2019年西藏中考数学试题（Word版，含解析）

2019 年西藏中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，不选、铝选或多选均不得分．） 1．（3 分）﹣3 的相反数是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 2．（3 分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近 11000000 人，将数据 11000000 用科学记数法表示为（　　） A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109 3．（3 分）下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5 5．（3 分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2 的度数是（　　） A．65° B．105° C．115° D．125° 6．（3 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：1 7．（3 分）把函数 y＝﹣ x2 的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数 y＝﹣ （x﹣ 1）2+1 的图象（　　） A．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 B．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 C．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 8．（3 分）如图，在⊙O 中，半径 OC 垂直弦 AB 于 D，点 E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝ 2，则半径 OB 等于（　　） A．1 9．（3 分）已知点 A 是直线 y＝2x 与双曲线 y＝轴的垂线，垂足为 B，且 OB＝2，则 m 的值为（　　） A．﹣7 B．﹣8 C．8 B． C．2 D．2 （m 为常数）一支的交点，过点 A 作 x D．7 10．（3 分）如图，从一张腰长为 90cm，顶角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　） A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm 11．（3 分）把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余 6 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人就分不到 3 本，这些书有______本，共有______人．（　　） A．27 本，7 人 B．24 本，6 人 C．21 本，5 人 D．18 本，4 人 S 矩形 ABCD， 12．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB 则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（　　）＝A．2 B．2 C．3 D．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）因式分解：x2y﹣y3＝　． 14．（3 分）一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0 的根是　 15．（3 分）若实数 m、n 满足|m﹣3|+ ＝0，且 m、n 恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为　．　． 16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是边 AB 上的一点，CD⊥AB 于 D， AD＝2，BD＝6，则边 AC 的长为　． 17．（3 分）如图，把一张长为 4，宽为 2 的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为　． 18．（3 分）观察下列式子第 1 个式子：2×4+1＝9＝32 第 2 个式子：6×8+1＝49＝72 第 3 个式子：14×16+1＝225＝152 …… 请写出第 n 个式子：　　．三、解答题（本大题共 7 小题，共 46 分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） ﹣3 19．（5 分）计算（2019﹣π）0﹣2sin30°+ +（﹣ ）．20．（5 分）如图，点 E、C 在线段 BF 上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：∠ABC＝∠ DEF． 21．（6 分）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了　好运动的学生共有　名；（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　．　名学生；若该校共有 1500 名学生，估计全校爱　； 22．（6 分）列方程（组）解应用题绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 600 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成任务，则原计划每天种树多少棵？ 23．（6 分）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 B 处时，测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 20 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，小岛 A 周围 10 海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 24．（8 分）如图，在△ABC 中．∠ABC＝∠ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N，点 P 在 AB 的延长线上，且∠BCP＝ ∠BAC．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若 BC＝3 ，cos∠BCP＝，求点 B 到 AC 的距离． 25．（10 分）已知：如图，抛物线 y＝ax2+bx+3 与坐标轴分别交于点 A，B（﹣3，0），C （1，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 作 PE∥x 轴交抛物线于点 E，连接 DE，请问是否存在点 P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 2019 年西藏中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，不选、铝选或多选均不得分．） 1．（3 分）﹣3 的相反数是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．【分析】由相反数的定义容易得出结果．【解答】解：﹣3 的相反数是 3，故选：A．【点评】本题考查了相反数的定义；熟记相反数的定义是解决问题的关键． 