精品解析：甘肃省兰州市2018年中考数学试卷（解析版）

甘肃省兰州市 2018 年中考数学试卷（A 卷）一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） ( ) 的绝对值是　　 1. 2018 11D. A. B. C. 2018 2018 2018 2018 【答案】C 【解析】【分析】根据数 a 的绝对值是指数轴表示数 a 的点到原点的距离进行解答即可得. 【详解】数轴上表示数-2018 的点到原点的距离是 2018，所以-2018 的绝对值是 2018，故选 C. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键. ()2.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示，故选 A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图． 100EC.CN 3.据中国电子商务研究中心发布年度中国共享经济发展报告显示，截止2017 年 12 月， 《2017 》 ( ) 亿元用科学记数法可表示为　　共有 190 家共享经济平台获得亿元投资，数据 1159.56 1159.56 A. 8 元 B. 10 元 C. 11 元 D. 8 元 1159.5610 11.595610 1.1595610 1.1595610 【答案】C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1 时，n 是正数；当原数的绝对值<1 时，n 是负数．【详解】亿=115956000000， 1159.56 所以亿用科学记数法表示为 1.15956×1011， 1159.56 故选 C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． ()4.下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A. B. 18 C. D. 13 27 12 【答案】B 【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A、不是最简二次根式，错误； 18  3 2 B、 C、 D、是最简二次根式，正确； 13 不是最简二次根式，错误；不是最简二次根式，错误， 27  3 3 12  2 3 故选 B． 12【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： 被开方数不含分母；  被开方数不含能开得尽方的因数或因式．  ，则 (的度数是　　 )5.如图，，AB / /CDAD  CD ， 2 1 65 50 60 65 70 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2 的度数．【详解】，AB / /CD  ACD  1 65 ，，AD  CD  CAD   ACD  65 ，，=180°-∠ACD-∠CAD=  2 180  65  65  50 故选 A．【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．  CAD ()6.下列计算正确的是　　 a3 a4  a12 a4 a2  a2  2a2 A. B. C. (3a2b)2  6a4b2 D. 2a 3b  5ab 【答案】D 【解析】【分析】根据单项式乘法法则、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算的法则逐项进行计算即可得. 【详解】A、，故 A 选项错误； 2a 3b  6ab 34B、 C、 D、 7 ，故 B 选项错误； a a  a 224(3a b) 9a b 2 ，故 C 选项错误； 422a2+a2=2a2，故 D 选项正确， a a  a  故选 D．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． (的面积是　　 )7.如图，边长为 4 的等边中，D、E 分别为 AB，AC 的中点，则 ABC ADE 33 3 4A. B. C. D. 32 3 2【答案】A 【解析】【分析】由已知可得 DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为 1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积． 【详解】等边的边长为 4， ABC 32，SABC 4  4 3 4点 D，E 分别是的边 AB，AC 的中点， ABC 的中位线，是ABC DE 111DE  BC AD  AB AE  AC ，，，，DE / /BC 222AD AE DE 12即，AB AC BC 12∽，相似比为，ABC ADE SS 1 ：4， ABC 故：ADE 11S SABC  4 3 3 即，ADE 44故选 A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理． ( ) 且 BE 与 DF 之间的距离为 3，则 AE 的长是　　 8.如图，矩形 ABCD 中，，，AB  3 BC  4 EB / /DF 387858A. B. C. D. 7【答案】C 【解析】【分析】如图，过点 D 作，垂足为 G，则，首先证明 ≌，由全等三角形的性质可 DG  BE GD  3 GED 中依据勾股定理列方程求解即可． AEB 得到，设，则，在 AE  EG AE  EG  x RtDEG ED  4  x 【详解】如图所示：过点 D 作，垂足为 G，则，DG  BE GD  3 ，，， A   G  AEB   GED AB  GD  3 ≌，GED AEB ，AE  EG 设，则，AE  EG  x ED  4  x 7222222x  在中，， x  3  (4  x) ，解得：，RtDEG ED  GE  GD 8故选 C．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，依据题意列出关于 x 的方程是解题的关键． 9.如图，将▱ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F，若， ABD  48  CFD  40 ( ) 为　　，则  E 102 92 112 122 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出  ADB   BDF   DBC 1 BDF   DBC   DFC  20 ，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．  