2019年湖南省湘潭市中考数学试题（Word版，含解析）下载

2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号 涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3分）下列各数中是负数的是（　　） A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D． 2．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A． C． B． D． 3．（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约 24000人，24000用科学 记数法表示为（　　） A．0.24×105 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a3＝a2 B．（a2）3＝a5 B．2.4×104 C．2.4×103 D．24×103 C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2 5．（3分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则 c＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣4 6．（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的 “两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁 3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地 又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行 调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确 的是（　　） A．平均数是 8 B．众数是 11 C．中位数是 2 D．极差是 10 7．（3分）如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD ＝（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小 型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣 120个物件所用的时 间与小江分拣 90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣 20个物件．若 设小江每小时分拣 x 个物件，则可列方程为（　　） A． C． ＝B． D． ＝＝＝二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3分）函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是　． 10．（3分）若 a+b＝5，a﹣b＝3，则 a2﹣b2＝　． 11．（3分）为庆祝新中国成立 70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是　． 12．（3分）计算：（ ）﹣1＝　． 13．（3 分）将一次函数 y＝3x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的函数表达式 为　． 14．（3分）四边形的内角和是　 　． 15．（3分）如图，在四边形 ABCD 中，若 AB＝CD，则添加一个条件　 边形 ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 　，能得到平行四 16．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积 所用的经验公式是：弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如 图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差，运用垂径定理（当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB）可以求解．现已知弦 AB＝8米， 半径等于 5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为　平方米． 三、解答题（本大题共 10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程 写在答题卡相应位置上，满分 72 分） 17．（6分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外， 还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2） 立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2） 根据材料和已学知识，先化简，再求值： ﹣，其中 x＝3． 19．（6分）我国于 2019年 6月 5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技 术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点 M 处垂直海面发射，当火箭 到达点 A 处时，海岸边 N 处的雷达站测得点 N 到点 A 的距离为 8千米，仰角为 30°．火 箭继续直线上升到达点 B 处，此时海岸边 N 处的雷达测得 B 处的仰角增加 15°，求此时 火箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离．（结果精确到 0.1千米）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 20．（6分）每年 5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题 的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体 2000名师生进行了心理测评， 随机抽取 20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ①数据收集：抽取的 20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数 x 人数 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60 5aB521等第 ACDE③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的 a＝　 　． （2）心理测评等第 C 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　 　． （3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师 生需要参加团队心理辅导？ 21．（6分）如图，将△ABC 沿着 AC 边翻折，得到△ADC，且 AB∥CD． （1）判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； （2）若 AC＝16，BC＝10，求四边形 ABCD 的面积． 22．