江苏省南京市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000亿美元．用科学记数法表示 13000是（　　） A．0.13×105 2．（2分）计算（a2b）3的结果是（　　） A．a2b3 B．a5b3 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102 C．a6b D．a6b3 3．（2分）面积为 4的正方形的边长是（　　） A．4的平方根 B．4的算术平方根 D．4的立方根 C．4开平方的结果 4．（2分）实数 a、b、c 满足 a＞b 且 ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（　　） A． B． C． D．最接近的是（　　） C．6 5．（2分）下列整数中，与 10﹣ A．4 B．5 D．7 6．（2分）如图，△A’B’C’是由△ABC 经过平移得到的，△A’B’C 还可以看作是△ABC 经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和 1次轴对称；③2次旋转；④2 次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）﹣2的相反数是　 8．（2分）计算的结果是　 9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab 的结果是　　；的倒数是　　． ﹣　．　． 110．（2分）已知 2+ 是关于 x 的方程 x2﹣4x+m＝0的一个根，则 m＝　　． 11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵　 ∴a∥b．　， 12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　cm． 13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区 500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数根据抽样调查结果，估计该区 12000名初中学生视力不低于 4.8的人数是　 14．（2分）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，点 C、D 在⊙O 上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　． 102 98 80 93 127 　． 15．（2分）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分∠ACB．若 AD＝2， BD＝3，则 AC 的长　． 216．（2 分）在△ABC 中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则 BC 的长的取值范围是　．三、解答题（本大题共 11小题，共 88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2） 18．（7分）解方程： ﹣1＝．19．（7分）如图，D 是△ABC 的边 AB 的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC 与 DE 相交于点 F．求证：△ ADF≌△CEF． 20．（8分）如图是某市连续 5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这 5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论． 21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选 3择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　． 22．（7分）如图，⊙O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 AB＝CD．求证：PA＝PC． 23．（8分）已知一次函数 y1＝kx+2（k 为常数，k≠0）和 y2＝x﹣3．（1）当 k＝﹣2时，若 y1＞y2，求 x 的取值范围．（2）当 x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出 k 的取值范围． 24．（8分）如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m．计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF．从与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27°、22°，从与 F 点相距 50m 的 D 处测得 A 的仰角为 45°．求隧道 EF 的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．） 25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3：2．扩充区域的扩建费用每平方米 30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100元．如果计划总费用 642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 26．（9分）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上．小明的作法 41．如图②，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DG∥AB 交 BC 于点 G． 2．以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E． 3．在 EB 上截取 EF＝ED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围． 27．（11分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣ y2|．【数学理解】（1）①已知点 A（﹣2，1），则 d（O，A）＝　 ②函数 y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B 是图象上一点，d（O，B）＝3，则点 B 的坐标是　．　．（2）函数 y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d （O，C）＝3．（3）函数 y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的点 D 的坐标．【问题解决】 5（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 62019年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000亿美元．用科学记数法表示 13000是（　　） A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：13000＝1.3×104 故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2．（2分）计算（a2b）3的结果是（　　） A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3 【分析】根据积的乘方法则解答即可．【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．故选：D．【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．积的乘方，等于每个因式乘方的积． 3．（2分）面积为 4的正方形的边长是（　　） A．4的平方根 B．4的算术平方根 D．4的立方根 C．4开平方的结果【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；【解答】解：面积为 4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；故选：B．【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键． 74．（2分）实数 a、b、c 满足 a＞b 且 ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（　　） A． C． B． D．【分析】根据不等式的性质，先判断 c 的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．【解答】解：因为 a＞b 且 ac＜bc，所以 c＜0．选项 A 符合 a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是 A．选项 B 不满足 a＞b，选项 C、D 不满足 c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是 B、C、 D．故选：A．【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断 c 的正负． 5．（2分）下列整数中，与 10﹣ A．4 B．5 最接近的是（　　） C．6 D．7 【分析】由于 9＜13＜16，可判断数为 6．与 4最接近，从而可判断与 10﹣ 最接近的整【解答】解：∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴与最接近的是 4， ∴与 10﹣ 故选：C．最接近的是 6．【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键． 6．（2分）如图，△A’B’C’是由△ABC 经过平移得到的，△A’B’C 还可以看作是△ABC 经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和 1次轴对称；③2次旋转；④2 次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 8【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△ABC 与△A’B’C’重合．【解答】解：先将△ABC 绕着 B’C 的中点旋转 180°，再将所得的三角形绕着 B’C’的中点旋转 180°，即可得到△A’B’C’；先将△ABC 沿着 B’C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 B’C’的垂直平分线翻折，即可得到△A’B’C’；故选：D．