吉林省长春市2019年中考数学真题试题（含解析）下载

2019年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点 A 到原点的距离是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为 275000000 人次，275000000这个数用科学记数法表示为（　　） A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109 3．（3分）如图是由 4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　） A． 4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 B． C． D． C．x≥2 D．x≤2 5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡， 人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每 人出九钱，会多出 11钱；每人出 6钱，又差 16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设 人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为（　　） A． C． B． D． 6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3米．若梯子与地面 的夹角为 α，则梯子顶端到地面的距离 C 为（　　） 1A．3sinα 米 B．3cosα 米 C． 米D． 米7．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角．用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D．使∠ADC ＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的顶点 A、C 的坐标分别是（0，3）、（3、 0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点 B，则 k 的值为 （　　） A． 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 9．（3分）计算：3 ＝　． 　． B．9 C． D． ﹣10．（3分）分解因式：ab+2b＝　 11．（3分）一元二次方程 x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是　 　． 12．（3分）如图，直线 MN∥PQ，点 A、B 分别在 MN、PQ 上，∠MAB＝33°．过线段 AB 上的 点 C 作 CD⊥AB 交 PQ 于点 D，则∠CDB 的大小为　度． 213．（3分）如图，有一张矩形纸片 ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片 ABCD 折叠，使边 AD 落在边 AB 上，点 D 落在点 E 处，折痕为 AF；再将△AEF 沿 EF 翻折，AF 与 BC 相交于点 G，则△GCF 的周长为　 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与 y 轴交于点 A， 过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M．P 为抛物线的顶点．若直线 OP 交直线 AM 于点 B， 且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为　． 三、解答题（共 10小题，满分 78分） 15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中 a＝ ．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、 “家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后 放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法， 求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率． 17．（6分）为建国 70周年献礼，某灯具厂计划加工 9000套彩灯，为尽快完成任务，实际 每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2倍，结果提前 5天完成任务．求该灯具厂原计划每 天加工这种彩灯的数量． 18．（7分）如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为直径作⊙O，点 E 在 BC 边上，连结 AE 交⊙O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 于点 G． 3（1）求证：△ABE≌△BCG； （2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求 的长．（结果保留π） 19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的 情况，从该校七年级随机抽取 20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位： 时）： 3 2.50.6 1.5 12 2 3.32.5 1.8 2.5 2.2 3.5 41.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间 x（时） 0＜x≤1 人数 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4 2585样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 mn根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中的中位数 m 的值为　 　，众数 n 的值为　 　． （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18周计算）网上学习 的时间． （3）已知该校七年级学生有 200名，估计每周网上学习时间超过 2小时的学生人数． 20．（7分）图①、图②、图③均是 6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小 正方形的边长为 1，点 A、B、C、D、E、F 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无 刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画 法． （1）在图①中以线段 AB 为边画一个△ABM，使其面积为 6． （2）在图②中以线段 CD 为边画一个△CDN，使其面积为 6． 4（3）在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH，使其面积为 9，且∠EFG＝90°． 21．