四川省广安市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年四川省广安市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30分） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　） A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．3a2•4a3＝12a6 C．5 ﹣＝5 D． × ＝3．（3分）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于 2019年 4月 25日至 27日在北京召开， “一带一路”建设进行 5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款 250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字 250000000000用科学记数法表示，正确的是（　　） A．0.25×1011 B．2.5×1011 C．2.5×1010 D．25×1010 4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（　　） A． B． D． C． 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．“367人中必有 2人的生日是同一天”是必然事件 B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查 C．一组数据 6，5，3，5，4的众数是 5，中位数是 3 D．一组数据 10，11，12，9，8的平均数是 10，方差是 1.5 6．（3分）一次函数 y＝2x﹣3的图象经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 17．（3分）若 m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　） A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． 8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）＞D．m2＞n2 A．函数 y＝3x+5的图象可以看作由函数 y＝3x﹣1的图象向上平移 6个单位长度而得到 B．抛物线 y＝x2﹣3x﹣4与 x 轴有两个交点 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．垂直于弦的直径平分这条弦 9．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积为（　　） A． π﹣ B． π﹣ C． π﹣ D． π﹣ 10．（3分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1，下列结论： ①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当 y＞0时，﹣1＜x＜3 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18 分） 11．（3分）点 M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则 x 的取值范围是　 12．（3分）因式分解：3a4﹣3b4＝　　．　． 13．（3分）等腰三角形的两边长分别为 6cm，13cm，其周长为　　cm． 214．（3 分）如图，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 相交于点 F ，则∠AFE ＝　　度． 15．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 y＝﹣ x2+ x+ ，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　米． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，0），以 OA1为直角边作 Rt△ OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以 OA2为直角边作 Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以 OA3 为直角边作 Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点 A2019 的坐标为　．三、解答题（本大题共 4个小题，第 17小题 5分，第 18、19、20小题各 6分，共 23分） 17．（5分）计算：（﹣1）4﹣|1﹣ |+6tan30°﹣（3﹣ 18．（6分）解分式方程： ﹣1＝）0．．19．（6分）如图，点 E 是▱ABCD 的 CD 边的中点，AE、BC 的延长线交于点 F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD 的周长． 20．（6分）如图，已知 A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数 y＝kx+b 和反比例函数 y＝的图象的两个交点． 3（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．四、实践应用题（本大题共 4个小题，第 21题 6分，第 22、23、24题各 8分，共 30分） 21．（6分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查共抽取了　　名学生，两幅统计图中的 m＝　　，n＝　　．（2）已知该校共有 3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级 1班要在本班 3名优胜者（2男 1女）中随机选送 2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 22．（8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50元，2只 A 型节能灯和 3只 B 型节能灯共需 31元．（1）求 1只 A 型节能灯和 1只 B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 23．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的测角仪 AF 测得古树顶端 H 的仰角∠HFE 为 45°，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 FH 上，再向前走 10米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GED 为 60°，点 A、B、C 三 4点在同一水平线上．（1）求古树 BH 的高；（2）求教学楼 CG 的高．（参考数据：＝1.4，＝1.7） 24．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图 1所示的 3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图 2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出 4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个 3×3的正方形方格画一种，例图除外）五、推理论证题（9分） 25．（9分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，ED⊥AD 交 AB 于点 E，△ADE 的外接圆⊙O 交 AC 于点 F，连接 EF．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径 r 及∠3的正切值． 5六、拓展探索题（10分） 26．（10分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 N，过 A 点的直线 l：y＝kx+n 与 y 轴交于点 C，与抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的另一个交点为 D，已知 A（﹣1，0），D（5，﹣6），P 点为抛物线 y＝﹣x2+bx+c 上一动点（不与 A、 D 重合）．（1）求抛物线和直线 l 的解析式；（2）当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PE∥x 轴交直线 l 于点 E，作 PF∥y 轴交直线 l 于点 F，求 PE+PF 的最大值；（3）设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 62019年四川省广安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30分） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　） A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 C．