广东省广州市2019年中考数学真题试题（含解析）

广东省广州市 2019年中考数学试卷一、选择题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 1．（3分）|﹣6|＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣6 的绝对值是|﹣6|＝6．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0． 2．（3分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群” 的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　） A．5 B．5.2 C．6 D．6.4 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：5出现的次数最多，是 5次，所以这组数据的众数为 5 故选：A．【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念． 3．（3分）如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC 为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得 AC 的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝，1解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣3﹣2＝﹣1 C．x3•x5＝x15 B．3×（﹣ ）2＝﹣ D． • ＝a 【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误； B、3×（﹣ ）2＝，故此选项错误； C、x3•x5＝x8，故此选项错误； D、 • ＝a ，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（3分）平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条数为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 2， ∴d＞r， ∴点 P 与⊙O 的位置关系是：P 在⊙O 外， ∵过圆外一点可以作圆的 2条切线，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有 1 个公共点的直线，理解定义是关键． 6．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8个，甲做 120个所用的时间与乙做 150个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（　　） 2A． C．＝＝B． D．＝＝【分析】设甲每小时做 x 个零件，根据甲做 120个所用的时间与乙做 150个所用的时间相等得出方程解答即可．【解答】解：设甲每小时做 x 个零件，可得：故选：D．，【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（3分）如图，▱ABCD 中，AB＝2，AD＝4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（　　） A．EH＝HG B．四边形 EFGH 是平行四边形 C．AC⊥BD D．△ABO 的面积是△EFO 的面积的 2倍【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：∵E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB＝2，AD＝ 4， ∴EH＝ AD＝2，HG＝ AB＝1， ∴EH≠HG，故选项 A 错误； ∵E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点， ∴EH＝，∴四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正确；由题目中的条件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误； ∵点 E、F 分别为 OA 和 OB 的中点， 3∴EF＝，EF∥AB， ∴△OEF∽△OAB， ∴，即△ABO 的面积是△EFO 的面积的 4倍，故选项 D 错误，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（3分）若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝的图象上，则y1， y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝的图象上， ∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3， ∴y1＜y3＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值是解题的关键． 9．（3分）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE ＝3，AF＝5，则 AC 的长为（　　） A．4 B．4 C．10 D．8 【分析】连接 AE，由线段垂直平分线的性质得出 OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE 得 4出 AF＝CE＝5，得出 AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出 AB＝＝4，再由勾股定理求出 AC 即可．【解答】解：连接 AE，如图： ∵EF 是 AC 的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF 和△COE 中，，∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5， ∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， ∴AB＝＝＝＝4，＝4 ∴AC＝；故选：A．【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 10．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0 有两个实数根 x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则 k 的值（　　） A．0或 2 B．﹣2 或 2 C．﹣2 D．2 【分析】由根与系数的关系可得出 x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2） +2x1x2＝﹣3 可求出 k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0 可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围，进而可确定 k 的值，此题得解．【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为 x1，x2， 5∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2． ∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3， ∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2． ∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根， ∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2 ﹣1或 k≤﹣2 ﹣1， ∴k＝2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出 k 的值是解题的关键．二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 11．（3分）如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点 P 到直线 l 的距离是　5　cm．【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm， ∴P 到 l 的距离是垂线段 PB 的长度 5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度． 12．（3分）代数式有意义时，x 应满足的条件是　x＞8　．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出 x 的取值范围．【解答】解：代数式有意义时， x﹣8＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞8． 6【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 13．（3分）分解因式：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　．【分析】首先提取公因式 y，再利用完全平方进行二次分解即可．【解答】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，故答案为：y（x+1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．