宁夏2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年宁夏中考数学试卷一、选择题（每小题 3分，共 24分） 1．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长 55000米．数字 55000用科学记数法表示为（　　） A．5.5×104 2．下列各式中正确的是（　　） A．＝±2 B． B．55×104 C．5.5×105 D．0.55×106 ＝﹣3 C．＝2 D． ﹣＝3．由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A． C． B． D． 4．为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了 30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：阅读时间/小时 0.5及以下 0.7 90.9 61.1 51.3 41.5及以上人数 24则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（　　） A．0.7和 0.7 B．0.9和 0.7 C．1和 0.7 D．0.9和 1.1 5．如图，在△ABC 中 AC＝BC，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD＝AE．连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若∠C＝40°，则∠GAD 的度数为（　　） 1A．40° B．45° C．55° D．70° 6．如图，四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形 ABCD 为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 7．函数 y＝和 y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． C． B． D． 8．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，分别以点 A，D 为圆心，以 AB，DC 为半径作扇形 ABF，扇形 DCE．则图中阴影部分的面积是（　　） A．6 ﹣π B．6 ﹣π C．12 ﹣π D．12 ﹣π 二、填空题（每小题 3分，共 24分） 9．分解因式：2a3﹣8a＝　　． 210．计算：（﹣）﹣1+|2﹣ |＝　　． 11．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为　　． 12．已知一元二次方程 3×2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围　　． 13．为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为　　小时． 14．如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为点 C，将劣弧沿弦AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 AB＝2 ，则⊙O 的半径为　　． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB，BC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．若∠A＝30°，则＝　　． 16．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 x2+5x ﹣14＝0即 x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元 3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2， 3其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14+52，据此易得 x＝ 2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　　．（只填序号）三、解答题（本题共有 6个小题，每小题 6分，共 36分） 17．（6分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（5，4），B（0， 3），C（2，1）．（1）画出△ABC 关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点 C1的坐标；（2）画出将 A1B1C1绕点 C1按顺时针旋转 90°所得的△A2B2C1． 18．（6分）解方程：+1＝． 19．（6分）解不等式组：．20．（6分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中 5名男生和 3名女生共需化妆费 190元；3名男生的化妆费用与 2名女生的化妆费用相同．（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；（2）如果学校提供的化妆总费用为 2000元，根据活动需要至少应有 42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆． 21．（6分）如图，已知矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，AB 上的点，EF⊥EC，且 AE＝ CD． 4（1）求证：AF＝DE；（2）若 DE＝AD，求 tan∠AFE． 22．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取 8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这 8名学生分别标记为 A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√” 表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．学生 ABCDEFGH垃圾类别厨余垃圾可回收垃圾有害垃圾其他垃圾 √√××√×√√√√×√√×√×√×√×√√×√√√×√√√√√（1）求 8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从 8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．四、解答题（本共 4道题，其中 23、24题每题 8分，25、28题每题 10分，共 38分） 23．（8分）如图在△ABC 中，AB＝BC，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，连接 OD．（1）求证：OD∥BC；（2）过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E，若∠A＝30°，求的值． 24．（8分）将直角三角板 ABC 按如图 1放置，直角顶点 C 与坐标原点重合，直角边 AC、BC 分别与 x 轴和 y 轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿 y 轴向下平移，当点 B 平移到原点 O 时运动停止．设平移的距离为 m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 s，s 关于 m 的函数图象（如图 2所示）与 m 轴相交于点 P（，0），与 s 轴相交于点 5Q．（1）试确定三角板 ABC 的面积；（2）求平移前 AB 边所在直线的解析式；（3）求 s 关于 m 的函数关系式，并写出 Q 点的坐标． 25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组对学校 400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中 400米跑道最内圈为 400米，两端半圆弧的半径为 36米．（π 取 3.14）．（1）求 400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：跑道宽度/米跑道周长/米 012345……400 若设 x 表示跑道宽度（单位：米），y 表示该跑道周长（单位：米），试写出 y 与 x 的函数关系式：（3）将 446米的跑道周长作为 400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长 400 米）形成的区域最多能铺设道宽为 1.2米的跑道多少条？ 26．（10分）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点 M，Q 分别是边 AB，BC 上的动点（点 M 不与 A，B 重合），且 MQ⊥BC，过点 M 作 BC 的平行线 MN，交 AC 于点 N，连接 NQ，设 BQ 为 x． 