2019年江苏省南通市中考数学试题（Word版，含解析）下载

南通市2019年初中毕业、升学考试试卷 数 学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1. 本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一 并交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答 题卡指定的位置。 3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的） 1．下列选项中，比—2℃低的温度是（ ）A．—3℃ 2．化简 12 的结果是（ A． 4 3B． 2 3 3．下列计算，正确的是（ B．—1℃ C．0℃ D．1℃ ）C．3 2 D． 2 6 ）3A． a2 a3  a6 B． 2a2  a  a C． a6  a2  a3 D．（a2） a6 4．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ A．球 B．圆锥 C．圆柱 ）D．棱柱 3a  2b  4, 5．已知a、b满足方程组 则a+b的值为（ ）2a  3b  6, A．2 B．4 C．—2 D．—4 6．用配方法解方程 x2 8x  9  0 ，变形后的结果正确的是（ ） 2222A． x  4  9 B． x  4  7 C． x  4  25 D． x  4  7 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O， 在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3（如图）．以O为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ） A．1和2之间 8．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED读数为（ ） A．110° B．125° C．135° D．140° B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 9．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单 位：min）的函数图像，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一 部分。下列说法不正确的是（ ） A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 s  32t  40（0 25 t  50） C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 2s  （3 t  20）120（0 5  t  20） 10．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0<α<120° ）得到 AB’C’ ，B’C’ 与BC，AC分别交于点D，E。设CD  DE  x ，AEC’ 的面积为 y，则 y 与 x 的函数图像大致为（ ） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程） 011．计算： 22 （ 3 1） ．12．5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为 13．分解因式： x3  x  14．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE =CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度． ．．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出 九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如 果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？ ”设共有 x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．16．已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm． 17．如图，过点C（3,4）的直线 y  2x  b 交x轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线 个单位长度恰好落在该曲线上，则 a 的 ky  （x  0）过点B，将点A沿 y轴正方向平移 ax值为 ．18．如图， ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则 3PB  PD 的最小值等于 ．2三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 4x 1 19．（本小题满分8分）解不等式：  x 1，并在数轴上表示解集． 34m  4 m  2 20．（本小题满分8分）先化简，再求值： m  ，其中 m  2  2 ．mm2 21．（本小题满分8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一 个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连接 BC并延长到点E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？ 22．（本小题满分9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这 些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、 1个黄球的概率． 23．（本小题满分8分）列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《 西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格 多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套 《三国演义》的价格． 24．（本小题满分10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了 统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于 或等于9分为优秀）． 平均分 7.2 方差 2.11 4.28 中位数 众数 合格率 92.5% 85% 优秀率 20% 一班 二班 78686.85 10% 根据图表信息，回答问题： （1）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些； （2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读 水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？ 25．