（8分）已知 A、B 两地之间有一条 270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60 千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地，乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地，两车 分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x（时）之 间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　 　千米/时，a＝　 　，b＝　 　． （2）求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式． （3）当甲车到达距 B 地 70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78页的部分内容． 例 2 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点，AD，CE 相交于点 G，求证： ＝＝证明：连结 ED． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为边 BC 的中点，AE、BD 交于点 F． （1）如图②，若▱ABCD 为正方形，且 AB＝6，则 OF 的长为　． （2）如图③，连结 DE 交 AC 于点 G，若四边形 OFEG 的面积为 ，则▱ABCD 的面积 为　． 523．（10分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点 P 从点 A 出发，沿 AC 向终点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5个单位长 度，点 P 到达终点时，P、Q 同时停止运动．当点 P 不与点 A、C 重合时，过点 P 作 PN⊥AB 于点 N，连结 PQ，以 PN、PQ 为邻边作▱PQMN．设▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S， 点 P 的运动时间为 t 秒． （1）①AB 的长为　 　； ②PN 的长用含 t 的代数式表示为　 （2）当▱PQMN 为矩形时，求 t 的值； 　． （3）当▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时，直接写出 t 的值． 24．（12分）已知函数 y＝ （n 为常数） （1）当 n＝5， ①点 P（4，b）在此函数图象上，求 b 的值； ②求此函数的最大值． 6（2）已知线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出 n 的取值范围． （3）当此函数图象上有 4个点到 x 轴的距离等于 4，求 n 的取值范围． 72019年吉林省长春市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 1．【解答】解：数轴上表示﹣2的点 A 到原点的距离是 2， 故选：B． 2．【解答】解：将 275000000用科学记数法表示为：2.75×108． 故选：C． 3．【解答】解：从正面看易得第一层有 2个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：A． 4．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2 系数化为 1得：x≤2． 故选：D． 5．【解答】解：设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为： ．故选：D． 6．【解答】解：由题意可得：sinα＝ ＝，故 BC＝3sinα（m）． 故选：A． 7．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B 且∠ADC＝∠B+∠BCD， ∴∠B＝∠BCD， ∴DB＝DC， ∴点 D 是线段 BC 中垂线与 AB 的交点， 故选：B． 8．【解答】解：过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D， ∵A、C 的坐标分别是（0，3）、（3、0）， ∴OA＝OC＝3， 在 Rt△AOC 中，AC＝ 又∵AC＝2BC， ，8∴BC＝ ，又∵∠ACB＝90°， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD， ∴CD＝BD＝ ∴OD＝3+ ＝ ， ＝∴B（ ，）代入 y＝ 得：k＝ ，故选：D． 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 9．【解答】解：原式＝2 故答案为：2 ．．10．【解答】解：ab+2b＝b（a+2）． 故答案为：b（a+2）． 11．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5， 故答案为：5． 12．【解答】解：∵直线 MN∥PQ， ∴∠MAB＝∠ABD＝33°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝90°， ∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°． 故答案为：57． 13．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°， ∴AE＝AD＝6， ∴EB＝AB﹣AE＝2， 9由题意得，四边形 EFCB 为矩形， ∴FC＝ED＝2， ∵AB∥FC， ∴∠GFC＝∠A＝45°， ∴GC＝FC＝2， 由勾股定理得，GF＝ ＝2 ，则△GCF 的周长＝GC+FC+GF＝4+2 ，故答案为：4+2 ．14．【解答】解：∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与 y 轴交于点 A， ∴A（0， ），抛物线的对称轴为x＝1 ∴顶点 P 坐标为（1， ﹣a），点 M 坐标为（2， ∵点 M 为线段 AB 的中点， ）∴点 B 坐标为（4， ）设直线 OP 解析式为 y＝kx（k 为常数，且 k≠0） 将点 P（1， ∴y＝（ ）代入得 ＝k ）x 将点 B（4， ）代入得 ＝（ ）×4 解得 a＝2 故答案为：2． 三、解答题（共 10小题，满分 78分） 15．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a ＝8a+1， 当 a＝ 时，原式＝8a+1＝2． 16．【解答】解：画树状图如图： 共有 9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有 5个， ∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 ．10 17．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的 数量为 1.2x 套， 由题意得： ﹣＝5， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意； 答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 300套． 18．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°， ∴∠EBF＝∠BAF， 在△ABE 与△BCG 中， ，∴△ABE≌△BCG（ASA）； （2）解：连接 OF， ∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°， ∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°， ∴∠BOF＝2∠BAE＝70°， ∵OA＝3， ∴的长＝ ＝．