DN 的长，即得到 DM+DN 为定值．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过点 A（1，0），C（0，﹣3） ∴解得： ∴抛物线的函数表达式为 y＝x2+2x﹣3 （2）①若点 P 在 x 轴下方，如图 1，延长 AP 到 H，使 AH＝AB，过点 B 作 BI⊥x 轴，连接 BH，作 BH 中点 G，连接并延长 AG 交 BI 于点 F，过点 H 作 HI⊥BI 于点 I ∵当 x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1 ∴B（﹣3，0） ∵A（1，0），C（0，﹣3） ∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4 ∴Rt△AOC 中，sin∠ACO＝，cos∠ACO＝ ∵AB＝AH，G 为 BH 中点 ∴AG⊥BH，BG＝GH ∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG ∵∠PAB＝2∠ACO ∴∠BAG＝∠ACO ∴Rt△ABG 中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝ ∴BG＝ AB＝ 27 ∴BH＝2BG＝ ∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90° ∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO ∴Rt△BHI 中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝，cos∠HBI＝ ∴HI＝ ∴xH＝﹣3+ ＝﹣ 设直线 AH 解析式为 y＝kx+a BH＝，BI＝ BH＝，即 H（﹣ ，yH＝﹣ ，﹣ ）∴解得： ∴直线 AH：y＝ x﹣ ∵解得：（即点 A）， ∴P（﹣ ，﹣ ）②若点 P 在 x 轴上方，如图 2，在 AP 上截取 AH’＝AH，则 H’与 H 关于 x 轴对称 ∴H’（﹣ 设直线 AH’解析式为 y＝k’x+a’ ，）∴解得： ∴直线 AH’：y＝﹣ x+ ∵解得：（即点 A）， ∴P（﹣ ，）28 综上所述，点 P 的坐标为（﹣ ，﹣ （3）DM+DN 为定值）或（﹣ ，）． ∵抛物线 y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线 x＝﹣1 ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1 设 Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）设直线 AQ 解析式为 y＝dx+e ∴解得： ∴直线 AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3 当 x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6 ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6 设直线 BQ 解析式为 y＝mx+n ∴解得： ∴直线 BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3 当 x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2 ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2 ∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值． 29 【点评】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．第（2）题由于不确定点 P 位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算． 30