2019年山东省济南市中考数学试卷(解析版)

2019年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（每小题 4分，共 48分） 1．﹣7的相反数是（　　） A．﹣7 B．﹣ 2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　） C．7 D．1 A． C． B． D． 3．2019年 1月 3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经 177.6度、南纬 45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字 177.6用科学记数法表示为（　　） A．0.1776×103 B．1.776×102 C．1.776×103 D．17.76×102 4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 5．实数 a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　） A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0 6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． C．斐波那契螺旋线 7．化简 +的结果是（　　） B． A．x﹣2 D． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的 7次成绩如统计图所示，则这 7次成绩的中位数和平均数分别是（　　） A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 9．函数 y＝﹣ax+a与 y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． C． B． D． 10．如图，在菱形 ABCD中，点 E是 BC的中点，以 C为圆心、CE为半径作弧，交 CD于点 F，连接 AE、AF．若 AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A．9 ﹣3π B．9 ﹣2π C．18 ﹣9π D．18 ﹣6π 11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A测得历下亭 C在北偏东 37°方向，继续向北走 105m后到达游船码头 B，测得历下亭 C在游船码头 B的北编东 53°方向．请计算一下南门 A与历下亭 C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈ ，tan53°≈ ）A．225m B．275m C．300m D．315m 12．关于 x的一元二次方程 ax2+bx+ ＝0有一个根是﹣1，若二次函数 y＝ax2+bx+ 的图象的顶点在第一象限，设 t＝ 2a+b，则 t的取值范围是（　　） A．＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣ ≤t＜ D．﹣1＜t＜二、填空题（每小题 4分，共 24分．） 13．分解因式：m2﹣4m+4＝　　． 14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于　． 15．一个 n边形的内角和等于 720°，则 n＝　　． 16．代数式与代数式3﹣2x的和为 4，则 x＝　　． 17．某市为提倡居民节约用水，自今年 1月 1日起调整居民用水价格．图中 l1、l2分别表示去年、今年水费 y（元）与用水量 x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为 150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多　元． 18．如图，在矩形纸片 ABCD中，将 AB沿 BM翻折，使点 A落在 BC上的点 N处，BM为折痕，连接 MN；再将 CD沿 CE翻折，使点 D恰好落在 MN上的点 F处，CE为折痕，连接 EF并延长交 B M于点 P，若 AD＝8，AB＝5，则线段 PE的长等于　．三、解答题 19．（6分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+ 20．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是 AD和 BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝ DE． 22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买 A种图书花费了 3000元，购买 B种图书花费了 1600元，A种图书的单价是 B种图书的 1.5倍，购买 A种图书的数量比 B种图书多 20本．（1）求 A和 B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8折销售学校当天购买了 A种图书 20本和 B种图书 25本，共花费多少元？ 23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点 C的⊙O的切线交 AB的延长线于点 E，连接 AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若 B是 OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径． 24．（10分）某学校八年级共 400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取 40 名学生的视力数据作为样本，数据统计如下： 4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2 5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3 根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x） x＜4.2 频数 4频率 0.1 ABCDE4.2≤x≤4.4 4.5≤x≤4.7 4.8≤x≤5.0 5.1≤x≤5.3 合计 12 a0.3 b0.25 110 40 根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的 a＝　　，b＝　　；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有 2名男生和 2名女生，现从中随机挑选 2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率． 25．（10分）如图 1，点 A（0，8）、点 B（2，a）在直线 y＝﹣2x+b上，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 B．（1）求 a和 k的值；（2）将线段 AB向右平移 m个单位长度（m＞0），得到对应线段 CD，连接 AC、BD． ①如图 2，当 m＝3时，过 D作 DF⊥x轴于点 F，交反比例函数图象于点 E，求的值； ②在线段 AB运动过程中，连接 BC，若△BCD是以 BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的 m的值． 26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中， AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段 AM绕点 A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段 AN，连接 NB．