山东省济宁市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年山东省济宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．（3分）下列四个实数中，最小的是（　　） A．﹣ B．﹣5 C．1 D．4 2．（3分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．75° 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（　　） A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查某班学生的身高情况 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．调查济宁市居民日平均用水量 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝﹣3 B．＝C．＝±6 D．﹣ ＝﹣0.6 6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络．5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10倍，在峰值速率下传输 500兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45秒，求这两种网络的峰值速率．设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是（　　） A． ﹣＝45 B． ﹣＝45 1C． ﹣＝45 D． ﹣＝45 7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）将抛物线 y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 9．（3分）如图，点 A 的坐标是（﹣2，0），点 B 的坐标是（0，6），C 为 OB 的中点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′B′C′．若反比例函数 y＝的图象恰好经过A′B 的中点 D，则 k 的值是（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 10．（3分）已知有理数 a≠1，我们把称为 a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣ 21的差倒数是的差倒数……依此类推，那么 a1+a2+…+a100的值是（　　） A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 ＝．如果a1＝﹣2，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3 D．﹣5.5 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 11．（3分）已知 x＝1是方程 x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是　　． 12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　　． 13．（3分）已知点 P（x，y）位于第四象限，并且 x≤y+4（x，y 为整数），写出一个符合上述条件的点 P 的坐标　． 14．（3分）如图，O 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是　． 15．（3分）如图，抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式 ax2+mx+c＞n 的解集是　．三、解答题：本大题共 7小题，共 55分， 16．（6分）计算：6sin60°﹣ +（）0+| ﹣2018| 17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调 3查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间 t（小时） 0≤t＜0.5 人数占女生人数百分比 4m56220% 15% 25% n0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 10% 根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝　　，n＝　　；（2）此次抽样调查中，共抽取了　　名学生，学生阅读时间的中位数在　　时间段；（3）从阅读时间在 2～2.5小时的 5名学生中随机抽取 2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？ 18．（7分）如图，点 M 和点 N 在∠AOB 内部．（1）请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由． 419．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小王的行驶时间 x（h）之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围． 20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是的中点，E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC 与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若 DH＝9，tanC＝，求直径AB 的长． 21．（8分）阅读下面的材料：如果函数 y＝f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2， 5（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数；（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数．例题：证明函数 f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设 0＜x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝ ﹣＝＝．∵0＜x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0． ∴f（x1）＞f（x2）． ∴函数 f（x）═ （x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数 f（x）＝ +x（x＜0）， f（﹣1）＝ +（﹣1）＝0，f（﹣2）＝　，f（﹣4）＝　 +（﹣2）＝﹣ （1）计算：f（﹣3）＝　　；　函数（填“增”或“减”）；（2）猜想：函数 f（x）＝ +x（x＜0）是　（3）请仿照例题证明你的猜想． 22．（11分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G．（1）求线段 CE 的长；（2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设 AM＝x，DN＝y． ①写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； ②是否存在这样的点 M，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． 672019年山东省济宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．（3分）下列四个实数中，最小的是（　　） A．﹣ B．﹣5 C．1 D．4 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得 ﹣5＜﹣ ＜1＜4，所以四个实数中，最小的数是﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2．（3分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．75° 【分析】首先证明 a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b， ∴∠4＝∠5， ∵∠5＝180°﹣∠3＝55°， ∴∠4＝55°，故选：C． 8【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图重合． 4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（　　） A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查某班学生的身高情况 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．调查济宁市居民日平均用水量【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故 A 选项错误； B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故 B 选项正确； C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故 C 选项错误； D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故 D 选项错误．故选：B． 9【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．【解答】解：A、＝3，故此选项错误；，故此选项错误；＝﹣3 B．＝C．＝±6 D．﹣ ＝﹣0.6 B、＝﹣ C、＝6，故此选项错误；＝﹣0.6，正确． D、﹣ 故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络．