5 B．3a2•4a3＝12a6 D． × ﹣＝5 ＝【分析】根据合并同类项和二次根式混合运算的法则就是即可．【解答】解：A、a2+a3不是同类项不能合并；故 A 错误； B、3a2•4a3＝12a5故 B 错误； C、5 D、 ﹣＝4 ，故 C 错误；，故 D 正确；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项和二次根式混合运算的法则，熟记法则是解题的关键． 3．（3分）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于 2019年 4月 25日至 27日在北京召开， “一带一路”建设进行 5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款 250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字 250000000000用科学记数法表示，正确的是（　　） A．0.25×1011 B．2.5×1011 C．2.5×1010 D．25×1010 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 7【解答】解：数字 2500 0000 0000用科学记数法表示，正确的是 2.5×1011．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（　　） A． C． B． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：该组合体的俯视图为故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．“367人中必有 2人的生日是同一天”是必然事件 B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查 C．一组数据 6，5，3，5，4的众数是 5，中位数是 3 D．一组数据 10，11，12，9，8的平均数是 10，方差是 1.5 【分析】根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差的概念进行判断即可．【解答】解：A．“367人中必有 2人的生日是同一天”是必然事件，故本选项正确； B．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项错误； C．一组数据 6，5，3，5，4的众数是 5，中位数是 5，故本选项错误； D．一组数据 10，11，12，9，8的平均数是 10，方差是 2，故本选项错误；故选：A． 8【点评】本题主要考查了必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 6．（3分）一次函数 y＝2x﹣3的图象经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵一次函数 y＝2x﹣3， ∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 7．（3分）若 m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　） A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C．＞D．m2＞n2 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A 错误； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故 B 错误； C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误； D、如 m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故 D 正确；故选：D．【点评】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱． 8．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．函数 y＝3x+5的图象可以看作由函数 y＝3x﹣1的图象向上平移 6个单位长度而得到 B．抛物线 y＝x2﹣3x﹣4与 x 轴有两个交点 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．垂直于弦的直径平分这条弦【分析】利用一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项． 9【解答】解：A、函数 y＝3x+5的图象可以看作由函数 y＝3x﹣1的图象向上平移 6个单位长度而得到，正确，是真命题； B、抛物线 y＝x2﹣3x﹣4中△＝b2﹣4ac＝25＞0，与 x 轴有两个交点，正确，是真命题； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题； D、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理的知识，难度不大． 9．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积为（　　） A． π﹣ B． π﹣ C． π﹣ D． π﹣ 【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB ＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵BC＝4，BC 为半圆 O 的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴OC＝OD＝2， ∴CD＝ BC＝2 ，图中阴影部分的面积＝S 扇形 COD﹣S△COD 故选：A．＝﹣2 ×1＝ ﹣，【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型． 10 10．（3分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1，下列结论： ①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当 y＞0时，﹣1＜x＜3 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①对称轴位于 x 轴的右侧，则 a，b 异号，即 ab＜0．抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0． ∴abc＜0．故①正确； ②∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a． ∵x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0，而 b＝﹣2a， ∴c＝﹣3a， ∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即 b＜c，故②正确； ③∵x＝﹣1时，y＝0， 11 ∴a﹣b+c＝0，而 b＝﹣2a， ∴c＝﹣3a， ∴3a+c＝0．故③正确； ④由抛物线的对称性质得到：抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（3，0）． ∴当 y＞0时，﹣1＜x＜3 故④正确．综上所述，正确的结论有 4个．故选：D．【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．二次函数 y＝ax2+bx+c 系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与 y 轴的交点有关．二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18 分） 11．（3分）点 M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则 x 的取值范围是　x＞1　．【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可．【解答】解：∵点 M（x﹣1，﹣3）在第四象限， ∴x﹣1＞0 解得 x＞1，即 x 的取值范围是 x＞1．故答案为 x＞1．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限 12 （﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 12．（3分）因式分解：3a4﹣3b4＝　3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）　．【分析】首先提取公因式 3，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：3a4﹣3b4＝3（a2+b2）（a2﹣b2）＝3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 13．