2．（3 分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近 11000000 人，将数据 11000000 用科学记数法表示为（　　） A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：将 11000000 用科学记数法表示为 1.1×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． C． B． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、a2•a3＝a5，故此选项错误； C、a3÷a2＝a，正确； D、（a2）3＝a6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（3 分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2 的度数是（　　） A．65° B．105° C．115° D．125° 【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠2+∠3＝180°， ∵∠1＝∠3＝65°， ∴∠2+65°＝180°， ∴∠2＝180°﹣65°＝115°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 6．（3 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：1 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，DE＝ BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 7．（3 分）把函数 y＝﹣ x2 的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数 y＝﹣ （x﹣ 1）2+1 的图象（　　） A．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 B．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 C．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【解答】解：抛物线 y＝﹣ x2 的顶点坐标是（0，0），抛物线线 y＝﹣ （x﹣1）2+1 的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到顶点（1，1），即将函数 y＝﹣ x2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到函数 y＝﹣ （x﹣1）2+1 的图象．故选：C．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 8．（3 分）如图，在⊙O 中，半径 OC 垂直弦 AB 于 D，点 E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝ 2，则半径 OB 等于（　　） A．1 B． C．2 D．2 【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB 是等腰直角三角形，进而得出答案．【解答】解：∵半径 OC⊥弦 AB 于点 D， ∴＝，∴∠E＝ ∠BOC＝22.5°， ∴∠BOD＝45°， ∴△ODB 是等腰直角三角形， ∵AB＝2， ∴DB＝OD＝1，则半径 OB 等于：故选：B．＝．【点评】此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB 是等腰直角三角形是解题关键． 9．（3 分）已知点 A 是直线 y＝2x 与双曲线 y＝（m 为常数）一支的交点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，且 OB＝2，则 m 的值为（　　） A．﹣7 B．﹣8 C．8 【分析】易求得 A 点的坐标，代入 y＝（m 为常数）即可求出 m． D．7 【解答】解：由题意，可知点 A 的横坐标是±2，由点 A 在正比例函数 y＝2x 的图象上， ∴点 A 的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4），又∵点 A 在反比例函数 y＝（m 为常数）的图象上， ∴m+1＝8，即 m＝7，故选：D．【点评】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题．先由点的坐标求函数解析式，体现了数形结合的思想． 10．（3 分）如图，从一张腰长为 90cm，顶角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　） A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm 【分析】根据等腰三角形的性质得到 OE 的长，再利用弧长公式计算出弧 CD 的长，设圆锥的底面圆的半径为 r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴OE＝ OA＝45cm， ∴弧 CD 的长＝＝30π，设圆锥的底面圆的半径为 r，则 2πr＝30π，解得 r＝15．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11．（3 分）把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余 6 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人就分不到 3 本，这些书有______本，共有______人．（　　） A．27 本，7 人 B．24 本，6 人 C．21 本，5 人 D．18 本，4 人【分析】设有 x 名同学，则就有（3x+6）本书，根据每名同学分 5 本，那么最后一人就分不到 3 本的不等关系建立不等式组求出其解即可．【解答】解：设有 x 名同学，则就有（3x+6）本书，由题意，得：0≤3x+6﹣5（x﹣1）＜3，解得：4＜x≤5.5， ∵x 为非负整数， ∴x＝5． ∴书的数量为：3×5+6＝21．故选：C．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键． 12．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB 则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（　　）＝ S 矩形 ABCD， A．2 B．2 C．3 D．【分析】先由 S△PAB ＝ S 矩形 ABCD，得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形 ABE 中，由勾股定理求得 BE 的值，即可得到 PA+PB 的最小值．【解答】解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h． ∵S△PAB＝ S 矩形 ABCD， ∴AB•h＝ AB•AD， ∴h＝ AD＝2， ∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离．