（3分）一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 α（0°＜α＜90°），使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 α 的度数为　15°或 45°　．【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．【解答】解：分情况讨论： ①当 DE⊥BC 时，∠BAD＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°； ②当 AD⊥BC 时，∠BAD＝45°，即 α＝45°．故答案为：15°或 45° 【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键． 15．（3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　　．（结果保留 π）【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题． 7【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为 2的等腰直角三角形， ∴斜边长为 2 ，则底面圆的周长为 2 π， ∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为 2 π，故答案为 2 π．【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（3分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合），∠DAM ＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ①∠ECF＝45°；②△AEG 的周长为（1+ a2．）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF 的面积的最大值其中正确的结论是　①④　．（填写所有正确结论的序号）【分析】①正确．如图 1中，在 BC 上截取 BH＝BE，连接 EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题． ②③错误．如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明 △GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题． ④正确．设 BE＝x，则 AE＝a﹣x，AF＝ x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【解答】解：如图 1中，在 BC 上截取 BH＝BE，连接 EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH＝ BE，∵AF＝ BE， ∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， 8∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图 2中，延长 AD 到 H，使得 DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误， ∴△AEG 的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设 BE＝x，则 AE＝a﹣x，AF＝ x， ∴S△AEF＝ •（a﹣x）×x＝﹣ x2+ ax＝﹣ （x2﹣ax+ a2﹣ a2）＝﹣ （x﹣ a）2+ a2， ∵﹣ ＜0， ∴x＝ a 时，△AEF 的面积的最大值为 a2．故④正确，故答案为①④． 9【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共 9小题，满分 102分） 17．（9分）解方程组：【分析】运用加减消元解答即可．【解答】解：．，②﹣①得，4y＝2，解得 y＝2，把 y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得 x＝3，故原方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 18．（ 9 分）如图， D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点E ， DE ＝ FE ， FC∥AB ，求证： △ADE≌CFE． 10 【分析】利用 AAS 证明：△ADE≌CFE．【解答】证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE 与△CFE 中： ∵，∴△ADE≌△CFE（AAS）．【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS． 19．（10分）已知 P＝（1）化简 P； ﹣（a≠±b）（2）若点（a，b）在一次函数 y＝x﹣ 的图象上，求P 的值．【分析】（1）P＝ ﹣＝＝＝；（2）将点（a，b）代入 y＝x﹣ 得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解；【解答】解：（1）P＝ ﹣＝＝＝；（2）∵点（a，b）在一次函数 y＝x﹣ 的图象上， ∴b＝a﹣ ∴a﹣b＝，，∴P＝；【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键． 20．（10分）某中学抽取了 40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 11 频数分布表组别 A 组时间/小时 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 4≤t＜5 t≥5 频数/人数 2mB 组 C 组 10 12 7D 组 E 组 F 组 4请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中 m 的值；（2）求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知 F 组的学生中，只有 1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从 F 组中随机选取 2名学生，恰好都是女生．【分析】（1）用抽取的 40人减去其他 5个组的人数即可得出 m 的值；（2）分别用 360°乘以 B 组，C 组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；（3）画出树状图，即可得出结果．【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；（2）B 组的圆心角＝360°× ＝45°， C 组的圆心角＝360°或＝90°．补全扇形统计图如图 1所示：（3）画树状图如图 2： 12 共有 12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有 6个， ∴恰好都是女生的概率为＝．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练掌握． 21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5万座，计划到 2020年底，全省 5G 基站数是目前的 4倍，到 2022年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34万座．（1）计划到 2020年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求 2020年底到 2022年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率．【分析】（1）2020年全省 5G 基站的数量＝目前广东 5G 基站的数量×4，即可求出结论；（2）设 2020年底到 2022年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，根据 2020年底及 2022年底全省 5G 基站数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到 2020年底，全省 5G 基站的数量是 6万座．（2）设 2020年底到 2022年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到 2022年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解 13 题的关键． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P（﹣1， 2），AB⊥x 轴于点 E，正比例函数 y＝mx 的图象与反比例函数 y＝的图象相交于 A，P 两点．（1）求 m，n 的值与点 A 的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求 sin∠CDB 的值．【分析】（1）根据点 P 的坐标，利用待定系数法可求出 m，n 的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点 A 的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点 P 的坐标找出点 A 的坐标亦可）；（2）由菱形的性质可得出 AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合 AB⊥x 轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；（3）由点 A 的坐标可得出 AE，OE，AO 的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出 sin∠CDB 的值．