（3分）等腰三角形的两边长分别为 6cm，13cm，其周长为　32　cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 6cm 和 13cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为 6cm 时，三角形三边长为 6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为 13cm 时，三角形三边长为 6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．故答案为 32．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14．（3分）如图，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 相交于点 F，则∠AFE＝　72　度．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【解答】解：∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴∠EAB＝∠ABC＝，∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝36°， 13 同理∠ABE＝36°， ∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．故答案为：72 【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 y＝﹣ 可知该生此次实心球训练的成绩为　10　米． x2+ x+ ，由此【分析】根据铅球落地时，高度 y＝0，把实际问题可理解为当 y＝0时，求 x 的值即可．【解答】解：当 y＝0时，y＝﹣ x2+ x+ ＝0，解得，x＝2（舍去），x＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，0），以 OA1为直角边作 Rt△ OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以 OA2为直角边作 Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以 OA3 为直角边作 Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点 A2019 的坐标为　（﹣22017，22017 ）　．【分析】通过解直角三角形，依次求 A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得， A1的坐标为（1，0）， A2的坐标为（1，）， 14 A3的坐标为（﹣2，2 ）， A4的坐标为（﹣8，0）， A5的坐标为（﹣8，﹣8 ）， A6的坐标为（16，﹣16 ）， A7的坐标为（64，0）， …由上可知，A 点的方位是每 6个循环，与第一点方位相同的点在 x 正半轴上，其横坐标为 2n﹣1，其纵坐标为 0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 2n﹣2，纵坐标为 2n﹣2 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为 2n﹣2 与第四点方位相同的点在 x 负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为 0，，，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ∵2019÷6＝336…3，，，∴点 A2019的方位与点 A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为 22017 ，故答案为：（﹣22017，22017 ）．【点评】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面 7 个点的坐标，找出其存在的规律．三、解答题（本大题共 4个小题，第 17小题 5分，第 18、19、20小题各 6分，共 23分） 17．（5分）计算：（﹣1）4﹣|1﹣ |+6tan30°﹣（3﹣ ）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣（ ﹣1）+6× ＝1﹣ +1+2 ﹣1 ﹣1 ＝1+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（6分）解分式方程： ﹣1＝．．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 15 得到分式方程的解．【解答】解： ﹣1＝，方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，解得：x＝4，检验：当 x＝4时，（x﹣2）2≠0．所以原方程的解为 x＝4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 19．（6分）如图，点 E 是▱ABCD 的 CD 边的中点，AE、BC 的延长线交于点 F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD 的周长．【分析】先证明△ADE≌△FCE，得到 AD＝CF＝3，DE＝CE＝2，从而可求平行四边形的面积．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．又 ED＝EC， ∴△ADE≌△FCE（AAS）． ∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2． ∴DC＝4． ∴平行四边形 ABCD 的周长为 2（AD+DC）＝14．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化线段． 20．（6分）如图，已知 A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数 y＝kx+b 和反比例函数 y＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积． 16 【分析】（1）根据 A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y 的图象的两个交点，可以求得 m 的值，进而求得 n 的值，即可解答本题；＝（2）根据函数图象和（1）中一次函数的解析式可以求得点 C 的坐标，从而根据 S△AOB S△AOC+S△BOC 可以求得△AOB 的面积．＝【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝的图象的两个交点， ∴4＝，得 m＝﹣4， ∴y＝﹣ ，∴﹣2＝﹣ ，得n＝2， ∴点 A（2，﹣2）， ∴，解得，∴一函数解析式为 y＝﹣2x+2，即反比例函数解析式为 y＝﹣ ，一函数解析式为y＝﹣2x+2；（2）设直线与 y 轴的交点为 C，当 x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2， ∴点 C 的坐标是（0，2）， ∵点 A（2，﹣2），点 B（﹣1，4）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×2×2+ ×2×1＝3．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．四、实践应用题（本大题共 4个小题，第 21题 6分，第 22、23、24题各 8分，共 30分） 21．（6分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计 17 划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查共抽取了　200　名学生，两幅统计图中的 m＝　84　，n＝　15　．（2）已知该校共有 3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级 1班要在本班 3名优胜者（2男 1女）中随机选送 2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到 m 的值，然后用 30 除以调查的总人数可以得到 n 的值；（2）用 3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有 6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）68÷34%＝200，所以本次调查共抽取了 200名学生， m＝200×42%＝84， n%＝ ×100%＝15%，即 n＝15；（2）3600×34%＝1224，所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有 1224人；（3）画树状图为：共有 6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为 4，所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 18 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考查了统计图． 22．（8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50元，2只 A 型节能灯和 3只 B 型节能灯共需 31元．