（1）如图 1，若 M 是线段 BC 上的任意一点，请直接写出∠NAB 与∠MAC 的数量关系是　　，NB与 MC的数量关系是　　；（2）如图 2，点 E是 AB延长线上点，若 M是∠CBE内部射线 BD上任意一点，连接 MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图 3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是 B1C1上的任意点，连接 A1P，将 A1P绕点 A1按顺时针方向旋转 75°，得到线段 A1Q，连接 B1Q．求线段 B1Q长度的最小值． 27．（12分）如图 1，抛物线 C：y＝ax2+bx经过点 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线 C绕点 O旋转 180°，得到新的抛物线 C′．（1）求抛物线 C的函数解析式及顶点 G的坐标；（2）如图 2，直线 l：y＝kx﹣ 经过点A，D是抛物线 C上的一点，设 D点的横坐标为 m（m＜﹣2），连接 DO并延长，交抛物线 C′于点 E，交直线 l于点 M，若 DE＝2EM，求 m 的值；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AG、AB，在直线 DE下方的抛物线 C上是否存在点 P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 1．解：﹣7的相反数为 7，故选：C． 2．解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故 A不符合题意； B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故 B不符合题意； C、主视图是三角形，俯视图是圆，故 C不符合题意； D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故 D符合题意；故选：D． 3．解：177.6＝1.776×102．故选：B． 4．解：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠ABC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝ ∠ABC＝35°，故选：B． 5．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|， ∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0， ∴关系式不成立的是选项 C．故选：C． 6．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C． 7．解：原式＝故选：B． +＝＝，8．解：把这 7个数据从小到大排列处于第 4位的数是 9.7m，因此中位数是 9.7m，平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B． 9．解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合． a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有 D 符合；故选：D． 10．解：连接 AC， ∵四边形 A BCD是菱形， ∴AB＝BC＝6， ∵∠B＝60°，E为 BC的中点， ∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3 ，∴S△AEB＝S△AEC＝ ×6×3 ×＝4.5 ＝S△AFC ，∴阴影部分的面积 S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形 CEF＝4.5 +4.5 ﹣＝9 ﹣3π，故选：A． 11．解：如图，作 CE⊥BA于 E．设 EC＝xm，BE＝ym．在 Rt△ECB中，tan53°＝，即＝＝，在 Rt△AEC中，tan37°＝，即解得 x＝180，y＝135，，∴AC＝＝＝300（m），故选：C． 12．解：∵关于 x的一元二次方程 ax2+bx+ ＝0有一个根是﹣1， ∴二次函数 y＝ax2+bx+ 的图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+ ＝0， ∴b＝a+ ，t＝2a+b，则 a＝ ∵二次函数 y＝ax2+bx+ 的图象的顶点在第一象限， ∴﹣ ＞0，＞0，代入上式得：，b＝，﹣将 a＝，b＝＞0，解得：﹣1＜t＜＞0，解得：t ，﹣或 1＜t＜3，故：﹣1＜t＜故选：D．，二、填空题：（本大题共 6个小题，每小题 4分，共 24分．） 13．解：原式＝（m﹣2）2，故答案为：（m﹣2）2 14．解：由于一个圆平均分成 6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有 8种等可能的结果，在这 6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有 2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是故答案为＝；．15．解：依题意有：（n﹣2）•180°＝720°，解得 n＝6．故答案为：6． 16．解：根据题意得： +3﹣2x＝4，去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，移项合并得：﹣4x＝4，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1 17．解：设当 x＞120时，l2对应的函数解析式为 y＝kx+b，，得，即当 x＞120时，l2对应的函数解析式为 y＝6x﹣240，当 x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是 480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为 150m3，需要缴费：150×3＝450（元）， 660﹣450＝210（元），即小雨家去年用水量为 150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210元，故答案为：210． 18．解：过点 P作 PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为 G、H，由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5， CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF， ∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在 Rt△FNC中，FN＝ ∴MF＝5﹣4＝1，＝4，在 Rt△MEF中，设 EF＝x，则 ME＝3﹣x，由勾股定理得， 12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°， ∴△FNC∽△PGF， ∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设 FG＝3m，则 PG＝4m，PF＝5m， ∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，解得：m＝1， ∴PF＝5m＝5， ∴PE＝PF+FE＝5+ 故答案为：＝，．三、解答题：（本大题共 9个小题，共 78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+ ＝2+1﹣2× +3 ＝3﹣1+3 ＝5 20．解：解①得：x≤4；解②得：x＞ 2； ∴原不等式组的解集为 2＜x≤10； ∴原不等式组的所有整数解为 3、4、5、6、7、8、9、10． 21．