6（1）试说明不论 x 为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点 Q，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值． 7参考答案一、选择题 1．【解答】解：数字 55000用科学记数法表示为 5.5×104．故选：C． 2．【解答】解：A. ，故选项 A 不合题意；，故选项 B 不合题意；，故选项 C 不合题意；，故选项 D 符合题意． B. C. D. 故选：D． 3．【解答】解：由俯视图知该几何体共 3列，其中第 1列前一排 3个正方形、后 1排 1个正方形，第 2列只有前排 2个正方形，第三列只有 1个正方形，所以其主视图为：故选：A． 4．【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：＝0.9 30名学生平均每天阅读时间的是 0.7，故选：B． 5．【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°， ∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°， ∵GH∥DE， ∴∠GAD＝∠ADE＝55°，故选：C． 6．【解答】解：∵四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且互相平分， 8∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，当 AB＝AD 或 AC⊥BD 时，均可判定四边形 ABCD 是菱形；当 AC＝BD 时，可判定四边形 ABCD 是矩形；当∠ABD＝∠CBD 时，由 AD∥BC 得：∠CBD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形；故选：C． 7．【解答】解：在函数 y＝和 y＝kx+2（k≠0）中，当 k＞0时，函数 y＝的图象在第一、三象限，函数 y＝kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项 A、D 错误，选项 B 正确，当 k＜0时，函数 y＝的图象在第二、四象限，函数 y＝kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项 C 错误，故选：B． 8．【解答】解：∵正六边形 ABCDEF 的边长为 2， ∴正六边形 ABCDEF 的面积是：＝6×＝6 ，∠FAB＝∠EDC＝120°， ∴图中阴影部分的面积是：6 故选：B． ﹣＝，二、填空题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分） 9．【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），故答案为：2a（a+2）（a﹣2） 10．【解答】解：（﹣）﹣1+|2﹣ |＝﹣2+2﹣ ＝﹣ ；故答案为﹣ ；11．【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为 x，根据题意，得：＝，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解， 9∴盒子内白色乒乓球的个数为 4，故答案为：4． 12．【解答】解：∵方程 3×2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即 42﹣4×3×（﹣k）＞0，解得 k＞﹣，故答案为：k＞﹣． 13．【解答】解：由图可知，该班一共有学生：8+16+12+4＝40（人），该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：（0.5×8+1×16+1.5×12+2×4）÷40＝1.15 （小时）．故答案为 1.15． 14．【解答】解：连接 OA，设半径为 x， ∵将劣弧沿弦AB 折叠交于 OC 的中点 D， ∴OC＝，OC⊥AB， ∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2， ∴，解得，x＝3 故答案为：3 ．．15．【解答】解：由作法得 BD 平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴DA＝DB，在 Rt△BCD 中，BD＝2CD， ∴AD＝2CD， 10 ∴＝．故答案为． 16．【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即 x（x﹣4）＝12， ∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×12+42，据此易得 x＝6．故答案为：②．三、解答题（本题共有 6个小题，每小题 6分，共 36分） 17．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点 C1的坐标为（﹣2，﹣1）．（2）如图所示，△A2B2C1即为所求． 18．【解答】解：+1＝，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得 2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2）， ∴x＝4，将检验 x＝4是方程的解； ∴方程的解为 x＝4； 19．【解答】解：解不等式﹣≥1，得：x≥4，解不等式＜x+2，得：x＞﹣7，则不等式组的解集为﹣7＜x≤4． 20．【解答】解：（1）设每位男生的化妆费是 x 元，每位女生的化妆费是 y 元，依题意得：．11 解得：．答：每位男生的化妆费是 20元，每位女生的化妆费是 30元；（2）设男生有 a 人化妆，依题意得：≥42．解得 a≤37．即 a 的最大值是 37．答：男生最多有 37人化妆． 21．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°， ∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF 与△DCE 中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）， ∴AF＝DE；（2）解：∵DE＝AD， ∴AE＝DE， ∵AF＝DE， ∴tan∠AFE＝＝． 22．【解答】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；（2）列表如下： ACFGACCA FA FC GA GC AC 12 FGAF AG CF CG GF FG 四、解答题（本共 4道题，其中 23、24题每题 8分，25、28题每题 10分，共 38分） 23．【解答】解：（1）证明∵AB＝BC ∴∠A＝∠C ∵OD＝OA ∴∠A＝∠ADO ∴∠C＝∠ADO ∴OD∥BC （2）如图，连接 BD， ∵∠A＝30°，∠A＝∠C ∴∠C＝30° ∵DE 为⊙O 的切线， ∴DE⊥OD ∵OD∥BC ∴DE⊥BC ∴∠BED＝90° ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠BDA＝90°，∠CBD＝60° ∴＝tan∠C＝tan30°＝ ∴BD＝CD ∴＝cos∠CBD＝cos60°＝ ∴BE＝BD＝CD ∴＝ 24．【解答】解：（1）∵与 m 轴相交于点 P（，0）， ∴OB＝，13 ∵∠ABC＝30°， ∴OA＝1， ∴S＝＝；（2）∵B（0，），A（1，0），设 AB 的解析式 y＝kx+b， ∴∴，，∴y＝﹣ x+ ；（3）在移动过程中 OB＝ ﹣m，则 OA＝tan30°×OB＝（ ﹣m）＝1﹣m， ∴s＝×（ ﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+，（0≤m≤ 当 m＝0时，s＝，）∴Q（0，）． 25．【解答】解：（1）400米跑道中一段直道的长度＝（400﹣2×36×3.14）÷2＝86.96 m （2）表格如下： y＝2πx+400＝6.28x+400；（3）当 y＝446时，即 6.28x+400＝446，解得：x≈7.32 m 7.32÷1.2≈6 条 ∴最多能铺设道宽为 1.2米的跑道 6条． 26．【解答】解：（1）∵MQ⊥BC， ∴∠MQB＝90°， ∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC， ∴△QBM∽△ABC；（2）当 BQ＝MN 时，四边形 BMNQ 为平行四边形， ∵MN∥BQ，BQ＝MN， ∴四边形 BMNQ 为平行四边形； 14 （3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵△QBM∽△ABC， ∴＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x， ∵MN∥BC， ∴＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，则四边形 BMNQ 的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+， ∴当 x＝时，四边形 BMNQ 的面积最大，最大值为． 15