A 2【详解】，AD / /BC ， ADB   DBC 由折叠可得， ADB   BDF ， DBC   BDF 又， DFC  40  DBC   BDF   ADB  20 ，又， ABD  48 ，中， ABD  A 180  20  48 112  E   A 112 ，故选 B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．  ADB 2x  a x 1 ()1 10.关于 x 的分式方程的解为负数，则 a 的取值范围是　　 A. B. C. 且a 1 a  2 D. 且a 1 a  2 a 1 a 1 【答案】D 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出 a 的范围．【详解】分式方程去分母得：因为分式方程解为负数，所以，即，x 1 2x  a x 1 a ，且，1 a  0 1 a  1 解得：且a 1 a  2 ，故选 D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为 0． y  ax2  bx  c a 0 11.如图，已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论　；①abc  0 ⑤a  b  m am b (m1 ). 的实数其中正确结论的有 ②b  a  c ；③4a  2b  c  0 ；④3a  c ；()　　 A. B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ ①②③ 【答案】B 【解析】【分析】由抛物线对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．【详解】 ①对称轴在 y 轴的右侧，，ab  0 由图象可知：，c  0 ，故 ①不正确； abc  0 y  a  b  c  0 ②当时，，x  1 ，故 ②正确； b  a  c y  4a  2b  c  0 ③由对称知，当时，函数值大于 0，即，故 ③正确； x  2 b④x   1 ，2a ，b  2a ，a  b  c  0 ，a  2a  c  0 ，故 ④不正确； 3a  c y  a  b  c ⑤当时， y 的值最大此时，，x 1 2x  m 而当所以故时， y  am  bm  c， a  b  c  am2  bm  c m1 ，2a  b  m am b ，即 ⑤，故正确， a  b  am  bm 故②③⑤ 正确，故选 B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 y  ax2  bx  c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 145 2y  x2  7x  CC112.如图，抛物线与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 1 ，将 21CCCC、 2 共有 3 个不同的交点，则 m 的 y  x  m 向左平移得到，2 与 x 轴交于点 B、D，若直线与212(取值范围是　　 )45 5229 81229 545 812 m    m    m    m   A. B. C. D. 882【答案】C 【解析】【分析】 1y  x  m CC先求出点 A 和点 B 的坐标，然后再求出 2 的解析式，分别求出直线与抛物线 2 相切时 m 的 21y  x  m 值以及直线过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案. 2145 y  x2  7x  【详解】抛物线与 x 轴交于点 A、B， 221245 2×2  7x  ∴=0， ∴x1=5，x2=9， B 5,0 A 9,0 ，1y  (x 3)2  2 抛物线向左平移 4 个单位长度后的解析式，21y  x  m 当直线过 B 点，有 2 个交点， 250  m ，25m   ，21Cy  x  m 当直线与抛物线 2 相切时，有 2 个交点， 211 x  m  (x 3)2  2 ，222，x  7x  5 2m  0 相切，， 49  20 8m  0 29 m   ，8如图， 1CC、 2 共有 3 个不同的交点， y  x  m 若直线与1229 5 m   — ，82故选 C．【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分） 2313.因式分解： ______． x y y  y x y x y    【答案】【解析】【分析】先提公因式 y，然后再利用平方差公式进行分解即可【详解】 x2y  y3 y x2  y2 =y x y x y =， y x y x y .故答案为  【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 2 x1  5x  7 14.不等式组的解集为______ 432x  3 1 x 3【答案】 1 x  3 【解析】分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【2 x1  5x  7① 【详解】，432x  3 1 x② 3解不等式得：，，①x<3 解不等式 ②得： x  1 不等式组的解集为，1 x  3 故答案为．1 x<3 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”找出不等式组的解集是解此题的关键． AB  ，则劣弧 .( π) 的长是______ 结果保留 15.如图，的外接圆 O 的半径为 3， ABC  C  55 11π 【答案】 6【解析】【分析】 AB 根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，可求  ，根据弧长公式可求劣弧的长．  AOB 110 【详解】，， AOB  2 C  C  55  AOB 110 ，3110 π 11π 根据弧长公式 AB 的长，180 611π 故答案为 .6【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握弧长公式是解题的关键. 16.如图，M、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足，连接 AC 交 BN 于点 E，连接 DE AM  BN 交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是______．