在 Rt△ABE 中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4， ∴BE＝＝＝2 ，即 PA+PB 的最小值为 2 故选：A．．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）因式分解：x2y﹣y3＝　y（x+y）（x﹣y）　．【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为 y（x+y）（x﹣y）【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，属于中考常考题型、 14．（3 分）一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0 的根是　x1＝，x2＝　．【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5， x＝，所以 x1＝，x2＝．故答案为 x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 15．（3 分）若实数 m、n 满足|m﹣3|+ 直角三角形的斜边长为　5　．＝0，且 m、n 恰好是直角三角形的两条边，则该【分析】利用非负数的性质求出 m，n 即可解决问题．【解答】解：∵|m﹣3|+ ＝0，又∵|m﹣3|≥0， ∴m＝3，n＝4， ≥0， ∴直角三角形的斜边＝＝5，故答案为 5．【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是边 AB 上的一点，CD⊥AB 于 D， AD＝2，BD＝6，则边 AC 的长为　4　．【分析】根据射影定理列式计算即可．【解答】解：由射影定理得，AC2＝AD•AB＝2×（2+6），解得，AC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 17．（3 分）如图，把一张长为 4，宽为 2 的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为　 2.5　．【分析】设 BF 长为 x，则 CF＝x，FD＝4﹣x，在直角三角形 CDF 中，利用勾股定理可求出 x，继而利用三角形面积公式进行计算求解．【解答】解：设 BF 长为 x，则 FD＝4﹣x， ∵∠ACB＝∠BCE＝∠CBD， ∴△BCF 为等腰三角形，BF＝CF＝x，在 Rt△CDF 中，（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝2.5， ∴BF＝2.5， ∴S△BFC＝ BF×CD＝ ×2.5×2＝2.5．即重叠部分面积为 2.5．故答案为：2.5．【点评】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出 BF 的长是解答此题的关键． 18．（3 分）观察下列式子第 1 个式子：2×4+1＝9＝32 第 2 个式子：6×8+1＝49＝72 第 3 个式子：14×16+1＝225＝152 …… 请写出第 n 个式子：　（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2　．【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大 2）与 1 的和；右边是比左边第一个因数大 1 的数的平方；②第 1 个式子的第一个因数是 22﹣2，第 2 个式子的第一个因数是 23﹣2，第 3 个式子的第一个因数是 24﹣2，以此类推，得出第 n 个式子的第一个因数是 2n+1﹣2，从而能写出第 n 个式子．【解答】解：∵第 1 个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，第 2 个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，第 3 个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2， …… ∴第 n 个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，根据已知得出等式左边第一个因数的规律是解题关键．三、解答题（本大题共 7 小题，共 46 分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） ﹣3 19．（5 分）计算（2019﹣π）0﹣2sin30°+ +（﹣ ）．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值 4 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣2× +2 ﹣8＝1﹣1+2 ﹣8＝2 ﹣8．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20．（5 分）如图，点 E、C 在线段 BF 上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：∠ABC＝∠ DEF．【分析】先证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可求出∠ABC＝∠ DEF．【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF，在△ABC 与△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠ABC＝∠DEF 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定，本题属于基础题型． 21．（6 分）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了　100　名学生；若该校共有 1500 名学生，估计全校爱好运动的学生共有　600　名；（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　108°　；（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　　．【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．【解答】解：（1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40% ∴共调查人数为：40÷40%＝100，爱好运动的学生人数所占的百分比为 40%， ∴全校爱好运动的学生共有：1500×40%＝600 人；故答案为：100，600；（2）爱好上网的人数所占百分比为 10% ∴爱好上网人数为：100×10%＝10， ∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10＝30，补全条形统计图，如图所示，阅读部分圆心角是 360°× 故答案为：108；＝108°，（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比 30%， ∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为；故答案为：．【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型． 22．（6 分）列方程（组）解应用题绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 600 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成任务，则原计划每天种树多少棵？