内蒙古通辽市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括 10小题，每小题 3分，共 30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用 2B铅笔涂黑） 1．（3分）﹣的相反数是（　　） A．2019 2．（3分） A．±4 B．﹣ 的平方根是（　　） B．4 C．﹣2019 C．±2 D． D．+2 3．（3分）2018年 12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好 2019年春运工作的意见》中预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到 7300万人次，比上一年增长 12%，其中 7300万用科学记数法表示为（　　） A．73×106 B．7.3×103 C．7.3×107 D．0.73×108 4．（3分）下列几何体是由 4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（　　） A． C． B． D． 5．（3分）如图，直线 y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式 kx+b≥3的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1 6．（3分）一个菱形的边长是方程 x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为 8，则该菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．24或 40 D．48或 80 7．（3分）如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，若⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积等于（　　） 1A． 8．（3分）现有以下命题： ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； B．π C．π D．2π ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到 0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中真命题的个数有（　　） A．1个 9．（3分）关于 x、y 的二元一次方程组与双曲线 y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（　　） B．2个 C．3个 D．4个的解满足 x＜y，则直线 y＝kx﹣k﹣1 A． C． B． D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0； ②c+2a＜0； ③9a﹣3b+c＝0； ④a﹣b≥m（am+b）（m 为实数）； ⑤4ac﹣b2＜0． 2其中错误结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题包括 7小题，每小题 3分，共 21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11．（3分）如图，是我市 6月份某 7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是　℃． 12．（3分）某机床生产一种零件，在 6月 6日至 9日这 4天中出现次品的数量如下表：日期 6月 6日 6月 7日 6月 8日 6月 9日次品数量（个） 102a若出现次品数量的唯一众数为 1，则数据 1，0，2，a 的方差等于　　． 13．（3分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点 E，且 AE 平分∠BAC，则 AB 的长为　． 14．（3分）已知三个边长分别为 2cm，3cm，5cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　　． 315．（3分）腰长为 5，高为 4的等腰三角形的底边长为　　． 16．（3分）取 5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字 1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出 1张，记卡片上的数字为 m，则数字 m 使分式方程﹣1＝无解的概率为　． 17．（3分）如图，在边长为 3的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是 AD 边上的一点，且 AM＝ AD，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C．则 A′ C 长度的最小值是　　．三、解答题（本题包括 9小题，共 69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18．（5分）计算：﹣14﹣| ﹣1|+（ ﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1 19．（6分）先化简，再求值． ÷+，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 20．（5分）两栋居民楼之间的距离 CD＝30m，楼 AC 和 BD 均为 10层，每层楼高为 3m．上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30°，此刻楼 BD 的影子会遮挡到楼 AC 的第几层？（参考数据： ≈1.7， ≈1.4） 21．（6分）有四张反面完全相同的纸牌 A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形， 4将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　　．（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用 A、B、C、D 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平． 22．（9分）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多 5人，九年级最喜欢排球的人数为 10人．七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表项目排球篮球踢毽跳绳　其他人数（人） 7814 　6请根据以上统计表（图）解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少人？（2）补全统计表和统计图．（3）该校有学生 1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每 4人提供一个毽子，学校现有 124个毽子，能否够用？请说明理由． 523．（8分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，AC＝CE，连接 AE 交 BC 于点 D，延长 DC 至 F 点，使 CF＝CD，连接 AF．（1）判断直线 AF 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若 AC＝10，tan∠CAE＝，求 AE 的长． 24．（9分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20元．