内蒙古包头市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分. 1．（3分）计算|﹣ |+（ A．0 B．）﹣1的结果是（　　） C． D．6 2．（3分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（　　） A．a＞b 3．（3分）一组数据 2，3，5，x，7，4，6，9的众数是 4，则这组数据的中位数是（　　） A．4 B． C．5 D． 4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（　　） B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b A．24 B．24π C．96 中，自变量 x 的取值范围是（　　） B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且 x≠2 D．x≥﹣1且 x≠2 D．96π 5．（3分）在函数 y＝ ﹣A．x＞﹣1 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．立方根等于它本身的数一定是 1和 0 B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形 C．在函数 y＝kx+b（k≠0）中，y 的值随着 x 值的增大而增大 D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等 7．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 D，E，再分别以点 D、E 为圆心，大于 DE 为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交边 BC 于点 G，若 BG＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是（　　） 1A．1 B． C．2 D． 8．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以 BC 为直径作半圆，交 AB 于点 D，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2 9．（3分）下列命题： ①若 x2+kx+ 是完全平方式，则 k＝1； ②若 A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则 m＝5； ③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴； ④一个多边形的内角和是它的外角和的 2倍，则这个多边形是六边形．其中真命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为 a、b、4，且 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2 ﹣12x+m+2＝0的两根，则 m 的值是（　　） A．34 B．30 C．30或 34 D．30或 36 11．（3分）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1，点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，AE＝AF，∠EAF ＝60°，则 CF 的长是（　　） 2A． B． C． ﹣1 D． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M 是线段 AB 上的一个动点，连接 CM，过点 M 作 MN⊥MC 交 y 轴于点 N，若点 M、N 在直线 y＝ kx+b 上，则 b 的最大值是（　　） A．﹣ 二、填空题：本大题有 6小题，每小题 3分，共 24分. 13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是 900309亿元，首次突破 90万亿大关，90 B．﹣ C．﹣1 D．0 万亿用科学记数法表示为　　． 14．（3分）已知不等式组的解集为 x＞﹣1，则 k 的取值范围是　　． 15．（3分）化简：1﹣ ÷＝　　． 16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：班级甲参赛人数平均数中位数 86 方差 82 45 45 83 83 乙84 135 某同学分析上表后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的平均成绩相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）； ③甲班成绩的波动性比乙班小．上述结论中正确的是　　．（填写所有正确结论的序号） 17．（3分）如图，在△ABC 中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC 绕 A 点逆时针旋转 70°得到△ADE，连接 EC，则 tan∠DEC 的值是　． 318．（3分）如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 外一点，点 C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点 C，∠ CAB＝90°，若 BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦 BC 的长为　． 19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO 沿直线 AB 翻折后得到△ABC，若反比例函数 y＝（x＜0）的图象经过点 C，则 k＝　． 20．（3分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝3，D 为斜边 AC 的中点，连接 BD，点 F 是 BC 边上的动点（不与点 B、C 重合），过点 B 作 BE⊥BD 交 DF 延长线交于点 E，连接 CE，下列结论： ①若 BF＝CF，则 CE2+AD2＝DE2； ②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则 CE＝；③△ABD 和△CBE 一定相似； ④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则 DE＝．