2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试题（Word版，含解析）

2019 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷一、单项选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）有理数﹣ 的相反数为（　　） A．﹣3 B．﹣ 2．（3 分）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　　） C． D．3 A． C． B． D． 3．（3 分）禽流感病毒的半径大约是 0.00000045 米，它的直径用科学记数法表示为（　　） A．0.9×10﹣7 B．9×10﹣7 C．9×10﹣6 D．9×107 米 4．（3 分）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ABE，则∠BED 为（　　）米米米A．15° B．35° C．45° D．55° ＝﹣3， 5．（3 分）下列计算 ①＝±3②3a2﹣2a＝a③（2a2）3＝6a6④a8÷a4＝a2⑤ 其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（　　） A． B． C． 6．（3 分）下表是抽查的某班 10 名同学中考体育测试成绩线计表． D．成绩（分）人数（人） 30 225 20 15 1xy若成绩的平均数为 23，中位数是 a，众数是 b，则 a﹣b 的值是（　　） A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5 7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，∠BDC＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算 α 的度数是（　　） A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′ 8．（3 分）下列说法正确的是（　　） ①函数 y＝中自变量 x 的取值范围是 x≥ ．②若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长是 3 或 7． ③一个正六边形的内角和是其外角和的 2 倍． ④同旁内角互补是真命题． ⑤关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+k＝0 有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤ 9．（3 分）如图，矩形 ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点 O，且 EG∥BC，将矩形折叠，使点 C 与点 O 重合，折痕 MN 过点 G．若 AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则 DN 的长为（　　） A． B． C． D．2 10．（3 分）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行．快车到达 B 地后，停留 3 秒卸货，然后原路返回 A 地，慢车到达 A 地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离 y（米）与行驶时间 x（秒）的函数图象，根据图象信息，计算 a、b 的值分别为（　　） A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4 二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）计算：（π+1）0+| ﹣2|﹣（ ﹣2＝　．）12．（3 分）一组数据﹣1，0，1，2，3 的方差是　． 13．（3 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，连接 DE，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．若 AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是　． 14．（3 分）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若 Rt△ABC 是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则 tan∠ABC＝　． 15．（3 分）如图，有一条折线 A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过 A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移 8，16，24，…个单位得到的，直线 y＝kx+2 与此折线有 2n（n≥1 且为整数）个交点，则 k 的值为　． 16．（3 分）如图，在圆心角为 90°的扇形 OAB 中，OB＝2，P 为上任意一点，过点P 作 PE⊥OB 于点 E，设 M 为△OPE 的内心，当点 P 从点 A 运动到点 B 时，则内心 M 所经过的路径长为　　．三、解答题（本大题共 8 题，共 72 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程） 17．（8 分）（1）先化简： +÷，再从﹣1≤x≤3 的整数中选取一个你喜欢的 x 的值代入求值．（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 18．（9 分）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：（1）本次共调查了　　名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是　　度，并补全条形统计图．（2）该校共有 3600 名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1 男 1 女”的概率． 19．