根据以往经验：当销售单价是 25元时，每天的销售量是 250本；销售单价每上涨 1元，每天的销售量就减少 10本，书店要求每本书的利润不低于 10元且不高于 18 元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y（本）与销售单价 x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售 1本该科幻小说，就捐赠 a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为 1960元，求 a 的值． 25．（9分）如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时旋转 90 °，得到线段 CQ，连接 BP，DQ．（1）如图 1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E． 6①如图 2，求证：BE⊥DQ； ②如图 3，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由． 26．（12分）已知，如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为 M（1，9），经过抛物线上的两点 A（﹣3，﹣7）和 B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点 C．（1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式．（2）在抛物线上 A、M 两点之间的部分（不包含 A、M 两点），是否存在点 D，使得 S△DAC 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．＝（3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 P 的坐标． 72019年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括 10小题，每小题 3分，共 30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用 2B铅笔涂黑） 1．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：D． 2．【解答】解：故选：C．＝4，± ＝±2， 3．【解答】解：其中 7300万用科学记数法表示为 7.3×107．故选：C． 4．【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故 A 不符合题意； B、左视图和俯视图相同，故 B 符合题意； C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故 C 不符合题意； D、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故 D 不符合题意；故选：B． 5．【解答】解：观察图象知：当 x≥﹣1时，kx+b≥3，故选：D． 6．【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以 x1＝5，x2＝3， ∵菱形一条对角线长为 8， ∴菱形的边长为 5， ∴菱形的另一条对角线为 2 ＝6， ∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B． 7．【解答】解：连接 OC，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC ，8∴图中阴影部分的面积＝S 扇形 AOC 故选：C．＝＝π． 8．【解答】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，错误，是假命题； ③通常温度降到 0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；真命题有 2个，故选：B． 9．【解答】解：二元一次方程组中第二个方程减去第一个方程得：x﹣y＝﹣ 的解满足 x＜y， 5k， ∵关于 x、y 的二元一次方程组 ∴x﹣y＜0， ∴﹣5k＜0，即：k＞0， ∴y＝kx﹣k﹣1经过一三四象限，双曲线 y＝的两个分支位于一三象限，B 选项符合，故选：B． 10．【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴 x＝﹣＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； 9②由对称轴可知：﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴c+3a＝0， ∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确； ③（1，0）关于 x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确； ④当 x＝﹣1时，y 的最小值为 a﹣b+c， ∴x＝m 时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即 a﹣b≤m（am+b），故④错误； ⑤抛物线与 x 轴有两个交点， ∴△＞0，即 b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．二、填空题（本题包括 7小题，每小题 3分，共 21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11．【解答】解：根据 7天的最高气温折线统计图，将这 7天的最高气温按大小排列为：24， 25，26，27，28，28，29，故中位数为 27℃，故答案为 27． 12．【解答】解：∵出现次品数量的唯一众数为 1， 10 ∴a＝1， ∴， ∴S2＝＝，故答案为． 13．【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AE 平分∠BAO ∴∠BAE＝∠EAO，且 AE＝AE，∠AEB＝∠AEO， ∴△ABE≌△AOE（ASA） ∴AO＝AB，且 AO＝OB ∴AO＝AB＝BO＝DO， ∴BD＝2AB， ∵AD2+AB2＝BD2， ∴64+AB2＝4AB2， ∴AB＝故答案为：． 14．【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知＝，解得 x＝2.5，即阴影梯形的上底就是 3﹣2.5＝0.5（cm）．再根据相似的性质可知＝，解得：y＝1，所以梯形的下底就是 3﹣1＝2（cm），所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．故答案为：3.75cm2． 15．【解答】解：①如图 1 11 当 AB＝AC＝5，AD＝4，则 BD＝CD＝3， ∴底边长为 6； ②如图 2．当 AB＝AC＝5，CD＝4时，则 AD＝3， ∴BD＝2， ∴BC＝＝2 ，∴此时底边长为 2 ③如图 3：；当 AB＝AC＝5，CD＝4时，则 AD＝＝3， ∴BD＝8， ∴BC＝4 ，∴此时底边长为 4 ．故答案为：6或 2 或 4 ．16．【解答】解：由分式方程，得 m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2） 12 x＝1或﹣2时，分式方程无解， x＝1时，m＝2， x＝﹣2时，m＝0，所以在 1，2，3，4，5取一个数字 m 使分式方程无解的概率为． 17．【解答】解：过点 M 作 MH⊥CD 交 CD 延长线于点 H，连接 CM， ∵AM＝AD，AD＝CD＝3 ∴AM＝1，MD＝2 ∵CD∥AB， ∴∠HDM＝∠A＝60° ∴HD＝MD＝1，HM＝ HD＝ ∴CH＝4 ∴MC＝＝∵将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN， ∴AM＝A’M＝1， ∴点 A’在以 M 为圆心，AM 为半径的圆上， ∴当点 A’在线段 MC 上时，A’C 长度有最小值 ∴A’C 长度的最小值＝MC﹣MA’＝故答案为： ﹣1 ﹣1 三、解答题（本题包括 9小题，共 69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18．