其中正确的是　　．（填写所有正确结论的序号） 4三、解答题：本大题共有 6小题，共 60分. 21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取 50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：测试成绩（分）人数（人） 23 425 18 26 15 28 830 5（1）该校九年级有 450名学生，估计体育测试成绩为 25分的学生人数；（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为 23分的甲、乙、丙、丁 4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答） 22．（8分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC 交 BD 于点 E，∠ ABD＝30°，AD＝，求线段AC 和 BE 的长．（注：＝＝）23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有 10辆货车未出租，日租金总收入为 1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为 4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 20元，每天租出去的货车就会减少 1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？ 24．（10分）如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC＝120°，弦 AC＝2 ，弦 BM 平分∠ ABC 交 AC 于点 D，连接 MA，MC．（1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM． 525．（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝6，M 是对角线 BD 上的一个动点（0＜DM＜ BD），连接 AM，过点 M 作 MN⊥AM 交 BC 于点 N．（1）如图①，求证：MA＝MN；（2）如图②，连接 AN，O 为 AN 的中点，MO 的延长线交边 AB 于点 P，当时，求 AN 和 PM 的长；（3）如图③，过点 N 作 NH⊥BD 于 H，当 AM＝2 时，求△HMN 的面积． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A （﹣1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点 D 为抛物线对称轴上一点，连接 CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点 D 的坐标；（3）已知 F（1，1），若 E（x，y）是抛物线上一个动点（其中 1＜x＜2），连接 CE、CF、 EF，求△CEF 面积的最大值及此时点 E 的坐标．（4）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 672019年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分. 1．【解答】解：原式＝3+3＝6．故选：D． 2．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴答案 A 错误； ∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴a＜﹣b，∴答案 B 错误； ∴﹣a＞b，故选项 C 正确，选项 D 错误．故选：C． 3．【解答】解：∵这组数据的众数 4， ∴x＝4，将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9 则中位数为：4.5．故选：B． 4．【解答】解：由三视图可知圆柱的底面直径为 4，高为 6， ∴底面半径为 2， ∴V＝πr2h＝22×6•π＝24π，故选：B． 5．【解答】解：根据题意得，，解得，x≥﹣1，且 x≠2．故选：D． 6．【解答】解：A、立方根等于它本身的数一定是±1和 0，故错误； B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故正确； C、在函数 y＝kx+b（k≠0）中，当 k＞0时，y 的值随着 x 值的增大而增大，故错误； D、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等，故错误．故选：B． 7．【解答】解：由作法得 AG 平分∠BAC， 8∴G 点到 AC 的距离等于 BG 的长，即 G 点到 AC 的距离为 1，所以△ACG 的面积＝ ×4×1＝2．故选：C． 8．【解答】解：连接 CD， ∵BC 是半圆的直径， ∴CD⊥AB， ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ∴△ACB 是等腰直角三角形， ∴CD＝BD，，∴阴影部分的面积＝ ×2 2＝2，故选：D． 9．【解答】解：若 x2+kx+ 是完全平方式，则 k＝±1，所以①错误；若 A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线 AB 的解析式为 y＝x+4，则 x＝1时，m＝5，所以②正确；等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；一个多边形的内角和是它的外角和的 2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．故选：B． 10．【解答】解：当 a＝4时，b＜8， ∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8不符合；当 b＝4时，a＜8， ∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， ∴a＝8不符合； 9当 a＝b 时， ∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝2a＝2b， ∴a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34；故选：A． 