山东省淄博市2019年中考数学真题试题（A卷，含解析）

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 4分，共 48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）比﹣2小 1的数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映 17日，票房收入突破 40亿元人民币，将 40亿用科学记数法表示为（　　） A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010 3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　） A． C． B． D． 4．（4分）如图，小明从 A 处沿北偏东 40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20方向行走至点 C 处，则∠ABC 等于（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 5．（4分）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　） A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（　　） A．0.6× +124 B．0.6× +124 1C．0.6×5÷6+412 D．0.6× +412 7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2和 8，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C．2 D．6 8．（4分）如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为 BC 边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC 的面积为 a，则△ABD 的面积为（　　） A．2a B． aC．3a D． a 9．（4分）若 x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以 x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分．请直接填写最后结果. 10．（4分）单项式 a3b2的次数是　 11．（4分）分解因式：x3+5×2+6x．　． 12．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC 绕某点顺时针旋转角 α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1 是对应点，则 α＝　　度． 13．（4分）某校欲从初三级部 3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的 “中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　． 214．（4分）如图，在以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中，将 B 角折起，使点 B 落在 AC 边上的点 D（不与点 A，C 重合）处，折痕是 EF．如图 1，当 CD＝ AC 时，tanα1＝如图 2，当 CD＝ AC 时，tanα2＝；；如图 3，当 CD＝ AC 时，tanα3＝；…… 依此类推，当 CD＝ AC（n 为正整数）时，tanαn＝　　．三、解答题：本大题共 7个小题，共 52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（5分）解不等式 16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠ E＝∠C． 17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年 5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解 10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了 100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：组别年龄段频数（人数）第 1组 10≤x＜20 53第 2组第 3组第 4组第 5组 20≤x＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 a35 20 15 （1）请直接写出 a＝　　，m＝　　，第 3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度．（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）假设该市现有 10～60岁的市民 300万人，问 40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 A，B 两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060万元，总利润为 1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表： A25B47成本（单位：万元/件）售价（单位：万元/件）问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？ 19．（8分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径的⊙O 经过点 D．（1）求证：①BC 是⊙O 的切线； ②CD2＝CE•CA；（2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE＝3，试求阴影部分的面积． 420．（9分）如图 1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB，BC 在同一条直线上，且 AB＝2BC，取 EF 的中点 M，连接 MD，MG，MB．（1）试证明 DM⊥MG，并求的值．（2）如图 2，将图 1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 α 的式子表示）；若无变化，说明理由． 21．（9分）如图，顶点为 M 的抛物线 y＝ax2+bx+3与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在 y 轴上是否存在一点 P，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA＝OA，过 D 作 DG⊥x 轴于点 G，设△ ADG 的内心为 I，试求 CI 的最小值． 562019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 4分，共 48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【解答】解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3．故选：A． 2．【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4×109，故选：B． 3．【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意； B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意； C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意； D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．故选：D． 4．【解答】解：如图： ∵小明从 A 处沿北偏东 40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20方向行走至点 C 处， ∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°， ∵向北方向线是平行的，即 AD∥BE， ∴∠ABE＝∠DAB＝40°， ∵∠EBF＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C． 75．【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），故选：D． 6．【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 0.6× +124，故选：B． 7．【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为＝2 ，小正方形的边长为，∴图中阴影部分的面积为： ×（2 故选：B． ﹣）＝2， 8．