【答案】 3 53 【解析】【分析】 RtBCN HL BCE SAS   先判断出得出 ≌，得出，进而判断出 ≌，RtADM  DAM   CBN DCE ，即可判断出  ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得  CDE   CBE  AFD  90 1OF  AD  3 ，利用勾股定理列式求出 OC，然后根据三角形的三边关系可知当 O、F、C 三点共线时，CF 2的长度最小．【详解】如图，在正方形 ABCD 中，，，，AD  BC  CD  ADC   BCD  DCE   BCE 在和RtADM RtBCN 中， ADBC AM  BN ，RtBCN HL ≌，RtADM ， DAM   CBN 在和DCE BCE 中， BC  CD DCE  BCE CE  CE ，BCE SAS ≌，DCE ， CDE   CBE ， DAM   CDE  ADF  CDE   ADC  90 ， DAM   ADF  90 ， AFD 180 90  90 ，取 AD 的中点 O，连接 OF、OC， 1OF  DO  AD  3 则在，222中，，RtODC OC  DO  DC  3 5 根据三角形的三边关系，，OF CF  OC 当 O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值， OC  OF  3 53 故答案为．3 53 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出 CF 最小时点 F 的位置是解题关键．三、解答题 1( )1  (π 3)0  1 2  tan45 17.算： 2【答案】．2 1 【解析】【分析】按顺序依次进行负指数幂的运算、0 指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按顺序进行计算即可得. 1( )1  (π 3)0  1 2  tan 【详解】 45° 2=2 1 2 11 ． 2 1 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负指数幂、0 指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 218.解方程：．3x  2x  2  0 1 7 1 7 【答案】，.x1  x2  33【解析】【分析】先找出 a，b，c，再求出 b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3，b=-2，c=-2， b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0， b  b2  4ac (2)  28 1 7 ，∴x= =32a 23 1 7 1 7 ，.x1  x2  33【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键. 3x  4 x 1 x  2 x 1 12x  19.先化简，再求值：，其中．x  32【答案】，．x  2 【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把 x 的值代入进行计算即可得. 3x  4 x 1 x  2 x 1 x  【详解】，x x1  3x  4   x 1 x  2 ，x 1 x2  x 3x  4 x 1 ，x 1 x  2 (x  2)2 x 1 x 1 x  2 ，， x  2 11232x   2   当时，原式．2【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 20.某商家销售一款商品，进价每件 80 元，售价每件 145 元，每天销售 40 件，每销售一件需支付给商场管 ()理费 5 元，未来一个月按30 天计算，这款商品将开展“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低 1 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件，设第 x (1 x  30 )天且 x 为整数的销售量为y 件． 1y 与 x 的函数关系式；  直接写出 2x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多  设第少元？ 1 y 2x  40 【答案】  2； 第 20 天的利润最大，最大利润是 3200 元．【解析】【分析】 (1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到 y 与 x 的函数关系式； (2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的 W 与 x 之间的函数关系式，即可得出结论． 1y  2x  40 【详解】 由题意可知；2w  145 x 80 5 2x 40   根据题意可得： ，2，， 2x 80x  2400  2(x  20)2  3200 ，a  2  0 函数有最大值， 当时，w 有最大值为 3200 元， x  20 第 20 天的利润最大，最大利润是 3200 元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键． 21.如图，在中． RtABC 1(PD )的长等于PC 的长； BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AB 的距离  利用尺规作图，在 21PD．  利用尺规作图，作出 中的线段 ()要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 1【答案】 作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】【分析】 1(PD )P 到 AB 的距离的长等于PC 的长知点 P 在平分线上，再根据角平分线的尺规作图  由点  BAC 即可得（以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，与 AC、AB 分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点 A 及这个交点作射线交 BC 于点 P，P 即为要求的点）； 2P 为圆心，以大于点 P 到 AB 的距离为半  根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点径画弧，与 AB 交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在 AB 的一侧交于一点，过这点以及点 P 作直线与 AB 交于点 D，PD 即为所求）． 