（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考 方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参 加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关， 例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生 物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等， 请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴的正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴的正 半轴相切于点 C，连接 MA、MC，已知⊙M 半径为 2，∠AMC＝60°，双曲线 y＝ （x＞0） 经过圆心 M． （1）求双曲线 y＝ 的解析式； （2）求直线 BC 的解析式． 24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特 色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种 湘莲礼盒进价 72元/盒，售价 120元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40元/盒，售价 80元/盒， 这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800元，平均每天的总利润为 1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3元可多卖 1盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和 销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大， 最大是多少元？ 25．（10分）如图一，抛物线 y＝ax2+bx+c 过 A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若 y1≤y2，求 P 点横坐标 x1的取值 范围； （3）如图二，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E，该抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连结 CD、CB，点 F 为线段 CB 的中点，点 M、N 分别为直线 CD 和 CE 上的动点，求△FMN 周长的最小值． 26．（10分）如图一，在射线 DE 的一侧以 AD 为一条边作矩形 ABCD，AD＝5 ，CD＝5，点 M 是线段 AC 上一动点（不与点 A 重合），连结 BM，过点 M 作 BM 的垂线交射线 DE 于点 N， 连接 BN． （1）求∠CAD 的大小； （2）问题探究：动点 M 在运动的过程中， ①是否能使△AMN 为等腰三角形，如果能，求出线段 MC 的长度；如果不能，请说明理 由． ②∠MBN 的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN 的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决： 如图二，当动点 M 运动到 AC 的中点时，AM 与 BN 的交点为 F，MN 的中点为 H，求线段 FH 的长度． 2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号 涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3分）下列各数中是负数的是（　　） A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D． 【分析】根据负数的定义可得 B 为答案． 【解答】解：﹣3的绝对值＝3＞0； ﹣3＜0； ﹣（﹣3）＝3＞0； ＞0． 故选：B． 【点评】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感． 2．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A． C． B． D． 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表 现在三视图中． 3．（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约 24000人，24000用科学 记数法表示为（　　） A．0.24×105 B．2.4×104 C．2.4×103 D．24×103 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答】解：将 24000用科学记数法表示为：2.4×104， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a3＝a2 B．（a2）3＝a5 C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2 【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求 每个式子的值，再判断即可． 【解答】解：A、结果是 a3，故本选项不符合题意； B、结果是 a6，故本选项不符合题意； C、结果是 5a，故本选项不符合题意； D、结果是 6a2，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式 等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键． 5．（3分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则 c＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣4 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 c 的一元一次方程， 解方程即可得出结论． 【解答】解：∵方程 x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0， 解得：c＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合 根的判别式得出关于 c 的一元一次方程是解题的关键． 6．（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的 “两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁 3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地 又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行 调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确 的是（　　） A．平均数是 8 B．众数是 11 C．中位数是 2 D．极差是 10 【分析】从条形统计图中可以知道共调查 40人，选择公交 7人，火车 2人，地铁 13人， 轻轨 11人，其它 7人， 极差为 13﹣2＝11，故 D 不正确；出现次数最多的是 13，即众数是 13，故 B 不正确，从 小到大排列，第 20、21个数都是 13，即中位数是 13，故 C 是不正确的； （7+2+13+11+7）÷5＝8，即平均数是 8，故 A 事正确的． 【解答】解：（7+2+13+11+7）÷5＝8，即平均数是 8，故 A 事正确的． 出现次数最多的是 13，即众数是 13，故 B 不正确， 从小到大排列，第 20、21个数都是 13，即中位数是 13，故 C 是不正确的； 极差为 13﹣2＝11，故 D 不正确； 故选：A． 【点评】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意 义是解决问题的前提． 7．（3分）如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD ＝（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，然后根据图形即 可求出∠AOD． 