【解答】解：原式＝﹣1﹣（ ﹣1）+1+2×+2 ＝﹣1﹣ +1+1+ +2 ＝3． 19．【解答】解：÷ +13 ＝＝＝＝，由不等式组，得﹣3＜x≤2， ∴当 x＝2时，原式＝． 20．【解答】解：设太阳光线 GB 交 AC 于点 F，过 F 作 FH⊥BD 于 H，由题意知，AC＝BD＝3×10＝30m，FH＝CD＝30m，∠BFH＝∠α＝30°，在 Rt△BFH 中，tan∠BFH＝＝＝， ∴BH＝30×＝10 ≈10×1.7＝17， ∴FC＝HD＝BD﹣BH≈30﹣17＝13， ∵≈4.3，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻楼 BD 的影子会遮挡到楼 AC 的第 5层． 21．【解答】解：（1）共有 4张牌，正面是中心对称图形的情况有 3种，从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）游戏不公平，理由如下：列表得： ABCDABCD（A，B）（A，C）（B，C）（A，D）（B，D）（C，D）（B，A）（C，A）（D，A）（C，B）（D，B）（D，C）共有 12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是 14 中心对称图形的结果有 2种，即（A，C）（C，A） ∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝≠， ∴游戏不公平．修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜． 22．【解答】解：（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分比为：1﹣30%﹣16%﹣24%﹣10%＝20%，又知九年级最喜欢排球的人数为 10人， ∴九年级最喜欢运动的人数有 10÷20%＝50（人）， ∴本次调查抽取的学生数为：50×3＝150（人）．（2）根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有 50﹣7﹣8﹣6﹣14＝15人，那么八年级最喜欢跳绳的人数有 15﹣5＝10人，最喜欢踢毽的学生有 50﹣12﹣10﹣10﹣5═13人，九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比＝＝20%，补全统计表和统计图如图所示；七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表项目排球篮球踢毽跳绳其他人数（人） 7814 15 6（3）不够用，理由：1800×÷4＝126， 15 ∵126＞124， ∴不够用．故答案为：15． 23．【解答】解：（1）直线 AF 是⊙O 的切线，理由是：连接 AC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵CF＝CD， ∴∠CAF＝∠EAC， ∵AC＝CE， ∴∠E＝∠EAC， ∵∠B＝∠E， ∴∠B＝∠FAC， ∵∠B+∠BAC＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝90°， ∴OA⊥AF，又∵点 A 在⊙O 上， ∴直线 AF 是⊙O 的切线；（2）过点 C 作 CM⊥AE， ∵tan∠CAE＝， ∴＝， ∵AC＝10， ∴设 CM＝3x，则 AM＝4x，在 Rt△ACM 中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2， ∴（3x）2+（4x）2＝100，解得 x＝2， ∴AM＝8， ∵AC＝CE， ∴AE＝2AE＝2×8＝16． 16 24．【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元． w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10×2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）对称轴为 x＝35+a，且 0＜a≤6，则 30a≤38，则当 x＝35+a 时，w 取得最大值， ∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10x（35+a）+500]＝1960 ∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去）， ∴a＝2． 25．【解答】（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°， ∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP 和△DCQ 中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①如图 b，∵△BCP≌△DCQ， ∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠BCF＝90°， ∴BE⊥DQ； ②∵△BCP 为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， ∴∠PCD＝30°，又 CP＝CD， ∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°， ∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°，同理：∠EDP＝45°， 17 ∴△DEP 为等腰直角三角形． 26．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点 A 的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点 B（3，5），将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 AB 的表达式为：y＝2x﹣1；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：x＝1，则点 C（1，1），过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设点 D（x，﹣x2+2x+8），点 H（x，2x﹣1）， ∵S△DAC＝2S△DCM ，则 S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或 5（舍去 5），故点 D（﹣1，5）；（3）设点 Q（m，0）、点 P（s，t），t＝﹣s2+2s+8， ①当 AM 是平行四边形的一条边时，点 M 向左平移 4个单位向下平移 16个单位得到 A， 18 同理，点 Q（m，0）向左平移 4个单位向下平移 16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点 P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而 t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点 P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）； ②当 AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而 t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1 故点 P（1 ，，2）或（1﹣ ，2）；综上，点 P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1 ，2）或（1﹣ ，2）． 19