（8 分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10℃，加热到 100℃停止加热，水温开始下降，此时水温 y（℃）与开机后用时 x（min）成反比例关系，直至水温降至 30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为 30℃时接通电源，水温 y （℃）与时间 x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式；（2）怡萱同学想喝高于 50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 20．（7 分）某校组织学生到恩格贝 A 和康镇 B 进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A 和 B 分别位于学校 D 的正北和正东方向，B 位于 A 南偏东 37°方向，校车从 D 出发，沿正北方向前往 A 地，行驶到 15 千米的 E 处时，导航显示，在 E 处北偏东 45°方向有一服务区 C，且 C 位于 A，B 两地中点处．（1）求 E，A 两地之间的距离；（2）校车从 A 地匀速行驶 1 小时 40 分钟到达 B 地，若这段路程限速 100 千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）21．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，连接 AC．过上一点E 作 EG∥AC 交 CD 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且 EG＝FG．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 AH＝2，CH＝2 ，求 OM 的长． 22．（9 分）某工厂制作 A，B 两种手工艺品，B 每天每件获利比 A 多 105 元，获利 30 元的 A 与获利 240 元的 B 数量相等．（1）制作一件 A 和一件 B 分别获利多少元？（2）工厂安排 65 人制作 A，B 两种手工艺品，每人每天制作 2 件 A 或 1 件 B．现在在不增加工人的情况下，增加制作 C．已知每人每天可制作 1 件 C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作 A，C 两种手工艺品的数量相等．设每天安排 x 人制作 B，y 人制作 A，写出 y 与 x 之间的函数关系式．（3）在（1）（2）的条件下，每天制作 B 不少于 5 件．当每天制作 5 件时，每件获利不变．若每增加 1 件，则当天平均每件获利减少 2 元．已知 C 每件获利 30 元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润 W（元）的最大值及相应 x 的值． 23．（11 分）（1）【探究发现】如图 1，∠EOF 的顶点 O 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF 绕点 O 旋转，旋转过程中，∠EOF 的两边分别与正方形 ABCD 的边 BC 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C， D 不重合）．则 CE，CF，BC 之间满足的数量关系是　（2）【类比应用】　．如图 2，若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形 ABCD”，其他条件不变，当∠ EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图 3，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA 平分∠BOD，AB＝ OB 上一点，∠CAD＝60°，求 OC 的长．，且 OB＞2OA，点 C 是 24．（12 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝﹣x 与该抛物线交于 E，F 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH⊥EF 于点 H，求 PH 的最大值．（3）以点 C 为圆心，1 为半径作圆，⊙C 上是否存在点 M，使得△BCM 是以 CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说明理由． 2019 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．【解答】解：有理数﹣ 的相反数为：故选：C．．2．【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项 A 与此不符，所以错误；三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项 C 与此也不符，三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项 D 与此也不符，正确的是 B．故选：B． 3．【解答】解：0.00000045×2＝9×10﹣7 故选：B．．4．【解答】解：在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，在等边△ABE 中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，在△ADE 中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．故选：C． 5．【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，故选：A． 6．【解答】解：∵平均数为 23， ∴＝23， ∴25x+20y＝155，即：5x+4y＝31， ∵x+y＝7， ∴x＝3，y＝4， ∴中位数 a＝22.5，b＝20， ∴a﹣b＝2.5，故选：C． 7．【解答】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC＝47°42′，由作法得 EF 垂直平分 BD，BE 平分∠ABD， ∴EF⊥BD，∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABD＝23°51′， ∵∠BEF+∠EBD＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣23°51°＝66°9′， ∴α 的度数是 66°9′．故选：D． 8．