【点评】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）﹣2的相反数是　2　；的倒数是　2　．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：﹣2的相反数是 2；的倒数是2，故答案为：2，2．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 8．（2分）计算 ﹣的结果是　0　．【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝2 ﹣2 ＝0．故答案为 0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab 的结果是　（a+b）2　．【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：（a﹣b）2+4ab ＝a2﹣2ab+b2+4ab 9＝a2+2ab+9b2 ＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2．【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 10．（2分）已知 2+ 是关于 x 的方程 x2﹣4x+m＝0的一个根，则 m＝　1　．【分析】把 x＝2+ 代入方程得到关于 m 的方程，然后解关于 m 的方程即可．【解答】解：把 x＝2+ 代入方程得（2+ ）2﹣4（2+ ）+m＝0，解得 m＝1．故答案为 1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵　∠ 1+∠3＝180°　，∴a∥b．【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．故答案为：∠1+∠3＝180°．【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　5　cm．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案． 10 【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键． 13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区 500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区 12000名初中学生视力不低于 4.8的人数是　7200　．【分析】用总人数乘以样本中视力不低于 4.8的人数占被调查人数的比例即可得．【解答】解：估计该区 12000名初中学生视力不低于 4.8的人数是 12000× ＝7200（人），故答案为：7200．【点评】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 14．（2分）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，点 C、D 在⊙O 上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　219°　．【分析】连接 AB，根据切线的性质得到 PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA ＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．【解答】解：连接 AB， 11 ∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB， ∵∠P＝102°， ∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°， ∵∠DAB+∠C＝180°， ∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（2分）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分∠ACB．若 AD＝2， BD＝3，则 AC 的长　　．【分析】作 AM⊥BC 于 E，由角平分线的性质得出＝＝，设 AC＝2x，则 BC＝3x，，NE＝由线段垂直平分线得出 MN⊥BC，BN＝CN＝ x，得出 MN∥AE，得出＝＝x，BE＝BN+EN＝ x，CE＝CN﹣EN＝ x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：作 AM⊥BC 于 E，如图所示： ∵CD 平分∠ACB， ∴＝＝，设 AC＝2x，则 BC＝3x， 12 ∵MN 是 BC 的垂直平分线， ∴MN⊥BC，BN＝CN＝ x， ∴MN∥AE， ∴＝＝， ∴NE＝x， ∴BE＝BN+EN＝ x，CE＝CN﹣EN＝ x，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，即 52﹣（ x）2＝（2x）2﹣（ x）2，解得：x＝，∴AC＝2x＝；故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 16．（2分）在△ABC 中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则 BC 的长的取值范围是　4＜BC≤ 　．【分析】作△ABC 的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC 是直径最长＝；当∠BAC＝∠ ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．【解答】解：作△ABC 的外接圆，如图所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC 是直径最长， ∵∠C＝60°， 13 ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC，AB＝ AC＝4， ∴AC＝ ∴BC＝，；当∠BAC＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC 长的取值范围是 4＜BC≤ 故答案为：4＜BC≤ ；．【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ ABC 的外接圆进行推理计算是解题的关键．三、解答题（本大题共 11小题，共 88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：（x+y）（x2﹣xy+y2），＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，＝x3+y3．故答案为：x3+y3．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 18．（7分）解方程： ﹣1＝．【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验． 14 【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得， x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，即 x2+x﹣x2+1＝3，解得 x＝2 检验：当 x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0， ∴x＝2是原方程的解，故原分式方程的解是 x＝2．【点评】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 19．（7分）如图，D 是△ABC 的边 AB 的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC 与 DE 相交于点 F．求证：△ ADF≌△CEF．【分析】依据四边形 DBCE 是平行四边形，即可得出 BD＝CE，依据 CE∥AD，即可得出∠A ＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB， ∴四边形 DBCE 是平行四边形， ∴BD＝CE， ∵D 是 AB 的中点， ∴AD＝BD， ∴AD＝EC， ∵CE∥AD， ∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E， ∴△ADF≌△CEF（ASA）． 15 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． 20．（8分）如图是某市连续 5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这 5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用 s2来表示，计算公式是： s2＝ [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）．【解答】解：（1）这 5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是＝＝24，＝＝18，方差分别是＝＝0.8，＝8.8，＝16 ∴＜，∴该市这 5天的日最低气温波动大；（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　．【分析】（1）由树状图得出共有 12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6个，由概率公式即可得出结果；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有 2个，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有 12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6个， ∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有 2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三）， ∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是故答案为：；．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的 17 概率． 22．（7分）如图，⊙O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 AB＝CD．求证：PA＝PC．【分析】连接 AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【解答】证明：连接 AC， ∵AB＝CD， ∴＝，∴ + ＝ + ，即＝，∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 23．