【分析】设原计划每天种树 x 棵．根据工作量＝工作效率×工作时间列出方程，解答即可．【解答】解：设原计划每天种树 x 棵．由题意，得 ﹣＝4 解得，x＝75 经检验，x＝75 是原方程的解．答：原计划每天种树 75 棵．【点评】此题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程类问题主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． 23．（6 分）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 B 处时，测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 20 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，小岛 A 周围 10 海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．【分析】过 A 作 AD⊥BC 于点 D，求出∠CAD、∠DAB 的度数，求出∠BAC 和∠ABC，根据等边对等角得出 AC＝BC＝12，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 CD，根据勾股定理求出 AD 即可．【解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°， ∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴∠BAC＝30°＝∠ABC， ∴CB＝CA＝20，在 Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，sin∠ACD＝ ∴sin60°＝ ∴AD＝20×sin60°＝20× ∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．，，＝10 ＞10，【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 24．（8 分）如图，在△ABC 中．∠ABC＝∠ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N，点 P 在 AB 的延长线上，且∠BCP＝ ∠BAC．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若 BC＝3 ，cos∠BCP＝，求点 B 到 AC 的距离．【分析】（1）证明△ABC 为等腰三角形，则∠NAC+∠NCA＝90°，即 α+∠ACB＝90°，即可求解；（2）在△ACN 中，AN＝ AC•h，即可求解．＝，同理 AC＝，利用 S△ABC＝ AN×BC＝【解答】解：（1）连接 AN，则 AN⊥BC， ∵∠ABC＝∠ACB，∴△ABC 为等腰三角形， ∴∠BAN＝CAN∠＝α＝ BAC＝∠BCP， ∠NAC+∠NCA＝90°，即 α+∠ACB＝90°， ∴CP 是⊙O 的切线；（2）∵△ABC 为等腰三角形， ∴NC＝ BC＝ cos∠BCP＝，＝cosα，则 tanα＝，在△ACN 中，AN＝同理 AC＝设：点 B 到 AC 的距离为 h，＝，，则 S△ABC＝ AN×BC＝ AC•h，即： ×3 ＝h，解得：h＝，故点 B 到 AC 的距离为．【点评】本题考查的是切线定理的判断与运用，涉及到解直角三角形、三角形面积计算等，难度适中． 25．（10 分）已知：如图，抛物线 y＝ax2+bx+3 与坐标轴分别交于点 A，B（﹣3，0），C （1，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 作 PE∥x 轴交抛物线于点 E，连接 DE，请问是否存在点 P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）设点 P 横坐标为 t，过点 P 作 PF∥y 轴交 AB 于点 F，求直线 AB 解析式，即能用 t 表示点 F 坐标，进而表示 PF 的长．把△PAB 分成△PAF 与△PBF 求面积和，即得到△ PAB 面积与 t 的函数关系，配方即得到 t 为何值时，△PAB 面积最大，进而求得此时点 P 坐标．（3）设点 P 横坐标为 t，即能用 t 表示 PD 的长．根据对称性可知点 P、E 关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用 t 表示点 E 横坐标，进而用 t 表示 PE 的长（注意点 P、 E 左右位置不确定，需分类讨论）．由于△PDE 要成为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，所以 PD＝PE，把含 t 的式子代入求值即得到点 P 坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3 过点 B（﹣3，0），C（1，0） ∴解得： ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3 （2）过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，交 AB 于点 F ∵x＝0 时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3 ∴A（0，3） ∴直线 AB 解析式为 y＝x+3 ∵点 P 在线段 AB 上方抛物线上 ∴设 P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0） ∴F（t，t+3） ∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF ＝） PF•OH+ PF•BH＝ PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣ （t+ 2+∴点 P 运动到坐标为（﹣ ，），△PAB 面积最大（3）存在点 P 使△PDE 为等腰直角三角形设 P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则 D（t，t+3） ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∵抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴对称轴为直线 x＝﹣1 ∵PE∥x 轴交抛物线于点 E ∴yE＝yP，即点 E、P 关于对称轴对称 ∴＝﹣1 ∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t| ∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE＝90° ∴PD＝PE ①当﹣3＜t≤﹣1 时，PE＝﹣2﹣2t ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2 ∴P（﹣2，3） ②当﹣1＜t＜0 时，PE＝2+2t ∴﹣t2﹣3t＝2+2t 解得：t1＝ ∴P（，t2＝（舍去），）综上所述，点 P 坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE 为等腰直角三角形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去．