【解答】解：①函数 y＝中自变量 x 的取值范围是 x＞﹣ ，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长是 7，故错误． ③一个正六边形的内角和是其外角和的 2 倍，正确． ④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误． ⑤关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+k＝0 有两个不相等的实数根，正确，故选：D． 9．【解答】解：延长 EG 交 DC 于 P 点，连接 GC、FH；如图所示：则 CP＝DP＝ CD＝，△GCP 为直角三角形， ∵四边形 EFGH 是菱形，∠EHG＝120°， ∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH， ∴OG＝GH•sin60°＝2× ＝，由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG， ∴PG＝＝，∵OG∥CM， ∴∠MOG+∠OMC＝180°， ∴∠MCG+∠OMC＝180°， ∴OM∥CG， ∴四边形 OGCM 为平行四边形， ∵OM＝CM， ∴四边形 OGCM 为菱形， ∴CM＝OG＝根据题意得：PG 是梯形 MCDN 的中位线， ∴DN+CM＝2PG＝，，∴DN＝ ﹣；故选：A． 10．【解答】解：速度和为：24÷（30﹣18）＝2 米/秒，由题意得：，解得：b＝26.4，因此慢车速度为：＝0.8 米/秒，快车速度为：2﹣0.8＝1.2 米/秒，快车返回追至两车距离为 24 米的时间：（26.4﹣24）÷（1.2﹣0.8）＝6 秒，因此 a＝33+6＝39 秒．故选：B．二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分） ﹣2 11．【解答】解：（π+1）0+| ﹣2|﹣（）＝1+2﹣ ﹣4 ＝﹣1﹣ 故答案为：﹣1﹣ ．12．【解答】解：数据的平均数＝（﹣1+0+1+2+3）＝1，方差 s2＝ [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2．故填 2． 13．【解答】解：连接 OE， ∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA， ∴∠AOE＝120°， S△OAE S 阴影部分故答案 3π﹣ 14．【解答】解：①如图 1 中，＝AE×OEsin∠OEA＝ ×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝，＝S 扇形 OAE﹣S△OAE ＝3π﹣ ＝×π×32﹣ ．．在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，CE 是△ABC 的中线，设 AB＝EC＝2a，则 AE＝EB＝a，AC＝ a， ∴tan∠ABC＝＝．②如图 2 中，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BE 是△ABC 的中线，设 EB＝AC＝2a，则 AE＝EC＝a，AB＝ a， ∴tan∠ABC＝．，故答案为：＝或．15．【解答】解：∵A1（0，0），A2（8，0），A3（16，0），A4（24，0），…， ∴An（8n﹣8，0）． ∵直线 y＝kx+2 与此折线恰有 2n（n≥1 且为整数）个交点， ∴点 An+1（8n，0）在直线 y＝kx+2 上， ∴0＝8nk+2，解得：k＝﹣ ．故答案为：﹣ ．16．【解答】解：如图，以 OB 为斜边在 OB 的右边作等腰 Rt△POB，以 P 为圆心 PB 为半径作⊙P，在优弧 OB 上取一点 H，连接 HB，HO，BM，MP． ∵PE⊥OB， ∴∠PEO＝90°， ∵点 M 是内心， ∴∠OMP＝135°， ∵OB＝OP，∠MOB＝∠MOP，OM＝OM， ∴△OMB≌△OMP（SAS）， ∴∠OMB＝∠OMP＝135°， ∵∠H＝ ∠BPO＝45°， ∴∠H+∠OMB＝180°， ∴O，M，B，H 四点共圆， ∴点 M 的运动轨迹是 ∴内心 M 所经过的路径长＝故答案为 π．三、解答题（本大题共 8 题，共 72 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程），＝π， 17．【解答】解：（1） +÷＝＝＝，当 x＝3 时，原式＝＝1；（2），由不等式①，得 x＜，由不等式②，得 x≥﹣1，故原不等式组的解集是﹣1≤x＜ ∴该不等式组的非负整数解是 0，1． 18．【解答】解：（1）本次调查的家长人数为 45÷22.5%＝200（人），，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是 360°× ＝27°，不赞同的人数为 200﹣（15+50+45）＝90（人），补全图形如下：故答案为：200、27；（2）估计其中“不赞同”的家长有 3600× ＝1620（人）；（3）用 A 表示男生，B 表示女生，画图如下：共有 20 种情况，一男一女的情况是 12 种，则刚好抽到一男一女的概率是＝． 19．【解答】解：（1）由题意可得， a＝（100﹣30）÷10＝70÷10＝7，当 0≤x≤7 时，设 y 关于 x 的函数关系式为：y＝kx+b，，得即当 0≤x≤7 时，y 关于 x 的函数关系式为 y＝10x+30，当 x＞7 时，设 y＝，，100＝，得a＝700，即当 x＞7 时，y 关于 x 的函数关系式为 y＝，当 y＝30 时，x＝，∴y 与 x 的函数关系式为：y＝，y 与 x 的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）将 y＝50 代入 y＝10x+30，得 x＝2，将 y＝50 代入 y＝ ∵14﹣2＝12，，得 x＝14， ﹣12＝ ∴怡萱同学想喝高于 50℃的水，请问她最多需要等待 20．【解答】解：（1）如图，作 CH⊥AD 于 H．时间；由题意∠HEC＝45°，可得 CH＝EH，设 CH＝HE＝x 千米， ∵点 C 是 AB 的中点，CH∥BD， ∴AH＝HD＝（x+15）千米，在 Rt△ACH 中，tan37°＝，∴＝，∴x＝45， ∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米）， ∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．（2）在 Rt△ACH 中，AC＝＝75（千米）， ∴AB＝2AC＝150（千米）， ∵150÷ ＝90 千米/小时， ∵90＜100， ∴校车没有超速． 21．