【解答】解：∵△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置， ∴∠BOD＝70°， 而∠AOB＝40°， ∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等， 对应角相等等知识． 8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小 型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣 120个物件所用的时 间与小江分拣 90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣 20个物件．若 设小江每小时分拣 x 个物件，则可列方程为（　　） A． C． ＝B． D． ＝＝＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ，故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应 的分式方程． 二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3分）函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是　x≠6　． 【分析】根据分母不等于 0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣6≠0， 解得 x≠6． 故答案为：x≠6． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．（3分）若 a+b＝5，a﹣b＝3，则 a2﹣b2＝　15　． 【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可． 【解答】解：∵a+b＝5，a﹣b＝3， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝5×3 ＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键． 11．（3分）为庆祝新中国成立 70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是　． 【分析】随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果 数． 【解答】解：选出的恰为女生的概率为 故答案为 【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键． 12．（3分）计算：（ ﹣1＝　4　． 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． ，．）﹣1 【解答】解：（ ）＝＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数． 13．（3分）将一次函数 y＝3x 的图象向上平移 2个单位，所得图象的函数表达式为　y＝ 3x+2　． 【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可． 【解答】解：将正比例函数 y＝3x 的图象向上平移 2个单位后所得函数的解析式为 y＝ 3x+2， 故答案为：y＝3x+2． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此 题的关键． 14．（3分）四边形的内角和是　360°　． 【分析】根据 n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和． 【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°． 故四边形的内角和为 360°． 故答案为：360°． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单． 15．（3分）如图，在四边形 ABCD 中，若 AB＝CD，则添加一个条件　AD＝BC　，能得到平行 四边形 ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 【分析】可再添加一个条件 AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四 边形 ABCD 是平行四边形． 【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC． 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理 是解题的关键． 16．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积 所用的经验公式是：弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如 图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差，运用垂径定理（当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB）可以求解．现已知弦 AB＝8米， 半径等于 5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为　10　平方米． 【分析】根据垂径定理得到 AD＝4，由勾股定理得到 OD＝ 2，根据弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）即可得到结论． ＝3，求得 OA﹣OD＝ 【解答】解：∵弦 AB＝8米，半径 OC⊥弦 AB， ∴AD＝4， ∴OD＝ ＝3， ∴OA﹣OD＝2， ∴弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）＝ ×（8×2+22）＝10， 故答案为：10． 【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答． 三、解答题（本大题共 10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程 写在答题卡相应位置上，满分 72 分） 17．（6分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解： ，解不等式①得，x≤3， 解不等式②，x＞﹣1， 所以，原不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 在数轴上表示如下： ．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求 不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无 解）． 18．（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外， 还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2） 立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2） 根据材料和已学知识，先化简，再求值： ﹣，其中 x＝3． 【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即 可解答本题． 【解答】解： ﹣＝＝＝，当 x＝3时，原式＝ ＝2． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（6分）我国于 2019年 6月 5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技 术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点 M 处垂直海面发射，当火箭 到达点 A 处时，海岸边 N 处的雷达站测得点 N 到点 A 的距离为 8千米，仰角为 30°．