5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10倍，在峰值速率下传输 500兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45秒，求这两种网络的峰值速率．设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是（　　） A． C． ﹣＝45 ＝45 B． D． ﹣﹣＝45 ＝45 ﹣【分析】直接利用 5G 网络比 4G 网络快 45秒得出等式进而得出答案．【解答】解：设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是： ﹣＝45．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键． 7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　） 10 A． B． C． D．【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．【解答】解：选项 A 和 C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项 B 能折叠成原几何体的形式；选项 D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选：B．【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力． 8．（3分）将抛物线 y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 【分析】先把 y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移 2个单位长度，再向右平移 1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣ 2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移 2个单位长度，再向右平移 1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣ 2），所以平移后得到的抛物线解析式为 y＝（x﹣4）2﹣2．故选：D． 11 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 9．（3分）如图，点 A 的坐标是（﹣2，0），点 B 的坐标是（0，6），C 为 OB 的中点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′B′C′．若反比例函数 y＝的图象恰好经过A′B 的中点 D，则 k 的值是（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【分析】作 A′H⊥y 轴于 H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出 OA＝BH，OB＝A′H，求出点 A′坐标，再利用中点坐标公式求出点 D 坐标即可解决问题．【解答】解：作 A′H⊥y 轴于 H． ∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°， ∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠A′BH， ∵BA＝BA′， ∴△AOB≌△BHA′（AAS）， ∴OA＝BH，OB＝A′H， ∵点 A 的坐标是（﹣2，0），点 B 的坐标是（0，6）， ∴OA＝2，OB＝6， 12 ∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6， ∴OH＝4， ∴A′（6，4）， ∵BD＝A′D， ∴D（3，5）， ∵反比例函数 y＝的图象经过点D， ∴k＝15．故选：C．【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．（3分）已知有理数 a≠1，我们把 1的差倒数是．如果a1＝﹣2，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3 的差倒数……依此类推，那么 a1+a2+…+a100的值是（　　） A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 【分析】求出数列的前 4个数，从而得出这个数列以﹣2，称为 a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣ ＝D．﹣5.5 ，依次循环，且﹣2+ + ＝﹣ ，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，…… ∴这个数列以﹣2， ∵100÷3＝33…1，，依次循环，且﹣2+ + ＝﹣ ， ∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣ ）﹣2＝﹣ 故选：A．＝﹣7.5，【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 13 11．（3分）已知 x＝1是方程 x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是　﹣2　．【分析】根据根与系数的关系得出 x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值．【解答】解：∵x＝1是方程 x2+bx﹣2＝0的一个根， ∴x1x2＝＝﹣2， ∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键． 12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　140°　．【分析】先根据多边形内角和定理：180°（• n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 13．（3分）已知点 P（x，y）位于第四象限，并且 x≤y+4（x，y 为整数），写出一个符合上述条件的点 P 的坐标　（1，﹣2）（答案不唯一）　．【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出 x，y 的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵点 P（x，y）位于第四象限，并且 x≤y+4（x，y 为整数）， ∴x＞0，y＜0， ∴当 x＝1时，1≤y+4，解得：0＞y≥﹣3， ∴y 可以为：﹣2， 14 故写一个符合上述条件的点 P 的坐标可以为：（1，﹣2）（答案不唯一）．故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键． 14．（3分）如图，O 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是　．【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 BD＝BC，进而由 AD＝AB﹣BD 可求出 AD 的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A 的度数，则圆心角∠DOA 的度数可求出，在直角三角形 ODA 中求出 OD 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵BC＝，AC＝3． ∴AB＝＝2 ，∵BC⊥OC， ∴BC 是圆的切线， ∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D， ∴BD＝BC， ∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣＝；在 Rt△ABC 中，∵sinA＝ ∴∠A＝30°，＝＝， ∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°， ∵∴＝tanA＝tan30°，＝，15 ∴OD＝1， ∴S 阴影故答案是：＝＝．．【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键． 15．（3分）如图，抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式 ax2+mx+c＞n 的解集是　x＜﹣3或 x＞1　．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q， ∴抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝﹣mx+n 交于 P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当 x＜﹣3或 x＞1时，直线 y＝﹣mx+n 在抛物线 y＝ax2+bx+c 的下方， ∴不等式 ax2+mx+c＞n 的解集为 x＜﹣3或 x＞1．故答案为：x＜﹣3或 x＞1． 16 【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．三、解答题：本大题共 7小题，共 55分， 16．（6分）计算：6sin60°﹣ +（）0+| ﹣2018| 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简 4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝6× ＝2019．