（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC 上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B． （1）求⊙O的半径； ⌒（2）点P为 中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长； AB （3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值． 26．（本小题满分10分）已知：二次函数 y  x2  4x  3a （2 a为常数） （1）请写出该二次函数图像的三条性质； ．（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像在 x  4 的部分与一次函数 y  2x 1 的图像有两个交点，求 a 的取值范围． 27、（13分）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E,FF分别在AD,BC上，点A与点C关于EF 所在的直线对称，P是边DC上的一动点， （1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形； DP （2）当 PEF 的周长最小时，求 的值； CP （3）连接BP交EF于点M，当 EMP  45时，求CP的长。 28、（13分）定义：若实数x，y满足 x2  2y  t ，y2  2x  t ，且 x  y ，则称点M（x ，y）为“现点”。例如，点（0,2）和（-2,0）是“线点”。 已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）， （1） P（3,1） 和P（-3,1）两点中，点 是“线点”； 12（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围； （3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当 POQ  AOB  30时，直接写出t的值。 南通市2019年初中毕业、升学考试试卷 数学参考答案 1．A 解析：本题考查了有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，因此—3比— 2小． 2．B 解析：本题考查了二次根式的化简， 12  43  2 3 3．D ．解析：本题考查了幂的运算法则，A项正确结果应该是 a5 ；B项不是同类项，不能合并；C 项同底数幂相除，底数不变，指数相减，正确答案应该是 a4 ；D项正确运用了幂的乘方公 式，正确． 4．C 解析：本题考查了常见几何体的三视图，球的三种视图都是圆；圆锥的三视图中有两个是 三角形，一个是圆，不符合；棱柱的三视图中没有圆，也不正确． 5．A 解析：直接将两个方程相加，可得5a  5b 10 ，化简得 a  b  5 6．D ．解析：本题考查了配方法解一元二次方程，本题首先要移项，得 x2 8x  9 ，然后两边 同时加上一次项系数一半的平方是16，得 x2 8x 16  7 ，然后将左边化为平方的形式． 7．C 解析：本题考查了勾股定理和无理数的估值，由作法过程可知，OA=2，AB=3，利用勾股 定理可得OB= 13 ，则P点所表示的数就是 13 8．B ，9  13  16 ．解析：本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，由AB∥CD，可知∠BAC+∠C=180° ，所以∠CAB=110°．又由于AE平分∠BAC，所以∠CAE=55°，所以∠AED=∠C+∠CA E=125°． 9．C 解析：本题考查了函数图像的应用问题，C项的图像由陡变平，说明速度是变慢的，所以C 是错误的． 10．B 解析：本题考查的是几何综合题，用到全等和函数的知识，也可以用轴对称的知识来解决 ，从轴对称的角度，整个图形是一个轴对称图形，CD  B’D ，因此 B’E  x ，又由已知 条件可求得 B’C  2 3，所以C’E  2 3 x ，对于 AC’E 来说，底为C’E ，高是AH 1，可利用30°所对直角边等于斜边一半求得AH等于1，所以 y  3  x ，所以本题答案 2为B． 011．3 解析：本题考查了实数的计算， 22 （ 3 1） 4 1 3 ．12．3108 解析：本题考查了科学计数法，300000000=3100000000 13． x(x 1)(x 1) =3108 ．解析：本题考查了分解因式，遵循先提取公因式，再利用平方差公式的顺序， x3  x  x(x2 1)  x(x 1)(x 1) 14．70 ．解析：本题考查了全等的判定，先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25° ，即可求出∠ACF=45°+25°=70°． 15．9x 11 6x 16 解析：本题考查了一元一次方程的应用，总钱数=9×人数— 11；总钱数=6×人数+16． 16．5 解析：本题考查了圆锥侧面积公式，根据 S侧 πRr ，可知10ππ R2 ，可求得R=5． 17．4 解析：本题考查了反比例函数与几何图形的综合，可考虑分别过点B 、点C作 y 轴和 x 轴的平行线，两条平行线相交于点M，与 x 轴的交 点为N．将C（3,4）代入 y  2x  b 可得b=— 2，然后求得A点坐标为（1,0），利用全等的判定可证明△ABN≌△B CM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B（4,1），即可求出k=4，A点向上平移4个单位 4后得到的点（1,4）在 y  上，即a=4． x18．3 3 解析：本题考查了平行四边形的性质和线段之和最短问题，过点P作PQ⊥AD于点Q，由于 3∠PDQ=60°，因此 PQ  PD ，当B、P、Q三点共线时，即点B到AD的垂线段上即为 233PB  PD 的最小值， PB  PD 的最小值为 ABcos60  3 3 ．2219．解析：本题考查了一元一次不等式的解法，按照去父母、去括号、合并同类项的步骤 做即可． 解：两边同乘以3，得 4x 13x  3 ．移项，得 4x 3x  31．合并同类项，得 x  4 ．把解集在数轴上表示为： 20．解析：本题考查分式的化简求值，按照先将分子、父母因式分解，然后约分化简，最 后代入求值的步骤来做． m2  4m  4 m2 (m  2)2 m2 解：原式  m2  2m ．mm  2 mm  2 把m  2  2代入上式，原式  m2  2m  m(m  2)  ( 2 2) 2 2  2 2 ．21．解析：本题考查了全等的应用，本题只需证明△ABC与△DEC全等，即可通过全等三 角形对边相等来完成证明． CA  CD, ACB  DCE, 证明：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC．∴AB=DE． CB  CE, 22．解析：本题考查了概率的求法，可先画出树状图列出所有可能性． 解：根据题意画出树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等．其中1白1 3612黄的有3种．所以 P(1白1黄)  ．23．解析：本题考查了分式方程的应用问题，题目中包含两个相等关系，“《西游记》单 价=《三国演义》单价+40元”，“3200元购买《三国演义》的套数=用2400元购买《西游 记》套数的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程． 解：设每套《三国演义》的价格为 x元，则每套《西游记》的价格为 x  40 元． 