精品解析：湖南省长沙市2018年中考数学试题（解析版）

2018 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. A. 2 的相反数是（ 2 ）1212B. C. D. 2B【答案】【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果. 【详解】因为-2+2=0，所以﹣2 的相反数是 2，故选 B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 . 2. 据统计，2017 年长沙市地区生产总值约为10200 亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据 10200 用科学记数法表示为（　　） A. 0.102×105 B. 10.2×103 C. 1.02×104 D. 1.02×103 C【答案】【解析】分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．详解：10200=1.02×104，故选 C．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3=a5 B. C. （x2）3=x5 D. m5÷m3=m2 3 2 2 1 D【答案】【解析】分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．详解：A、a2 与 a3 不是同类项，无法计算，故此选项错误； B、3 -=2 ，故此选项错误； 222C、（x2）3=x6，故此选项错误； D、m5÷m3=m2，正确．故选 D．点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm B【答案】【解析】分析：结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．详解：A、∵5+4=9，9=9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B、8+8=16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C、5+5=10，10=10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D、6+7=13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选 B．点睛：本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可． 5. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 选项：不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项不符合题意； B 选项：是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D 选项：不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选 B．【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． x  2  0 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） 2x  4  0 A. C. B. D. C【答案】【解析】分析：先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．详解：解不等式 x+2＞0，得：x＞-2，解不等式 2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选 C．点睛：本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 7. 将下列如图的平面图形绕轴 l 旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行分析，能求出结果．【详解】所给图形是直角梯形，绕直线 l 旋转一周，可以得到圆台，故选 D．【点睛】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答． 8. 下列判断正确的是（　　） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上 B. 天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨 C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D. “a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 C【答案】【解析】【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上，错误； B、天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨，错误； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确； D、“a 是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选 C．的【点睛】此题主要考查了概率意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 9. 估算的值在( )10 1 A. 2 和 3 之间 B. 3 和 4 之间 C. 4 和 5 之间 D. 5 和 6 之间 C【答案】【解析】【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．【详解】∵3 4，＜ 10＜ ∴4 1＜5．＜ 10  故选 C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出 3 4 是解题的关键，＜ 10＜又利用了不等式的性质． 10. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图的反映了这个过程中，小明离家距离y 与时间 x 之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（　　） A. 小明吃早餐用了 25min B. 小明读报用了 30min C. 食堂到图书馆的距离为 0.8km D. 小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min B【答案】【解析】分析：根据函数图象判断即可．详解：小明吃早餐用了（25-8）=17min，A 错误；小明读报用了（58-28）=30min，B 正确；食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2km，C 错误；小明从图书馆回家的速度为 0.8÷10=0.08km/min，D 错误；故选 B．点睛：本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键． 11. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（　　） A. 7.5 平方千米 B. 15 平方千米 C. 75 平方千米 D. 750 平方千米 A【答案】【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132， ∴三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形， 1∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 2故选 A．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 22﹣﹣﹣12. 若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax +ax2a 总不经过点 P（x0 3，x0 16），则符合条件的点 P（　　） A. 有且只有 1 个 B. 有且只有 2 个 C. 有且只有 3 个 D. 有无穷多个 B【答案】【解析】分析：根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax-2a 总不经过点 P 2（x0-3，x0 -16），即可求得点 P 的坐标，从而可以解答本题． 2详解：∵对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax-2a 总不经过点 P（x0-3，x0 -16）， 2∴x0 -16≠a（x0-3）2+a（x0-3）-2a ∴（x0-4）（x0+4）≠a（x0-1）（x0-4） ∴（x0+4）≠a（x0-1） ∴x0=-4 或 x0=1， ∴点 P 的坐标为（-7，0）或（-2，-15）故选 B．点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分) m113. 计算： .m 1 m 1 1. 【答案】【解析】 m1m 1 1 .【详解】解：故答案为 1 m 1 m 1 m 1 14. 某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．【答案】90 【解析】【分析】根据圆心角=360°×百分比计算即可；【详解】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1-10%-30%-20%-15%）=90°，故答案为 90．【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． ﹣15. 在平面直角坐标系中，将点 A′（ 2，3）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应的点 A′的坐标是_____．【答案】（1，1）【解析】【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．【详解】解：∵将点 A′（-2，3）向右平移 3 个单位长度， ∴得到（1，3）， ∵再向下平移 2 个单位长度， ∴平移后对应的点 A′的坐标是：（1，1）．故答案为（1，1）．点睛：此题主要考查了平移，正确掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题关键． 16. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____． 1【答案】 2【解析】【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答．【详解】正方体骰子共六个面，点数为 1，2，3，4，5，6，偶数为 2，4，6， 3 1 =故点数为偶数的概率为，6 2 1故答案为．2【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出 m现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．n2﹣17. 已知关于 x 方程 x 3x+a=0有一个根为 1，则方程的另一个根为_____．【答案】2 【解析】 b分析：设方程的另一个根为 m，根据两根之和等于- ，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结 a论．详解：设方程的另一个根为 m，根据题意得：1+m=3，解得：m=2．