，【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间 t（小时） 0≤t＜0.5 人数占女生人数百分比 4m56220% 15% 25% n0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 10% 根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝　3　，n＝　30%　；（2）此次抽样调查中，共抽取了　50　名学生，学生阅读时间的中位数在　1≤t＜1.5　时间段；（3）从阅读时间在 2～2.5小时的 5名学生中随机抽取 2名学生参加市级阅读活动，恰 17 好抽到男女生各一名的概率是多少？【分析】（1）由 0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）女生总人数为 4÷20%＝20（人）， ∴m＝20×15%＝3，n＝ ×100%＝30%，故答案为：3，30%；（2）学生总人数为 20+6+5+12+4+3＝50（人），这组数据的中位数是第 25、26个数据的平均数，而第 25、26个数据均落在 1≤t＜1.5 范围内， ∴学生阅读时间的中位数在 1≤t＜1.5时间段，故答案为：50，1≤t＜1.5；（3）学习时间在 2～2.5小时的有女生 2人，男生 3人．共有 20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 18．（7分）如图，点 M 和点 N 在∠AOB 内部．（1）请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等（保 18 留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：（1）如图，点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小王的行驶时间 x（h）之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围． 19 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由图可得，小王的速度为：30÷3＝10km/h，小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h，答：小王和小李的速度分别是 10km/h、20km/h；（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30×20＝1.5h，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km， ∴点 C 的坐标为（1.5，15），设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx+b，，得，即线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式是 y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是的中点，E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC 与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若 DH＝9，tanC＝，求直径AB 的长． 20 【分析】（1）根据垂径定理得到 OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得 tanC＝tan∠ODB＝＝，设 HF＝3x，DF＝4x，根据勾股定理得到 DF＝，HF＝，根据相似三角形的性质得到 CF＝＝，求得 AF＝CF＝，设 OA＝OD＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵D 是的中点， ∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°， ∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝90°， ∴AE 是⊙O 的切线；（2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴tanC＝tan∠ODB＝＝， ∴设 HF＝3x，DF＝4x， 21 ∴DH＝5x＝9， ∴x＝，∴DF＝，HF＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD， ∴△DFH∽△CFD， ∴＝，∴CF＝＝，∴AF＝CF＝，设 OA＝OD＝x， ∴OF＝x﹣ ，∵AF2+OF2＝OA2， ∴（）2+（x﹣ ）2＝x2，解得：x＝10， ∴OA＝10， ∴直径 AB 的长为 20．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 21．（8分）阅读下面的材料：如果函数 y＝f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数； 22 （2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数．例题：证明函数 f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设 0＜x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝ ﹣＝＝．∵0＜x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0． ∴f（x1）＞f（x2）． ∴函数 f（x）═ （x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数 f（x）＝ +x（x＜0）， f（﹣1）＝ +（﹣1）＝0，f（﹣2）＝ +（﹣2）＝﹣ （1）计算：f（﹣3）＝　﹣ 　，f（﹣4）＝　﹣ 　；（2）猜想：函数 f（x）＝ +x（x＜0）是　增　函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）由（1）结论可得；（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．【解答】解：（1）∵f（x）＝ +x（x＜0）， ∴f（﹣3）＝ ﹣3＝﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣4＝﹣ 故答案为：﹣ ，﹣ （2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3） ∴函数 f（x）＝ +x（x＜0）是增函数故答案为：增 23 （3）设 x1＜x2＜0， ∵f（x1）﹣f（x2）＝ +x1﹣ ﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣ ）∵x1＜x2＜0， ∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2） ∴函数 f（x）＝ +x（x＜0）是增函数【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 22．（11分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G．（1）求线段 CE 的长；（2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设 AM＝x，DN＝y． ①写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； ②是否存在这样的点 M，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设 EC＝x，则 DE＝EF＝8﹣x．在 Rt△ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①证明△ADM∽△GMN，可得＝，由此即可解决问题． ②存在．有两种情形：如图 3﹣1中，当 MN＝MD 时．如图 3﹣2中，当 MN＝DN 时，作 MH⊥ DG 于 H．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图 1中， 24 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8， ∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设 EC＝x，则 DE＝EF＝8﹣x．在 Rt△ABF 中，BF＝＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在 Rt△EFC 中，则有：（8﹣x）2＝x2+42， ∴x＝3， ∴EC＝3．（2）①如图 2中， ∵AD∥CG， ∴∴＝＝，，∴CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝16，在 Rt△ABG 中，AG＝＝8 ，25 在 Rt△DCG 中，DG＝＝10， ∵AD＝DG＝10， ∴∠DAG＝∠AGD， ∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM， ∴∠ADM＝∠NMG， ∴△ADM∽△GMN， ∴∴＝，＝，∴y＝ x2﹣ x+10．当 x＝4 时，y 有最小值，最小值＝2． ②存在．有两种情形：如图 3﹣1中，当 MN＝MD 时， ∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM， ∴△DMN∽△DGM， ∴＝，∵MN＝DM， ∴DG＝GM＝10， ∴x＝AM＝8 ﹣10．如图 3﹣2中，当 MN＝DN 时，作 MH⊥DG 于 H． 26 ∵MN＝DN， ∴∠MDN＝∠DMN， ∵∠DMN＝∠DGM， ∴∠MDG＝∠MGD， ∴MD＝MG， ∵BH⊥DG， ∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8 ﹣＝．综上所述，满足条件的 x 的值为 8 ﹣10或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 27 28