3200 2400 由题意，得  2 ．方程两边乘 x(x  40) ，得320（0 x  40） 4800x ．xx  40 解得 x  80．经检验， x  80是原方程的解，且符合题意．所以，原分式方程的解为 x  80 ．答：每套《三国演义》的价格为80元． 24．解析：本题考查了数据的收集整理与描述，在解决第2个问题的时候一定要注意． 解：（1）二 一 （2）乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中 可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值 影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．（答案 不唯一，理由只要有理有据，参照给分） 25．解析：本题考查了圆、勾股定理、垂径定理等知识． （1）若连接OB．则△BCO是一个含30°角的直角三角形，△AOB是底角为30°的等腰三 角形，可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB；（2）可先证明△POQ与△ ABC相似，所以Rt△AOC是一个含30°角的直角三角形，且斜边长为半径长，也可用同角 三角函数值相同来求；（3）可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan ∠PCA的值． 解：（1）连接OB，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°． ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°∴∠OBC=30°． BC OB 12 3 3在Rt△OBC中， cosOBC  ，即 cos30  ．解得OB  ．OB 2 3 即⊙O的半径为 ．3⌒（2）连接OP．∵点P为 的中点，∴OP⊥AB．∴∠QPO=∠A=30°． AB PQ OP OQ OP 在Rt△OPQ中， cosQPO  ，sin QPO  ，PQ OQ 2 3 3即cos30  ，sin30  ．2 3 32 3 32 31   3∴PQ  1 ，OQ  ．3232332 3 3PQ CQ 3（3）在Rt△OBC中，OC  ，∴CQ  ．∴ tan PCA  ．3226．解析：本题考查了二次函数的性质，（1）可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度 来研究；（2）逐一将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横 坐标为4的点，而是抛物线与直线有一个交点． 解：（1）①图像开口向上；②图像的对称轴为直线 x  2 ；③当 x  2 时， 而增大；④当 x  2 时， 的增大而减小；⑤当x  2 时，函数有最小值． （2）∵二次函数的图像与一次函数 y  2x 1的图像有两个交点， y 随 x 的增大 y随 x ∴x2  4x  3a  2  2x 1，即 x2  6x  3a  3  0   36  4(3a  3)  12a  24  0，解得 a  2 ∵二次函数的图像在 x  4 的部分与一次函数 y  2x 1的图像有两个交点， ．．∴二次函数  x2  6x  3a  3 的图像与 x轴x  4 的部分有两个交点． 结合图像，可知 x  4 时， x2  6x  3a  3  0 ．5∴当 x  4 时， x2  6x  3a  3  3a 5  0 ，得 a  ．3∴当二次函数的图像在 x  4 的部分与一次函数 y  2x 1的图像有两个交点时， 5a的取值范围为  a  2 ．327．解析：本题考查了几何综合题．（1）利用垂直平分线的性质证明AE=CE，AF=CF， 然后再利用对称的性质和平行的性质，证得AE=AF，即可证得四条边都相等；（2）△PEF 中，EF长是定值，因此本题考查的实际上是PE+PF的最小值，我们作E关于CD的对称点为 E’，此时 E’F 最小；（3）利用45°构造等腰直角三角形，设BP交AC于点Q，作BN⊥AC 于点N．这时△BQN为等腰直角三角形，△ABN与△ABC相似，先在Rt△ABN中求出BN和 AN的长，然后求出AQ、CQ的长，再根据△BAQ与△PCQ相似，求出PC的长． 解：（1）连接AC，交EF于点O． 由对称可知：OA=OC，AC⊥EF．∴AF=CF． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC． ∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC． ∴△OAE≌△OCF．∴AE=CF． ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴平行四边形AFCE是菱形． （2）∵△PEF的周长=PE+PF+EF，又EF长为定值，∴△PEF的周长最小时，即PE+PF最小 ．作E关于直线CD的对称点 E’，连接 FE’交DC于点 P’ ，则 PE  PF  PE’PF  E’F ，因此，当点P与点 P’ 彼此重合时，△PEF的周长最小． ∵AB=2，AD=4，∴ AC  2 5．∴OC  5 ．OC CF 5由△COF∽△CBA，得 ．∴CF  ．BC CA 253∴DE  BF  4  ．2233DP DE’ 3525由画图可知： DE’ DE  ．由△DE’P ∽△CFP ，得 ．2CP CF 2（3）设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N． ∵∠EMP=45°，∴OM=OQ，NQ=BN． 由∴AB  BC  AC  BN ，得 24  2 5BN ．4NQ  BN  5 ． 5在Rt△ABN中， 2 4525AN  AB2  BN 2  22  55．645∴AQ  AN  NQ  5．CQ  AC  AQ  5 ． 5655AB AQ 24354由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得 ．即 ．解得 PC  ．CP CQ PC 528．解析：本题考查的是利用完全平方公式进行的新定义；（1）由“ x2  2y  t ，y2  2x  t ”消去 t，可得， (x  y)(x  y  2)  0，由于 x  y ，可得 x  y  2  0 ，即 当一个点的横纵坐标之和为— 2的时候，这个点就是线点．利用这一结论很容易判断 P2 是线点；（2）利用完全平方公式 的变形，可用含t 的代数式表示 mn ，然后再利用完全平方公式的非负性求出t 的取值范围 ；（3）如果Q(n,m) 是“线点”那么 m  n  2 ，即Q是直线 y  x  2上一点，又由于 P、Q的横纵坐标互换了位置，因此∠POB=15°（点P在第四象限）或∠POA=15°（点P在 第二象限），这就可以求出P点坐标，代入之前的定义即可求出 解：（1） t 的值． P；2（2）∵ P(m,n) 是“线点”，∴ m2  2n  t ，n2  2m  t ．∴m2  n2  （2 n  m） m2  n2  （2 n  m） 2t ．∵ m  n ，∴ m  n  2 ，．2∴（m  n） 2mn  （2 n  m） 2t ．∴ 4  2mn  4  2t ．∴ mn  t  4 ．22∵∴m  n ，∴（m  n） 0．即（m  n） 4mn  0 ．∴t 3  0 ．解得t  3 ．t的取值范围为t  3 ．10 （3）t  或6． 3