【解答】（1）证明：连接 OE，如图， ∵GE＝GF， ∴∠GEF＝∠GFE，而∠GFE＝∠AFH， ∴∠GEF＝∠AFH， ∵AB⊥CD， ∴∠OAF+∠AFH＝90°， ∴∠GEA+∠OAF＝90°， ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAF， ∴∠GEA+∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°， ∴OE⊥GE， ∴EG 是⊙O 的切线；（2）解：连接 OC，如图，设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r，OH＝r﹣2，在 Rt△OCH 中，（r﹣2）2+（2 ）2＝r2，解得 r＝3，在 Rt△ACH 中，AC＝＝2 ，∵AC∥GE， ∴∠M＝∠CAH， ∴Rt△OEM∽Rt△CHA， ∴＝，即．＝，∴OM＝ 22．【解答】解：（1）设制作一件 A 获利 x 元，则制作一件 B 获利（105+x）元，由题意得：，解得：x＝15，经检验，x＝15 是原方程的根，当 x＝15 时，x+105＝120，答：制作一件 A 获利 15 元，制作一件 B 获利 120 元．（2）设每天安排 x 人制作 B，y 人制作 A，则 2y 人制作 C，于是有： y+x+2y＝65， ∴y＝﹣ x+ 答：y 与 x 之间的函数关系式为∴y＝﹣ x+ （3）由题意得：．W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2×2+130x+90y，又∵y＝﹣ x+ ∴W＝﹣2×2+130x+90y＝﹣2×2+130x+90（﹣ x+ ）＝﹣2×2+100x+1950， ∵W＝﹣2×2+100x+1950，对称轴为 x＝25，而 x＝25 时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当 x＝26 时，W 最大＝﹣2×262+100×26+1950＝2198 元．此时制作 A 产品的 13 人，B 产品的 26 人，C 产品的 26 人，获利最大，最大利润为 2198 元． 23．【解答】解：（1）如图 1 中，结论：CE+CF＝BC．理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∵∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝∠OCF， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF， ∴CE+CF＝CE+BE＝BC．故答案为 CE+CF＝BC．（2）如图 2 中，结论不成立．CE+CF＝ BC．理由：连接 EF，在 CO 上截取 CJ＝CF，连接 FJ． ∵四边形 ABCD 是菱形，∠BCD＝120°， ∴∠BCO＝∠OCF＝60°， ∵∠EOF+∠ECF＝180°， ∴O，E，C，F 四点共圆， ∴∠OFE＝∠OCE＝60°， ∵∠EOF＝60°， ∴△EOF 是等边三角形， ∴OF＝FE，∠OFE＝60°， ∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°， ∴△CFJ 是等边三角形， ∴FC＝FJ，∠EFC＝∠OFE＝60°， ∴∠OFJ＝∠CFE， ∴△OFJ≌△EFC（SAS）， ∴OJ＝CE， ∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC＝ BC，（3）如图 3 中，由 OB＞2OA 可知△BAO 是钝角三角形，∠BAO＞90°，作 AH⊥OB 于 H，设 OH ＝x．在 Rt△ABH 中，BH＝ ∵OB＝4，，∴+x＝4，解得 x＝（舍弃）或 ∴OA＝2OH＝1，，∵∠COD+∠ACD＝180°， ∴A，C，O，D 四点共圆， ∵OA 平分∠COD， ∴∠AOC＝∠AOD＝60°， ∴∠ADC＝∠AOC＝60°， ∵∠CAD＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，由（2）可知：OC+OD＝OA， ∴OC＝1﹣ ＝． 24．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴∴，，∴抛物线的解析式为 y＝ x2+ x﹣2；（2）如图 1，过点 P 作直线 l，使 l∥EF，过点 O 作 OP’⊥l，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于 OP’， ∵直线 EF 的解析式为 y＝﹣x，设直线 l 的解析式为 y＝﹣x+m①， ∵抛物线的解析式为 y＝ x2+ x﹣2②，联立①②化简得， x2+ x﹣2﹣m＝0， ∴△＝ ﹣4× ×（﹣2﹣m）＝0， ∴m＝﹣ ，∴直线 l 的解析式为 y＝﹣x﹣ 令 y＝0，则 x＝﹣ ，，∴M（﹣ ∴OM＝，0），，在 Rt△OP’M 中，OP’＝ ∴PH 最大＝，＝．（3）①当∠CMB＝90°时，如图 2， ∴BM 是⊙O 的切线， ∵⊙C 半径为 1，B（1，0）， ∴BM2∥y 轴， ∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2）， ∴BM2＝2， ∵BM1 与 BM2 是⊙C 的切线， ∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠BCM2， ∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在 Rt△BOD 中，OD2+OB2＝BD2， ∴OD2+1＝（2﹣OD）2， ∴OD＝ ∴BD＝ ∴DM1＝，，过点 M1 作 M1Q⊥y 轴， ∴M1Q∥x 轴， ∴△BOD∽△M1QD， ∴，∴，∴M1Q＝，DQ＝ ∴OQ＝ + ∴M1（﹣ ，﹣ ），，＝，②当∠BCM＝90°时，如图 3， ∴∠OCM3+∠OCB＝90°， ∵∠OCB+∠OBC＝90°， ∴∠OCM3＝∠OBC，在 Rt△BOC 中，OB＝1，OC＝2， ∴tan∠OBC＝＝2， ∴tan∠OCM3＝2，过点 M3 作 M3H⊥y 轴于 H，在 Rt△CHM3 中，CM3＝1，设 CH＝m，则 M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1， ∴m＝，∴M3H＝2m＝ ∴M3（﹣ ，OH＝OC﹣CH＝2﹣ ﹣2），，，而点 M4 与 M3 关于点 C 对称， ∴M4（，﹣﹣2），即：满足条件的点 M 的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（1，﹣2）或（﹣ ﹣2）．，﹣2）或（，﹣