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴＝（）2，即＝，解得，△BCA 的面积为 4a， ∴△ABD 的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C． 9．【解答】解：∵x12+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而 x1+x2＝3， ∴9﹣2x1x2＝5， ∴x1x2＝2， ∴以 x1，x2为根的一元二次方程为 x2﹣3x+2＝0．故选：A．二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分．请直接填写最后结果. 10．【解答】解：单项式 a3b2的次数是 3+2＝5．故答案为 5． 11．【解答】解：x3+5×2+6x，＝x（x2+5x+6），＝x（x+2）（x+3）． 12．【解答】解：如图， 8连接 CC1，AA1，作 CC1，AA1的垂直平分线交于点 E，连接 AE，A1E ∵CC1，AA1的垂直平分线交于点 E， ∴点 E 是旋转中心， ∵∠AEA1＝90° ∴旋转角 α＝90° 故答案为：90 13．【解答】解：画树状图为：共 20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为 12， ∴恰好选中一男一女的概率是故答案为：＝，．14．【解答】解：观察可知，正切值的分子是 3，5，7，9，…，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…， 2n+1，，中的中间一个．．∴tanαn＝＝故答案为：．三、解答题：本大题共 7个小题，共 52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解答】解：将不等式两边同乘以 2得， x﹣5+2＞2x﹣6 解得 x＜3． 916．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC ∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE ∴∠CAB＝∠EAD，且 AB＝AD，AC＝AE ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠C＝∠E 17．【解答】解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25， m%＝（20÷100）×100%＝20%，第 3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°× ＝126°，故答案为：25，20，126；（2）由（1）值，20≤x＜30有 25人，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）300× ＝60（万人），答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有 60万人． 18．【解答】解：设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意得：解得：，；答：A，B 两种产品的销售件数分别为 160件、180件． 19．【解答】解：（1）①连接 OD， 10 ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB＝∠DAO， ∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴DO∥AB，而∠B＝90°， ∴∠ODB＝90°， ∴BC 是⊙O 的切线； ②连接 DE， ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠CDE＝∠DAC， ∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD， ∴CD2＝CE•CA；（2）连接 DE、OE，设圆的半径为 R， ∵点 F 是劣弧 AD 的中点，∴是 OF 是 DA 中垂线， ∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD， ∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF， ∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF＝OA＝OD， ∴△OFD、△OFA 是等边三角形， ∴∠C＝30°， ∴OD＝ OC＝（OE+EC），而 OE＝OD， ∴CE＝OE＝R＝3， S 阴影＝S 扇形 DFO ＝×π×32＝．20．【解答】（1）证明：如图 1中，延长 DM 交 FG 的延长线于 H． 11 ∵四边形 ABCD，四边形 BCFG 都是正方形， ∴DE∥AC∥GF， ∴∠EDM＝∠FHM， ∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM， ∴△EDM≌△FHM（AAS）， ∴DE＝FH，DM＝MH， ∵DE＝2FG，BG＝DG， ∴HG＝DG， ∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM， ∴GM⊥DM，DM＝MG，连接 EB，BF，设 BC＝a，则 AB＝2a，BE＝2 a，BF＝ a， ∵∠EBD＝∠DBF＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∴EF＝＝a， ∵EM＝MF， ∴BM＝ EF＝ a， ∵HM＝DM，GH＝FG， ∴MG＝ DF＝ a， ∴＝＝．（2）解：（1）中的值有变化． 12 理由：如图 2中，连接 BE，AD 交于点 O，连接 OG，CG，BF，CG 交 BF 于 O′． ∵DO＝OA，DG＝GB， ∴GO∥AB，OG＝ AB， ∵GF∥AC， ∴O，G，F 共线， ∵FG＝ AB， ∴OF＝AB＝DF， ∵DF∥AC，AC∥OF， ∴DE∥OF， ∴OD 与 EF 互相平分， ∵EM＝MF， ∴点 M 在直线 AD 上， ∵GD＝GB＝GO＝GF， ∴四边形 OBFD 是矩形， ∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°， ∵OM＝MD，OG＝GF， ∴MG＝ DF，设 BC＝m，则 AB＝2m，易知 BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα， ∵BM＝ EF＝＝，GM＝ DF＝m•sinα， ∴＝＝．21．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3过点 A（3，0），B（﹣1，0）解得： ∴13 ∴这条抛物线对应的函数表达式为 y＝﹣x2+2x+3 （2）在 y 轴上存在点 P，使得△PAM 为直角三角形． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点 M（1，4） ∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20 设点 P 坐标为（0，p） ∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2 ①若∠PAM＝90°，则 AM2+AP2＝MP2 ∴20+9+p2＝17﹣8p+p2 解得：p＝﹣ ∴P（0，﹣ ）②若∠APM＝90°，则 AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3） ③若∠AMP＝90°，则 AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2 解得：p＝ ∴P（0，）综上所述，点 P 坐标为（0，﹣ ）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM 为直角三角形．（3）如图，过点 I 作 IE⊥x 轴于点 E，IF⊥AD 于点 F，IH⊥DG 于点 H ∵DG⊥x 轴于点 G ∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形 IEGH 是矩形 ∵点 I 为△ADG 的内心 14 ∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形 IEGH 是正方形设点 I 坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3 ∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG2+AG2＝DA2 ∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32 ∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0 配方得：（m﹣ ）2+（n+ ）2＝ ∴点 I（m，n）与定点 Q（，﹣ ）的距离为 ∴点 I 在以点 Q（，﹣ ）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动 ∴当点 I 在线段 CQ 上时，CI 最小 ∵CQ＝ ∴CI＝CQ﹣IQ＝ ∴CI 最小值为．15 16