火 箭继续直线上升到达点 B 处，此时海岸边 N 处的雷达测得 B 处的仰角增加 15°，求此时 火箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离．（结果精确到 0.1千米）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出 BM 的长． 【解答】解：如图所示：连接 OR，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45 °，AN＝8km， 在直角△AMN 中，MN＝AN•cos30°＝8× ＝4 （km）． 在直角△BMN 中，BM＝MN•tan45°＝4 km≈6.9km． 答：此时火箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离约为 6.9km． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角 三角形并解直角三角形． 20．（6分）每年 5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题 的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体 2000名师生进行了心理测评， 随机抽取 20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ①数据收集：抽取的 20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数 x 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60 人数 等第 5aB521ACDE③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的 a＝　7　． （2）心理测评等第 C 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　90°　． （3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师 生需要参加团队心理辅导？ 【分析】（1）根据 D 组人数以及百分比求出总人数，再求出 a 即可． （2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可． （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）总人数＝2÷10%＝20（人），a＝20×35%＝7， 故答案为 7． （2）C 所占的圆心角＝360°× 故答案为 90°． ＝90°， （3）2000× ＝100（人）， 答：估计有 100名师生需要参加团队心理辅导． 【点评】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（6分）如图，将△ABC 沿着 AC 边翻折，得到△ADC，且 AB∥CD． （1）判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； （2）若 AC＝16，BC＝10，求四边形 ABCD 的面积． 【分析】（1）由折叠的性质得出 AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，由平 行线的性质得出∠BAC＝∠DAC，得出∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，证出 AD∥BC，AB＝AD ＝BC＝CD，即可得出结论； （2）连接 BD 交 AC 于 O，由菱形的性质得出 AC⊥BD，OA＝OB＝ AC＝8，OB＝OD，由勾 股定理求出 OB＝ ＝6，得出 BD＝2OB＝12，由菱形面积公式即可得出答案． 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形；理由如下： ∵△ABC 沿着 AC 边翻折，得到△ADC， ∴AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形 ABCD 是菱形； （2）连接 BD 交 AC 于 O，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝8，OB＝OD， ∴OB＝ ＝＝6， ∴BD＝2OB＝12， ∴四边形 ABCD 的面积＝ AC×BD＝ ×16×12＝96． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等 知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形 ABCD 是菱形是解题的关键． 22．（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考 方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参 加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关， 例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生 物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等， 请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果； （2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解 可得． 【解答】解：（1）画树状图如下， 由树状图知，共有 12种等可能结果； （2）画树状图如下 由树状图知，共有 9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有 1种结果， 所以他们恰好都选中政治的概率为 ．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴的正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴的正 半轴相切于点 C，连接 MA、MC，已知⊙M 半径为 2，∠AMC＝60°，双曲线 y＝ （x＞0） 经过圆心 M． （1）求双曲线 y＝ 的解析式； （2）求直线 BC 的解析式． 【分析】（1）先求出 CM＝2，再判断出四边形 OCMN 是矩形，得出 MN，进而求出点 M 的坐 标，即可得出结论； （2）先求出点 C 的坐标，再用三角函数求出 AN，进而求出点 B 的坐标，即可得出结 论． 【解答】解：（1）如图，过点 M 作 MN⊥x 轴于 N， ∴∠MNO＝90°， ∵⊙M 切 y 轴于 C， ∴∠OCM＝90°， ∵∠CON＝90°， ∴∠CON＝∠OCM＝∠ONM＝90°， ∴四边形 OCMN 是矩形， ∴AM＝CM＝2，∠CMN＝90°， ∵∠AMC＝60°， ∴∠AMN＝30°， 在 Rt△ANM 中，MN＝AM•cos∠AMN＝2× ＝，∴M（2， ）， ∵双曲线 y＝ （x＞0）经过圆心 M， ∴k＝2× ＝2 ，∴双曲线的解析式为 y＝ （x＞0）； （2）如图，过点 B，C 作直线， 由（1）知，四边形 OCMN 是矩形， ∴CM＝ON＝2，OC＝MN＝ ∴C（0， ）， ，在 Rt△ANM 中，∠AMN＝30°，AM＝2， ∴AN＝1， ∵MN⊥AB， ∴BN＝AN＝1，OB＝ON+BN＝3， ∴B（3，0）， 设直线 BC 的解析式为 y＝k’x+b， ∴∴，，∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+ ．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待 定系数法，求出点 M 的坐标是解本题的关键． 