19．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5， 2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， ∴中位数 m 的值为 ＝2.5，众数 n 为 2.5； 11 故答案为：2.5，2.5； （2）2.4×18＝43.2（小时）， 答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18周计算）网上学习的时间为 43.2小 时． （3）200× ＝130（人）， 答：该校七年级学生有 200名，估计每周网上学习时间超过 2小时的学生人数为 130 人． 20．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM 即为所求； （2）如图②所示，△CDN 即为所求； （3）如图③所示，四边形 EFGH 即为所求； 21．【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时， a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5． 故答案为：75；3.6；4.5； （2）60×3.6＝216（千米）， 当 2＜x≤3.6时，设 y＝k1x+b1，根据题意得： ，解得 ，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）； 当 3.6＜x≤4.6时，设 y＝60x， ∴；（3）甲车到达距 B 地 70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝ （小时）， 12 此时甲、乙两车之间的路程为：135× ﹣270＝180（千米）． 答：当甲车到达距 B 地 70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180千米． 22．【解答】教材呈现： 证明：如图①，连结 ED． ∵在△ABC 中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点， ∴DE∥AC，DE＝ AC， ∴△DEG∽△ACG， ∴∴∴＝＝＝2， ＝3， ＝＝＝；结论应用： （1）解：如图②． ∵四边形 ABCD 为正方形，E 为边 BC 的中点，对角线 AC、BD 交于点 O， ∴AD∥BC，BE＝ BC＝ AD，BO＝ BD， ∴△BEF∽△DAF， ∴＝＝ ， ∴BF＝ DF， ∴BF＝ BD， ∵BO＝ BD， ∴OF＝OB﹣BF＝ BD﹣ BD＝ BD， ∵正方形 ABCD 中，AB＝6， ∴BD＝6 ∴OF＝ ，．故答案为 ；13 （2）解：如图③，连接 OE． 由（1）知，BF＝ BD，OF＝ BD， ∴＝2． ∵△BEF 与△OEF 的高相同， ∴△BEF 与△OEF 的面积比＝ ＝2， 同理，△CEG 与△OEG 的面积比＝2， ∴△CEG 的面积+△BEF 的面积＝2（△OEG 的面积+△OEF 的面积）＝2× ＝1， ∴△BOC 的面积＝ ，∴▱ABCD 的面积＝4× ＝6． 故答案为 6． 23．【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15． ∴AB＝ ＝＝25． ∴，由题可知 AP＝5t， ∴PN＝AP•sin∠CAB＝ ＝3t． 故答案为：①25；②3t． （2）当▱PQMN 为矩形时，∠NPQ＝90°， ∵PN⊥AB， ∴PQ∥AB， ∴，由题意可知 AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t， 14 ∴，解得 t＝ ，即当▱PQMN 为矩形时 t＝ ．（3）当▱PQMN△ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN 在三角形内部时．延长 QM 交 AB 于 G 点， 由（1）题可知：cosA＝sinB＝ ，cosB＝ ，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t． ∴AN＝AP•cosA＝4t，BG＝BQ•cosB＝9﹣3t，QG＝BQ•sinB＝12﹣4t， ∵．▱PQMN 在三角形内部时．有 0＜QM≤QG， ∴0＜3t≤12﹣4t， ∴0＜t ．∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t． ∴当 0＜t 时，▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为▱PQMN，S 与 t 之间的函数关系式为 S ＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t． Ⅱ．如解图（3）2所示．当 0＜QG＜QM，▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形 PQMG 时， 即：0＜12﹣4t＜3t，解得： ，▱PQMN 与 △ ABC 重 叠 部 分 图 形 为 梯 形PQMG 的 面 积S ＝ ＝＝．综上所述：当 0＜t 时，S＝﹣3t2+48t．当 ，S＝ ．（4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时，有两种情况， Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MN 中点，过 R 点作 RH⊥AB， ∴∠PKN＝∠HKR＝∠B， NK＝PN•cot∠PKN＝3t ＝，∵NR＝MR，HR∥PN∥QM， 15 ∴NH＝GH＝ ，HR＝ ，∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝ ．∴KH＝HR•cot∠HKR＝ ＝，∵NK+KH＝NH， ∴，解得：t＝ ，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MQ 中点，过 Q 点作 QH⊥PR， ∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形 PCQH 为矩形， ∴HQ＝QR•sin∠QRH＝ ∵PC＝20﹣5t， ∴20﹣5t＝ ，解得 t＝ ．综上所述：当 t＝ 或时，点 P 且平行于 BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时， 16 24．【解答】解：（1）当 n＝5时， y＝ ，①将 P（4，b）代入 y＝﹣ x2+ x+ ∴b＝ ②当 x≥5时，当 x＝5时有最大值为 5； 当 x＜5时，当 x＝ 时有最大值为 ∴函数的最大值为 （2）将点（4，2）代入 y＝﹣x2+nx+n 中， ，；；；∴n＝ ，∴＜n≤4时，图象与线段 AB 只有一个交点； 将点（2，2）代入 y＝﹣x2+nx+n 中， ∴n＝2， 将点（2，2）代入 y＝﹣ x2+ x+ 中， ∴n＝ ，17 ∴2≤n＜ 时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述： ＜n≤4，2≤n＜ 时，图象与线段AB 只有一个交点； （3）当 x＝n 时，y＝﹣ n2+ n2+ ＞4，∴n＞8； ＝ ， 当 x＝ 时，y＝ + ≤4，∴n≥ ，+，当 x＝n 时，y＝﹣n2+n2+n＝n， n＜4； ∴函数图象上有 4个点到 x 轴的距离等于 4时，n＞8或 n≤ ＜4． 18