（8分）已知一次函数 y1＝kx+2（k 为常数，k≠0）和 y2＝x﹣3．（1）当 k＝﹣2时，若 y1＞y2，求 x 的取值范围．（2）当 x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出 k 的取值范围．【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；（2）先计算出 x＝1对应的 y2的函数值，然后根据 x＜1时，一次函数 y1＝kx+2（k 为常数，k≠0）的图象在直线 y2＝x﹣3的上方确定 k 的范围．【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2， 18 根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，解得 x＜；（2）当 x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入 y1＝kx+2得 k+2＝﹣2，解得 k＝﹣ 4，当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；当 0＜k≤1时，y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b 的值大于（或小于）0的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y＝kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 24．（8分）如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m．计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF．从与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27°、22°，从与 F 点相距 50m 的 D 处测得 A 的仰角为 45°．求隧道 EF 的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）【分析】延长 AB 交 CD 于 H，利用正切的定义用 CH 表示出 AH、BH，根据题意列式求出 CH，计算即可．【解答】解：延长 AB 交 CD 于 H，则 AH⊥CD，在 Rt△AHD 中，∠D＝45°， ∴AH＝DH，在 Rt△AHC 中，tan∠ACH＝，，∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，在 Rt△BHC 中，tan∠BCH＝ ∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300， 19 ∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120， ∴AH＝AB+BH＝153， ∴DH＝AH＝153， ∴HF＝DH﹣DF＝103， ∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道 EF 的长度为 323m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3：2．扩充区域的扩建费用每平方米 30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100元．如果计划总费用 642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【分析】设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．【解答】解：设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000 解得 x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以 3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m．【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键． 26．（9分）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形 DEFG，使点 D 在 20 边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上．小明的作法 1．如图②，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DG∥AB 交 BC 于点 G． 2．以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E． 3．在 EB 上截取 EF＝ED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围．【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．（2）求出几种特殊位置的 CD 的值判断即可．【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE， ∴DG＝EF， ∵DG∥EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形， ∵DG＝DE， ∴四边形 DEFG 是菱形．（2）如图 1中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x．在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5，则 CD＝ x，AD＝ x， 21 ∵AD+CD＝AC， ∴ + x＝3， ∴x＝ ∴CD＝ x＝观察图象可知：0≤CD＜，，时，菱形的个数为 0．如图 2中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m． ∵DG∥AB， ∴∴＝，，＝解得 m＝，∴CD＝3﹣ ＝，如图 3中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n． ∵DG∥AB， ∴＝，22 ∴＝， ∴n＝，∴CG＝4﹣ ∴CD＝＝，＝，观察图象可知：当 0≤CD＜时，菱形的个数为 1，当或＜CD≤ 时，菱形的个数为0，当 CD＝或＜CD≤ ＜CD≤ 时，菱形的个数为2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度． 27．（11分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣ y2|．【数学理解】（1）①已知点 A（﹣2，1），则 d（O，A）＝　3　． ②函数 y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B 是图象上一点，d（O，B）＝3，则点 B 的坐标是　（1，2）　．（2）函数 y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d （O，C）＝3．（3）函数 y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的点 D 的坐标． 23 【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【分析】（1）①根据定义可求出 d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离： d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点 B 是函数 y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点 B 的坐标；（2）由条件知 x＞0，根据题意得，整理得 x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）＝3．（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 y＝﹣x 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EH⊥MN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处，可由 d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设 B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴，解得：，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0， ∴∴，，，24 ∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程 x2﹣3x+4＝0没有实数根， ∴该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）＝3．（3）设 D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵，又 x≥0， ∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当 x＝2时，d（O，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1）．（4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 y＝﹣x 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EH⊥MN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处．理由：设过点 E 的直线 l1与 x 轴相交于点 F．在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2∥l1，l2与 x 轴相交于点 G． ∵∠EFH＝45°， ∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，同理 d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF， 25 ∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．【点评】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质等． 26