24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特 色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种 湘莲礼盒进价 72元/盒，售价 120元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40元/盒，售价 80元/盒， 这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800元，平均每天的总利润为 1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3元可多卖 1盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和 销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大， 最大是多少元？ 【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒，列二元一次方 程组即可解题 （2）根据题意，可设 A 种礼盒降价 m 元/盒，则 A 种礼盒的销售量为：（10+ ）盒，再 列出关系式即可． 【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒， 则有 ，解得 故该店平均每天销售 A 礼盒 10盒，B 种礼盒为 20盒． （2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元/盒，利润为 W 元，依题意 总利润 W＝（120﹣m﹣72）（10+ ）+800 化简得 W＝ ∵a＝ ＜0 m2+6m+1280＝﹣ （m﹣9）2+1307 ∴当 m＝9时，取得最大值为 1307， 故当 A 种湘莲礼盒降价 9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函 数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选 择最优方案． 25．（10分）如图一，抛物线 y＝ax2+bx+c 过 A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若 y1≤y2，求 P 点横坐标 x1的取值 范围； （3）如图二，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E，该抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连结 CD、CB，点 F 为线段 CB 的中点，点 M、N 分别为直线 CD 和 CE 上的动点，求△FMN 周长的最小值． 【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出 a、b、c，即可求出关系式； （2）可以求出点 Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x＝﹣2，根据函数的增减 性，可以求出当 y1≤y2时 P 点横坐标 x1的取值范围； （3）由于点 F 是 BC 的中点，可求出点 F 的坐标，根据对称找出 F 关于直线 CD、CE 的对 称点，连接两个对称点的直线与 CD、CE 的交点 M、N，此时三角形的周长最小，周长就等 于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c 过 A（﹣1，0）B（3.0）、C（0， ）三点 ∴解得：a＝ ，b＝ ，c＝ ；∴抛物线的解析式为：y＝ x2+ x+ ．（2）抛物线的对称轴为 x＝1，抛物线上与 Q（4，y2）相对称的点 Q′（﹣2，y2） P（x1，y1在该抛物线上，y1≤y2，根据抛物线的增减性得： ∴x1≤﹣2或 x1≥4 答：P 点横坐标 x1的取值范围：x1≤﹣2或 x1≥4． （3）∵C（0， ），B，（3，0），D（1，0） ∴OC＝ ，OB＝3，OD，＝1 ∵F 是 BC 的中点， ∴F（ ，）当点 F 关于直线 CE 的对称点为 F′，关于直线 CD 的对称点为 F″，直线 F′F″与 CE、CD 交点为 M、N，此时△FMN 的周长最小，周长为 F′F″的长，由对称可得到：F′（ ），F″（0，0）即点 O， ，F′F″＝F′O＝ ＝3， 即：△FMN 的周长最小值为 3， 【点评】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最 小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关 键． 26．（10分）如图一，在射线 DE 的一侧以 AD 为一条边作矩形 ABCD，AD＝5 ，CD＝5，点 M 是线段 AC 上一动点（不与点 A 重合），连结 BM，过点 M 作 BM 的垂线交射线 DE 于点 N， 连接 BN． （1）求∠CAD 的大小； （2）问题探究：动点 M 在运动的过程中， ①是否能使△AMN 为等腰三角形，如果能，求出线段 MC 的长度；如果不能，请说明理 由． ②∠MBN 的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN 的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决： 如图二，当动点 M 运动到 AC 的中点时，AM 与 BN 的交点为 F，MN 的中点为 H，求线段 FH 的长度． 【分析】（1）在 Rt△ADC 中，求出∠DAC 的正切值即可解决问题． （2）①分两种情形：当 NA＝NM 时，当 AN＝AM 时，分别求解即可． ②∠MBN＝30°．利用四点共圆解决问题即可． （3）首先证明△ABM 是等边三角形，再证明 BN 垂直平分线段 AM，解直角三角形即可解 决问题． 【解答】解：（1）如图一（1）中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵tan∠DAC＝ ＝＝，∴∠DAC＝30°． （2）①如图一（1）中，当 AN＝NM 时， ∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM， ∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL）， ∴BA＝BM， 在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝5， ∴AC＝2AB＝10， ∵∠BAM＝60°，BA＝BM， ∴△ABM 是等边三角形， ∴AM＝AB＝5， ∴CM＝AC﹣AM＝5． 如图一（2）中，当 AN＝AM 时，易证∠AMN＝∠ANM＝15°， ∵∠BMN＝90°， ∴∠CMB＝75°，∵∠MCB＝30°， ∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴∠CMB＝∠CBM， ∴CM＝CB＝5 ，综上所述，满足条件的 CM 的值为 5或 5 ．②结论：∠MBN＝30°大小不变． 理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN＝180°， ∴A，B，M，N 四点共圆， ∴∠MBN＝∠MAN＝30°． 如图一（2）中，∵∠BMN＝∠BAN＝90°， ∴A，N，B，M 四点共圆， ∴∠MBN+∠MAN＝180°， ∵∠DAC+∠MAN＝180°， ∴∠MBN＝∠DAC＝30°， 综上所述，∠MBN＝30°． （3）如图二中， ∵AM＝MC， ∴BM＝AM＝CM， ∴AC＝2AB， ∴AB＝BM＝AM， ∴△ABM 是等边三角形， ∴∠BAM＝∠BMA＝60°， ∵∠BAN＝∠BMN＝90°， ∴∠NAM＝∠NMA＝30°， ∴NA＝NM， ∵BA＝BM， ∴BN 垂直平分线段 AM， ∴FM＝ ∴NM＝ ，＝，∵∠NFM＝90°，NH＝HM， ∴FH＝ MN＝ ．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直 角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考 压轴题．