11．【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠DAF＝30°， ∴∠DAF＝15°，在 AD 上取一点 G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示： ∴AG＝FG，∠DGF＝30°， ∴DF＝ FG＝ AG，DG＝ DF，设 DF＝x，则 DG＝ x，AG＝FG＝2x， ∵AG+DG＝AD， ∴2x+ x＝1，解得：x＝2﹣ ∴DF＝2﹣ ，，∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣ ）＝ ﹣1；故选：C． 10 12．【解答】解：连接 AC，则四边形 ABOC 是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC， ∴∠CMN＝90°， ∴∠AMC＝∠MNB， ∴△AMC∽△NBM， ∴，设 BN＝y，AM＝x．则 MB＝3﹣x，ON＝2﹣y， ∴，即：y＝ x2+ x∴当 x＝﹣ ＝﹣ 时，y 最大＝×（）2+ ＝， ∵直线 y＝kx+b 与 y 轴交于 N（0，b）当 BN 最大，此时 ON 最小，点 N （0，b）越往上，b 的值最大， ∴ON＝OB﹣BN＝2﹣ ＝，此时，N（0，）b 的最大值为故选：A．．二、填空题：本大题有 6小题，每小题 3分，共 24分. 13．【解答】解：90万亿用科学记数法表示成：9.0×1013，故答案为：9.0×1013． 14．【解答】解：由①得 x＞﹣1；由②得 x＞k+1． 11 ∵不等式组的解集为 x＞﹣1， ∴k+1≤﹣1，解得 k≤﹣2．故答案为 k≤﹣2． 15．【解答】解：1﹣ ÷＝1﹣ •＝1﹣ ＝﹣ ，故答案为：﹣ ．16．【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动性比乙班小．故①②③正确，故答案为：①②③． 17．【解答】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°， ∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°， ∴∠ACB＝∠AED＝100°， ∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°， ∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故答案为：1 18．【解答】解：连接 CD、OC，如图： ∵AC 与⊙O 相切于点 C， ∴AC⊥OC， ∵∠CAB＝90°， ∴AC⊥AB， ∴OC∥AB， ∴∠ABC＝∠OCB， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠CBO， 12 ∴∠ABC＝∠CBO， ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BCD＝90°＝∠CAB， ∴△ABC∽△CBD， ∴＝，∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24， ∴BC＝＝2 故答案为：2 ；．19．【解答】解：过点 C 作 CD⊥x 轴，过点 B 作 BE⊥y 轴，与 DC 的延长线相交于点 E，由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，易证，△ACD∽△BCE， ∴，设 CD＝m，则 BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m1＝，m2＝0（舍去）； ∴CD＝，BE＝OA＝ ∴C（）代入y＝得，k＝故答案为：，，＝，20．【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D 为斜边 AC 的中点， ∴AD＝BD＝CD， 13 ∵AF＝CF， ∴BF＝CF， ∴DE⊥BC， ∴BE＝CE，∵ ∵BE⊥BD， ∴BD2+BE2＝DE2， ∴CE2+AD2＝DE2，故①正确； ②∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝，∴，∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴△ABC∽△DBE， ∴即，．∴BE＝，∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠CDE， ∴DE∥AB， ∴DE⊥BC， ∵BD＝CD， ∴DE 垂直平分 BC， ∴BE＝CE， ∴CE＝，故②正确； 14 ③∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵，但随着 F 点运动，BE 的长度会改变，而 BC＝3，不一定等于 ∴或，∴△ABD 和△CBE 不一定相似，故③错误； ④∵∠A＝30°，BC＝3， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6， ∴BD＝，∵BC＝3，∠BCE＝90°， ∴BE＝，∵∴ ，故④正确；故答案为：①②④．三、解答题：本大题共有 6小题，共 60分. 21．【解答】解：（1）450× ＝162（人），答：该校九年级有 450名学生，估计体育测试成绩为 25分的学生人数为 162人；（2）画树状图如图：共有 12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有 2个， ∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝． 22．【解答】解：在 Rt△ABD 中 ∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，15 ∴tan∠ABD＝，∴＝，∴AB＝3， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝90°，在 Rt△ABC 中，∵AB＝BC＝3， ∴AC＝＝3 ，∵AD∥BC， ∴△ADE∽△CBE， ∴∴＝＝，，设 DE＝ x，则 BE＝3x， ∴BD＝DE+BE＝（ +3）x， ∴＝，∵在 Rt△ABD 中，∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝2 ∴DE＝2 × ，，∴DE＝3﹣ ，∴BE＝（3﹣ ）＝3 ﹣3． 