【解答】（1）解：将点 P（﹣1，2）代入 y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2， ∴正比例函数解析式为 y＝﹣2x；将点 P（﹣1，2）代入 y＝，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n＝1， ∴反比例函数解析式为 y＝﹣ ．14 联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，，∴点 A 的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE． ∵AB⊥x 轴， ∴∠AEO＝∠CPD＝90°， ∴△CPD∽△AEO．（3）解：∵点 A 的坐标为（1，﹣2）， ∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．∵△CPD∽△AEO， ∴∠CDP＝∠AOE， ∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出 m，n 的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE． 23．（12分）如图，⊙O 的直径 AB＝10，弦 AC＝8，连接 BC． 15 （1）尺规作图：作弦 CD，使 CD＝BC（点 D 不与 B 重合），连接 AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长．【分析】（1）以 C 为圆心，CB 为半径画弧，交⊙O 于 D，线段 CD 即为所求．（2）连接 BD，OC 交于点 E，设 OE＝x，构建方程求出 x 即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段 CD 即为所求．（2）连接 BD，OC 交于点 E，设 OE＝x． ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝6， ∵BC＝CD， ∴＝，∴OC⊥BD 于 E． ∴BE＝DE， ∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得 x＝，∵BE＝DE，BO＝OA， 16 ∴AD＝2OE＝，∴四边形 ABCD 的周长＝6+6+10+ ＝．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 24．（14分）如图，等边△ABC 中，AB＝6，点 D 在 BC 上，BD＝4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合），△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△FDE．（1）当点 F 在 AC 上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD 的面积为 S1，△ABF 的面积为 S2，记 S＝S1﹣S2，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 B，F，E 三点共线时．求 AE 的长．【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证 DF∥AB；（2）过点 D 作 DM⊥AB 交 AB 于点 M，由题意可得点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上，由△ACD 的面积为 S1的值是定值，则当点 F 在 DM 上时，S△ABF 最小时，S 最大；（3）过点 D 作 DG⊥EF 于点 G，过点 E 作 EH⊥CD 于点 H，由勾股定理可求 BG 的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求 EC 的长，即可求 AE 的长．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° 由折叠可知：DF＝DC，且点 F 在 AC 上 ∴∠DFC＝∠C＝60° ∴∠DFC＝∠A ∴DF∥AB；（2）存在， 17 过点 D 作 DM⊥AB 交 AB 于点 M， ∵AB＝BC＝6，BD＝4， ∴CD＝2 ∴DF＝2， ∴点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上， ∴当点 F 在 DM 上时，S△ABF 最小， ∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60° ∴MD＝2 ∴S△ABF 的最小值＝ ×6×（2 ﹣2）＝6 ﹣6 ∴S 最大值＝ ×2×3 ﹣（6 ﹣6）＝﹣3 +6 （3）如图，过点 D 作 DG⊥EF 于点 G，过点 E 作 EH⊥CD 于点 H， ∵△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△FDE ∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60° ∵GD⊥EF，∠EFD＝60° ∴FG＝1，DG＝ FG＝ ∵BD2＝BG2+DG2， ∴16＝3+（BF+1）2， ∴BF＝ ∴BG＝ ﹣1 ∵EH⊥BC，∠C＝60° 18 ∴CH＝，EH＝ HC＝ EC ∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90° ∴△BGD∽△BHE ∴∴∴EC＝ ﹣1 ∴AE＝AC﹣EC＝7﹣ 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键． 25．（14分）已知抛物线 G：y＝mx2﹣2mx﹣3 有最低点．（1）求二次函数 y＝mx2﹣2mx﹣3 的最小值（用含 m 的式子表示）；（2）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1．经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图象交于点 P，结合图象，求点 P 的纵坐标的取值范围．【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写出抛物线 G 的顶点式，根据平移规律即得到抛物线 G1的顶点式，进而得到抛物线 G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即 x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2 即消去 m，得到 y 与 x 的函数关系式．再由 m＞0，即求得 x 的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点 B（2，﹣4），函数 H 图象恒过点 A（2，﹣3），由图象可知两图象交点 P 应在点 A、B 之间，即点 P 纵坐标在 A、B 纵坐标之间．法二：联立函数 H 解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用 x 表示 m 的式子．由 x 与 m 的范围讨论 x 的具体范围，即求得函数 H 对应的交点 P 纵坐标的范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点 ∴二次函数 y＝mx2﹣2mx﹣3 的最小值为﹣m﹣3 19 （2）∵抛物线 G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 ∴平移后的抛物线 G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3 ∴抛物线 G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3） ∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3 ∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2 即 x+y＝﹣2，变形得 y＝﹣x﹣2 ∵m＞0，m＝x﹣1 ∴x﹣1＞0 ∴x＞1 ∴y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数 H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线 x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4 ∴函数 H 的图象恒过点 B（2，﹣4） ∵抛物线 G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3 ∴抛物线 G 恒过点 A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数 H 的图象有交点 P，则 yB＜yP＜yA ∴点 P 纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3 法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x ∵x＞1，且 x＝2时，方程为 0＝﹣1 不成立 ∴x≠2，即 x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0 ∴m＝＞0 ∵x＞1 ∴1﹣x＜0 ∴x（x﹣2）＜0 20 ∴x﹣2＜0 ∴x＜2即 1＜x＜2 ∵yP＝﹣x﹣2 ∴﹣4＜yP＜﹣3 【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用． 21