1【详解】 如图，点 P 即为所求； 2PD 即为所求．  如图，线段【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． 22.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图 4 次及书的次数0 次 1 次 2 次 3 次以上人数 713 a10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： 1 a    ______， ______． b  2______，众数是______．  该调查统计数据的中位数是 3“3 次”所对应扇形的圆心角的度数；  请计算扇形统计图中 42000 名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数．  若该校共有 123 72 4 120   【答案】 17、20； 2 次、2 次；  ；人．【解析】【分析】 (1)先由借阅 1 次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得 a 的值，用 3 次的人数除以总人数求得 b 的值；的(2)根据中位数和众数定义求解； (3)用 360°乘以“3 次”对应的百分比即可得； (4)用总人数乘以样本中“4 次及以上”的人数所占比例即可得． 1  【详解】 被调查的总人数为人， 13 26%  50 10 a  50  7 1310  3 17 b%  100%  20% ，，即 b  20 ，50 故答案为 17、20； 250 个数据，其中位数为第 25、26 个数据的平均数，  由于共有而第 25、26 个数据均为 2 次，所以中位数为 2 次，出现次数最多的是 2 次，所以众数为 2 次，故答案为 2 次、2 次； ；3“3 次”所对应扇形的圆心角的度数为  扇形统计图中 360 20%  72 342000 120 “4 次及以上”的人数为人．  估计该校学生在一周内借阅图书 50 【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法. 23.在一个不透明的布袋里装有 4 个标有 1、2、3、4 的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为 x，王芳在剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了 x, y 点 M 的坐标 1M 所有可能的坐标；  画树状图列表，写出点 2M x,y y  x 1  求点 在函数的图象上的概率． 112  【答案】 见解析；．4【解析】【分析】 (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)找出点(x，y)在函数 y=x+1 的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案． 1【详解】 画树状图得： 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 4,1 、、共有 12 种等可能的结果 、、、、、、、、4,2 4,3 ；、2   在所有 y  x 1 1,2 2,3 3,4 这 3 种结果， 12 种等可能结果中，在函数 M x,y y  x 1 在函数的图象上的有、、31点的图象上的概率为．12 4【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 24.如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在 B 处，E 处分别测得 CD .( ，求 CD 的高度结果保留根号 30 60 )顶部点 D 的仰角为，929 3 【答案】CD 的高度是米． 【解析】【分析】作于点 F，设米，在直角中利用三角函数用 x 表示出 BF 的长，在直角中BF  CD DCE DF  x DBF 表示出 CE 的长，然后根据即可列方程求得 x 的值，进而求得 CD 的长． BF CE  AE 【详解】如图，作于点 F，设米， BF  CD DF  x DF tan DBF  在中，，RtDBF BF  BF DF x 3x 则，tan DBF tan30 DC  x  CF  3 x( )米，在直角中，中， DCE ABF DC DC 3 x 3tan DEC  在直角，则米， EC  x  3 tan DEC tan60 3EC 3，即，BF CE  AE 3x  x  3 18 33x  9 3 解得：，239)米， CD  9 3 3  9 3 ( 则22929 3 答：CD 的高度是米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度是解题的关键. ky  ax  b A 1,2 和y  25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 B 2,m 的图象与反比例函数的图象交于点 12x．1 求一次函数和反比例函数的表达式； 2y  y 2 时， x 的取值范围；于点 D，点 C 是直线 BE 上一点，若  请直接写出 13B 作轴，，求点 C 的坐标．  过点 BE / /x AC  2CD AD  BE 2x1y  x 1 2；当 y  【答案】 反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：   或时， 2  x  0 x 1 12y1  y2 31 3,1 3 1,1 ； 当点 C 的坐标为或时，．AC  2CD 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法求出 k，求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答； (3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出 CD，分点 C 在点 D 的左侧、点 C 在点 D 的右侧两种情况解答． k1  A 1,2 y  【详解】  点在反比例函数的图象上， 2x，k 12  2 2y  反比例函数的解析式为，2×2B 2,m y  点在反比例函数的图象上， 2×2m   1 ，2 2,1 则点 B 的坐标为 ，ab2 2a  b  1 由题意得，，a1 b 1 解得，，则一次函数解析式为： y  x 1 ；12y  y  由函数图象可知，当 2  x  0 或时，；2x 1 13 AD  BE   ，，AC  2CD  DAC  30 ，由题意得，，AD  2 1 3 CD AD CD 33tan DAC  在中，，即，RtADC 3解得，，CD  3 1 3,1 当点 C 在点 D 的左侧时，点 C 的坐标为当点 C 在点 D 的右侧时，点 C 的坐标为，3 1,1 ，1 3,1 3 1,1 当点 C 的坐标为或时，．