23．【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有 x 辆，根据题意得，，解得：x＝20， 16 经检验：x＝20是分式方程的根， ∴1500÷（20﹣10）＝150（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有 20辆，淡季每辆货车的日租金 150元；（2）设每辆货车的日租金上涨 a 元时，该出租公司的日租金总收入为 W 元，根据题意得，W＝[a+150×（1+ ）]×（20﹣ ）， ∴W＝﹣ a2+10a+4000＝﹣ ＜0，（a﹣100）2+4500， ∵﹣ ∴当 a＝100时，W 有最大值，答：每辆货车的日租金上涨 100元时，该出租公司的日租金总收入最高． 24．【解答】解：（1）连接 OA、OC，过 O 作 OH⊥AC 于点 H，如图 1， ∵∠ABC＝120°， ∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠AMC＝120°， ∴∠AOH＝ ∠AOC＝60°， ∵AH＝ AC＝ ∴OA＝，，故⊙O 的半径为 2．（2）证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE，如图 2， 17 ∵∠MBC＝60°，BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形， ∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°， ∴∠BCD+∠DCE＝60°， ∵∠∠ACM＝60°， ∴∠ECM+∠DCE＝60°， ∴∠ECM＝∠BCD， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM＝60°， ∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°， ∴△ACM 是等边三角形， ∴AC＝CM， ∴△ACB≌△MCE， ∴AB＝ME， ∵ME+EB＝BM， ∴AB+BC＝BM． 25．【解答】（1）证明：过点 M 作 MF⊥AB 于 F，作 MG⊥BC 于 G，如图①所示： ∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°， ∵MF⊥AB，MG⊥BC， ∴MF＝MG， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形 FBGM 是正方形， 18 ∴∠FMG＝90°， ∴∠FMN+∠NMG＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMF+∠FMN＝90°， ∴∠AMF＝∠NMG，在△AMF 和△NMG 中，，∴△AMF≌△NMG（ASA）， ∴MA＝MN；（2）解：在 Rt△AMN 中，由（1）知：MA＝MN， ∴∠MAN＝45°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠MAN＝∠DBC， ∴Rt△AMN∽Rt△BCD， ∴＝（）2，在 Rt△ABD 中，AB＝AD＝6， ∴BD＝6 ，∵， ∴＝，解得：AN＝2 ∴在 Rt△ABN 中，BN＝ ∵在 Rt△AMN 中，MA＝MN，O 是 AN 的中点，，＝＝4， ∴OM＝OA＝ON＝ AN＝，OM⊥AN， ∴∠AOP＝90°， ∴∠AOP＝∠ABN， ∵∠PAO＝∠NAB， ∴△PAO∽△NAB， 19 ∴＝，即：＝，解得：OP＝ ∴PM＝OM+OP＝，+＝；（3）解：过点 A 作 AF⊥BD 于 F，如图③所示： ∴∠AFM＝90°， ∴∠FAM+∠AMF＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMF+∠HMN＝90°， ∴∠FAM＝∠HMN， ∵NH⊥BD， ∴∠AFM＝∠MHN＝90°，在△AFM 和△MHN 中，，∴△AFM≌△MHN（AAS）， ∴AF＝MH，在等腰直角△ABD 中，∵AF⊥BD， ∴AF＝ BD＝ ×6 ＝3 ，∴MH＝3 ∵AM＝2 ∴MN＝2 ，，，∴HN＝＝＝，∴S△HMN ＝ MH•HN＝ ×3 × ＝3， ∴△HMN 的面积为 3． 20 26．【解答】解：（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，可得 a＝﹣ ，b＝，∴y＝﹣ x2+ x+2； ∴对称轴 x＝1；（2）如图 1：过点 D 作 DG⊥y 轴于 G，作 DH⊥x 轴于 H，设点 D（1，y）， ∵C（0，2），B（3，0）， ∴在 Rt△CGD 中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1， ∴在 Rt△BHD 中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，在△BCD 中，∵∠DCB＝∠CBD， ∴CD＝BD， ∴CD2＝BD2， ∴（2﹣y）2+1＝4+y2， ∴y＝，∴D（1，）；（3）如图 2：过点 E 作 EQ⊥y 轴于点 Q，过点 F 作直线 FR⊥y 轴于 R，过点 E 作 FP⊥FR 于 P， ∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°， ∴四边形 QRPE 是矩形， 21 ∵S△CEF＝S 矩形 QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP ，∵E（x，y），C（0，2），F（1，1）， ∴S△CEF＝EQ•QR﹣ ×EQ•QC﹣ CR•RF﹣ FP•EP， ∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣ x（y﹣2）﹣ ×1×1﹣ （x﹣1）（y﹣1）， ∵y＝﹣ x2+ x+2， ∴S△CEF＝﹣ x2+ x， ∴当 x＝时，面积有最大值是此时 E（）；，，（4）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，设 N（1，n），M（x，y）， ①四边形 CMNB 是平行四边形时，＝，∴x＝﹣2， ∴M（﹣2，﹣ ）； ②四边形 CNBM 时平行四边形时，＝，∴x＝2， ∴M（2，2）； ③四边形 CNNB 时平行四边形时，＝，∴x＝4， ∴M（4，﹣ ）；综上所述：M（2，2）或 M（4，﹣ ）或 M（﹣2，﹣ ）； 22 23