证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD， ∵∠DAF＝∠BCE， ∴∠ABF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）， ∴BF＝DE． 22．解：（1）设 B种图书的单价为 x元，则 A种图书的单价为 1.5x元，依题意，得： ﹣＝20，解得：x＝20，经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝30．答：A种图书的单价为 30元，B种图书的单价为 20元．（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．答：共花费 880元． 23．解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，即∠ABD＝∠CAB；（2）连接 BC． ∵AB是⊙O的两条直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE为⊙O的切线， ∴∠OCE＝90°， ∵B是 OE的中点， ∴BC＝OB， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°， ∴BC＝ AC＝4 ∴OB＝4 即⊙O的半径为 4 ，，．24．解：（1）由题意知 C等级的频数 a＝8，则 C组对应的频率为 8÷40＝0.2， ∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为：8、0.15；（2） D组对应的频数为 40×0.15＝6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有 400×0.25＝100（人）；（4）列表如下：男男女女男男女女（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）（女，男）（女，女）（男，男）（男，女）（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有 12种，其中恰好抽中一男一女的情况有 8种，所以恰好选到 1名男生和 1名女生的概率＝．25．解：（1）∵点 A（0，8）在直线 y＝﹣2x+b上， ∴﹣2×0+b＝8， ∴b＝8， ∴直线 AB的解析式为 y＝﹣2x+8，将点 B（2，a）代入直线 AB的解析式 y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a， ∴a＝4， ∴B（2，4），将 B（2，4）在反比例函数解析式 y＝（x＞0）中，得 k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为 y＝，当 m＝3时， ∴将线段 AB向右平移 3个单位长度，得到对应线段 CD， ∴D（2+3，4），即：D（5，4）， ∵DF⊥x轴于点 F，交反比例函数 y＝的图象于点E， ∴E（5，）， ∴DE＝4﹣ ＝＝，EF＝， ∴＝；②如图，∵将线段 AB向右平移 m个单位长度（m＞0），得到对应线段 CD， ∴CD＝AB，AC＝BD＝m， ∵A（0，8），B（2，4）， ∴C（m，8），D（（m+2，4）， ∵△BCD是以 BC为腰的等腰三形， ∴Ⅰ、当 BC＝CD时， ∴BC＝AB， ∴点 B在线段 AC的垂直平分线上， ∴m＝2×2＝4， Ⅱ、当 BC＝BD时， ∵B（2，4），C（m，8）， ∴BC＝，∴＝m， ∴m＝5，即：△BCD是以 BC为腰的等腰三形，满足条件的 m的值为 4或 5． 26．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图 1中， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC， ∴∠NAB＝∠MAC， ∵AB＝AC，AN＝AM， ∴△NAB≌△MAC（SAS）， ∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图 2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB， ∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC， ∴∠NAB＝∠MAC， ∵AB＝AC，AN＝AM， ∴△NAB≌△MAC（SAS）， ∴BN＝CM．（二）如图 3中，在 A1C1上截取 A1N＝A1Q，连接 PN，作 NH ⊥B1C1于 H，作 A1M⊥B1C1于 M． ∵∠C1A1B1＝∠PA1Q， ∴∠QA1B1＝∠PA1N， ∵A1A＝A1P，A1B1＝AN， ∴△QA1B1≌△PA1N（SAS）， ∴B1Q＝PN， ∴当 PN的值最小时，QB1的值最小，在 Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8， ∴A1M＝A1B1•sin60°＝4 ∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°， ∴A1C1＝4 ，，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4 ﹣8，在 Rt△NHC1，∵∠C1＝45°， ∴NH＝4 ﹣4 根据垂线段最短可知，当点 P与 H重合时，PN的值最小， ∴QB1的最小值为 4 ﹣4 ，．27．解：（1）将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入 y＝ax2+bx中，得解得 ∴抛物线 C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G （﹣2，4）；（2）∵抛物线 C绕点 O旋转 180°，得到新的抛物线 C′． ∴新抛物线 C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1 ∴新抛物线 C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x 将 A（﹣4，0）代入 y＝kx﹣ 中，得0＝﹣4k﹣ ，解得k＝，∴直线 l解析式为 y＝ x﹣ ∵D（m，﹣m2﹣4m），，∴直线 DO的解析式为 y＝﹣（m+4）x，由抛物线 C与抛物线 C′关于原点对称，可得点 D、E关于原点对称， ∴E（﹣m，m2+4m ）如图 2，过点 D作 DH∥y轴交直线 l于 H，过 E作 EK∥y轴交直线 l于 K，则 H（m， m﹣ ），K（﹣m， m﹣ ）， ∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（ m﹣ ）＝﹣m2 m+ ，EK＝m2+4m﹣（ m﹣ ）＝ m2+ m+ ，∵DE＝2EM ∴＝， ∵DH∥y轴，EK∥y轴 ∴DH∥EK ∴△MEK∽△MDH ∴＝＝，即 DH＝3EK ∴﹣m2 m+ ＝3（m2+ m+ ）解得：m1＝﹣3，m2＝ ∵m＜﹣2 ，∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3， ∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3 ，如图 3，连接 BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20 ∴AB2+BG2 ＝AG2 ∴△ABG是 Rt△，∠ABG＝90°， ∴tan∠GAB＝＝＝， ∵∠DEP＝∠GAB ∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在 x轴下方过点 O作 OH⊥OE，在 OH上截取 OH＝ OE＝，过点 E作 ET⊥y轴于 T，连接 EH交抛物线 C于点 P，点 P即为所求的点； ∵E（3，﹣3）， ∴∠EOT＝45° ∵∠EOH＝90° ∴∠HOT＝45° ∴H（﹣1，﹣1），设直线 EH解析式为 y＝px+q，则，解得 ∴直线 EH解析式为 y＝﹣ x ，解方程组，得，，∴点 P的横坐标为：或．