AC  2CD 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键． 26.如图，在中，过点 C 作，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的 CD / /AB ABC 延长线于点 G，连接 AD，CF 1AFCD是平行四边形．  求证：四边形 322  BF  若，，，求 AB 的长． GB  3 BC  6 12 AB 6 【答案】 证明见解析；  ．【解析】【分析】 1  由E 是 AC 的中点知，由知AB / /CD AFE   CDE ，据此根据“AAS”即可证 ≌AE  CE AEF ，从而得，结合即可得证； CED AF  CD AB / /CD GB BF 922CD    证GBF ∽GCD 得，据此求得，由 AF  CD 及可得答案． AB  AF BF GC CD 1 E 【详解】  是 AC 的中点，，，AE  CE AB / /CD ， AFE   CDE 在和中， CED AEF AFE  CDE  AEF  CED ，AE  CE CED AAS ≌，AEF ，AF  CD 又，即，AB / /CD AF / /CD 四边形 AFCD 是平行四边形； 2 AB / /CD   ，∽GBF GCD ，32GB BF 3，即，GC CD 3 6 CD 9CD  解得：，2四边形 AFCD 是平行四边形， 9AF  CD  ，29232AB  AF BF   6 ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键. O O 27.如图，AB 为的直径，C 为上一点，D 为 BA 延长线上一点，． ACD   B 1O DC 为  求证：的切线； 352O sinB  DF 分别交 AC，BC 于点 E，F 且，的半径为 5，，求 CF 的长．  线段  CEF  45 24 12 CF   【答案】 证明见解析；．7【解析】【分析】  根据圆周角定理得：  ，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可 1 ACB   BCO   OCA  90 得：  ，可得结论；  OCD  90 AC AD 68342 先根据三角函数计算 AC  6 ，BC  8 ，证明CAD ∽BCD ，得，设 BC CD ，AD  3x CD 4x ，利用勾股定理列方程可得 x 的值，证明 ∽，列比例式可得 CF 的 CED BFD 长．【详解】（1）如图，连接 OC， O 为的直径， AB  ACB   BCO   OCA  90 ，，OB  OC ， B   BCO ， ACD   B ， ACD   BCO  ACD   OCA  90 O  OCD  90 ，即，为的切线； DC 35AC AB 2 RtACB   sinB  中， AB 10 ，，，AC  6 BC  8 ，， ACD   B  ADC   CDB ，∽，CAD BCD AC AD 683，BC CD 4设，AD  3x CD 4x ，222中，，RtOCD OC  CD  OD 52  (4x)2  (5 3x)2 ，30 x  0( )舍或，7 CEF  45  ACB  90 ，，，CE  CF 设，CF  a ， CEF   ACD   CDE ， CFE   B  BDF ， CDE   BDF ， ACD   B ∽，CED BFD CE BF ，CD BD a8 a 24 7a  30 30 7，，4 10  3 724 7CF  ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 2A 3,0 B 5,4 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC， 28.如图，抛物线 BC．经过，y  ax  bx  4 1 求抛物线的表达式； 2AB 平分； 求证：  CAO 3M，使得是以 AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点 M 的  抛物线的对称轴上是否存在点 ABM 坐标；若不存在，请说明理由． 515y  x2  x  4 123,11 【答案】  抛物线的解析式为； 证明见解析；  点 M 的坐标为或26652,9 ．【解析】【分析】 1  A 3,0 B 5,4 将，代入抛物线的解析式得到关于 a、b 的方程组，从而可求得 a、b 的值； 2D 2,0 ，则 AC 的长，然后取，连接 BD，接下来，证明，然后依据 SSS  先求得 AD  AC BC  BD 可证明 ≌，接下来，依据全等三角形的性质可得到；ABC  CAB   BAD ABD 3x 轴与点 E，交 BC 与点 F，作点 A 作，作，分别交抛物线  作抛物线的对称轴交 AM’  AB BM  AB 12tan BAE  的对称轴与、M，依据点 A 和点 B 的坐标可得到，从而可得到或tan M’AE  2 M’ ，从而可得到 FM 和的长，故此可得到点和点 M 的坐标． tan MBF  2 M’E M’ 9a3b40 1A 3,0 B 5,4 25a  5b  4  4 【详解】  将，代入得：，15b   6a  解得：，，615y  x2  x  4 抛物线的解析式为；662 AO  3   ，，OC  4 ，AC  5 D 2,0 取，则，AD  AC  5 22的由两点间距离公式可知，BD  (5 2)  (4  0)  5 C 0,4 B 5,4 ，，，BC  5 BD  BC ，在和中，，，，，ABC AD  AC BD  BC ABD AB  AB ≌ABC ABD ， CAB   BAD 平分； CAO AB 3x 轴与点 E，交 BC 与点 F．  如图所示：抛物线的对称轴交 511 ．5x  AE  抛物线的对称轴为，则 2A 3,0 B 5,4 ，，12tan EAB  ， M’AB  90 ，，tan M’AE  2 ，M’E  2AE 11 5M’ ,11 ，2同理：，tan MMF  2 5BF  又，2，FM  5 5M ,9 ，25252,11 ,9 点 M 的坐标为或．【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义等，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键. 本试卷的题干 713000635