（1）求 1只 A 型节能灯和 1只 B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到费用与购买 A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（1）设 1只 A 型节能灯的售价是 x 元，1只 B 型节能灯的售价是 y 元，，解得，，答：1只 A 型节能灯的售价是 5元，1只 B 型节能灯的售价是 7元；（2）设购买 A 型号的节能灯 a 只，则购买 B 型号的节能灯（200﹣a）只，费用为 w 元， w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400， ∵a≤3（200﹣a）， ∴a≤150， ∴当 a＝150时，w 取得最小值，此时 w＝1100，200﹣a＝50，答：当购买 A 型号节能灯 150只，B 型号节能灯 50只时最省钱．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 23．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的测角仪 AF 测得古树顶端 H 的仰角∠HFE 为 45°，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 FH 上，再向前走 10米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GED 为 60°，点 A、B、C 三点在同一水平线上．（1）求古树 BH 的高；（2）求教学楼 CG 的高．（参考数据：＝1.4，＝1.7） 19 【分析】（1）由∠HFE＝45°知 HE＝EF＝10，据此得 BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5；（2）设 DE＝x 米，则 DG＝ x 米，由∠GFD＝45°知 GD＝DF＝EF+DE，据此得 x＝ 10+x，解之求得 x 的值，代入 CG＝DG+DC＝ x+1.5计算可得．【解答】解：（1）在 Rt△EFH 中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°， ∴HE＝EF＝10， ∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5， ∴古树的高为 11.5米；（2）在 Rt△EDG 中，∠GED＝60°， ∴DG＝DEtan60°＝ DE，设 DE＝x 米，则 DG＝ x 米，在 Rt△GFD 中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°， ∴GD＝DF＝EF+DE， ∴x＝10+x，解得：x＝5 +5， ∴CG＝DG+DC＝ x+1.5＝（5 +5）+1.5＝16.5+5 ≈25，答：教学楼 CG 的高约为 25米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 24．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图 1所示的 3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图 2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 20 请在图中画出 4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个 3×3的正方形方格画一种，例图除外）【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．【解答】解：如图所示【点评】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．五、推理论证题（9分） 25．（9分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，ED⊥AD 交 AB 于点 E，△ADE 的外接圆⊙O 交 AC 于点 F，连接 EF．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径 r 及∠3的正切值．【分析】（1）由垂直的定义得到∠EDA＝90°，连接 OD，则 OA＝OD，得到∠1＝∠ODA，根据角平分线的定义得到∠2＝∠1＝∠ODA，根据平行线的性质得到∠BDO＝∠ACB＝90 °，于是得到 BC 是⊙O 的切线；（2）由勾股定理得到 AB＝＝＝10，推出△BDO∽△BCA，根据相似 21 三角形的性质得到 r＝，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵ED⊥AD， ∴∠EDA＝90°， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AE 的中点是圆心 O，连接 OD，则 OA＝OD， ∴∠1＝∠ODA， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠2＝∠1＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠BDO＝∠ACB＝90°， ∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB＝＝＝10， ∵OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA， ∴，即，∴r＝，在 Rt△BDO 中，BD＝＝＝＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，在 Rt△ACD 中，tan∠2＝＝，∵∠3＝∠2， ∴tan∠3＝tan∠2＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，正 22 确的识别图形是解题的关键．六、拓展探索题（10分） 26．（10分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 N，过 A 点的直线 l：y＝kx+n 与 y 轴交于点 C，与抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的另一个交点为 D，已知 A（﹣1，0），D（5，﹣6），P 点为抛物线 y＝﹣x2+bx+c 上一动点（不与 A、 D 重合）．（1）求抛物线和直线 l 的解析式；（2）当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PE∥x 轴交直线 l 于点 E，作 PF∥y 轴交直线 l 于点 F，求 PE+PF 的最大值；（3）设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点 A、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，即可求解；（3）分 NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）将点 A、D 的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线 l 的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点 A、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线 l 的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线 l 与 x 轴的夹角为 45°，即：则 PE＝PE， 23 设点 P 坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点 F（x，﹣x﹣1）， PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18， ∵﹣2＜0，故 PE+PF 有最大值，当 x＝2时，其最大值为 18；（3）NC＝5， ①当 NC 是平行四边形的一条边时，设点 P 坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点 M（x，﹣x﹣1），由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2 或 0或 4（舍去 0），，﹣3﹣ ）或（2﹣ 则点 P 坐标为（2+ ，﹣3+ ）或（4，﹣5）； ②当 NC 是平行四边形的对角线时，则 NC 的中点坐标为（﹣ ，2），设点 P 坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点 M（n，﹣n﹣1）， N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形，则 NC 的中点即为 PM 中点，即：﹣ ＝，2＝，解得：m＝0或﹣4（舍去 0），故点 P（﹣4，3）；故点 P 的坐标为：（2+ 4，3）．，﹣3﹣ ）或（2﹣ ，﹣3+ ）或（4，﹣5）或（﹣ 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 24 25