故答案为 2． b点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于- 是解题的关键． a18. 如图，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则 ∠OCB=_____度．【答案】50 【解析】【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB 的度数. 【详解】解：∵∠A=20°， ∴∠BOC=40°， ∵BC 是⊙O 的切线，B 为切点， ∴∠OBC=90°， ∴∠OCB=90°-40°=50°，故答案为 50．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 22、 23 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2018 0﹣﹣+（π 3） +4cos45° 19. 计算：（﹣1） 8【答案】2 【解析】【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值 4 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 2【详解】解：原式=1-2 +1+4× ，22=1-2 +1+2 ，22=2．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 12﹣﹣﹣20. 先化简，再求值：（a+b） +b（a b） 4ab，其中 a=2，b= ．2【答案】5．【解析】分析：首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入 a、b 的值，进而可得答案．详解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab， 1当 a=2，b=- 时，原式=4+1=5． 2点睛：此题主要考查了整式的混合运算–化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 21. 为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6 分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了　名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【答案】（1）50；（2）众数为 8 分．中位数为 8 分；（3）需要一等奖奖品 100 份．【解析】分析：（1）根据总数=个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；详解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人）， 1（2）平均数= （4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26； 50 众数：得到 8 分的人最多，故众数为 8 分．中位数：由小到大排列，知第 25，26 平均分为 8 分，故中位数为 8 分；（3）得到 10 分占 10÷50=20%，故 500 人时，需要一等奖奖品 500×20%=100（份）．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. AB为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对、两地间的公路进行改建．如图，、两地之间有 A B ABC一座山，汽车原来从地到地需途径地沿折线 ACB AB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行BC=80 ∠A= 45°∠B=30° 驶．已知千米，（）开通隧道前，汽车从地到地大约要走多少千米？，．1AB2AB（）开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米）（参考数据： ≈1.41 ≈1.73 ，）321【答案】（）开通隧道前，汽车从 A地到 B地大约要走 136.4千米；（2）汽车从 A地到 B地比原来少走的路程为 27.2千米【解析】【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角△ACD 中，解直角三角形求出 CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程．【详解】解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， CD ∵AB⊥CD，sin30°= ，BC=80 千米， BC 1 40 ∴CD=BC•sin30°=80× （千米）， 2CD 40 2=40 2 AC= （千米）， sin 45 2AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4（千米）， 2答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米； BD BC （2）∵cos30°= ，BC=80（千米）， 3∴BD=BC•cos30°=80× （千米），  40 3 2CD ∵tan45°= ，CD=40（千米）， AD CD 40  40 ∴AD= （千米）， tan 45 1∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2（千米）， 3﹣﹣∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC AB=136.4 109.2=27.2（千米）．答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 23. 随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒 70 元，乙品牌粽子每盒 80 元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了 3120 元．【解析】分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据“打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据题意得： 6x  3y＝600 ，500.8x  400.75y＝5200 x＝40 解得：．y＝120 答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒 120 元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算． 24. 如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E， BC=8，AD=3．（1）求 CE 的长；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．（3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离． 52【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为．【解析】【分析】（1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；（2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明△ACD≌△FBD，从而得到 AC=BF， ∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在 Rt△PBD 25 67442中利用勾股定理得到（R-3）+42=R2，解得 R= ，则 PD= ，再利用面积法求出 r= ，即 QD= ，然后 633计算 PD+QD 即可．【详解】（1）解：∵AD 是边 BC 上的中线， ∴BD=CD， ∵CE∥AD， ∴AD 为△BCE 的中位线， ∴CE=2AD=6；（2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，又∵BD=CD， ∴△ACD≌△FBD， ∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，又∵∠BAD=∠CAD， ∴∠BAD=∠BFD， ∴BA=BF, ∴AB=AC, ∴△ABC 为等腰三角形．（3）如图，连接 BP、BQ、CQ， 32  42 在 Rt△ABD 中，AB= =5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在 Rt△PBD 中，（R-3）2+42=R2，解得 R= 25 6，25 676∴PD=PA-AD= -3= ，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC ，1211143∴×r×5+ ×r×8+ ×r×5= ×3×8，解得 r= ，22243即 QD= ，764352∴PQ=PD+QD= +=．52答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为．【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆． m25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点 P（m，1）和 Q x（1，m），直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，点 M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点 M 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A，B．（1）求∠OCD 的度数；（2）当 m=3，1＜x＜3 时，存在点 M 使得△OPM∽△OCP，求此时点 M 的坐标；（3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1？请说明你的理由． 3【答案】（1）∠OCD=45°；（2）M（2，）；（3）不存在．理由见解析. 2【解析】【分析】（1）想办法证明 OC=OD 即可解决问题； 3OP OMPM （2）设 M（a，），由△OPM∽△OCP，推出，由此构建方程求出 a，再分类求解即可 aOC OP CP 解决问题；（3）不存在,分三种情形说明：①当 1＜x＜5 时，如图 1 中；②当 x≤1 时，如图 2 中；③当 x≥5 时. km  b＝1 k  b＝m 【详解】详解：（1）设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，则有，k＝1 解得，b=m 1 ∴y=-x+m+1，令 x=0，得到 y=m+1，∴D（0，m+1），令 y+0，得到 x=m+1，∴C（m+1，0）， ∴OC=OD， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD=45°． 3（2）设 M（a，）， a∵△OPM∽△OCP， OP OMPM ∴，OC OP CP ∴OP2=OC•OM，当 m=3 时，P（3，1），C（4，0）， 9a2 a2  OP2=32+12=10，OC=4，OM= ，OP OC 10 4∴，9a2 a2  ∴10=4 ，∴4a4-25a2+36=0，（4a2-9）（a2-4）=0， 3∴a=± ，a=±2， 2∵1＜a＜3， 3∴a= 或 2， 233当 a= 时，M（，2）， 2213 PM= ，CP= ，2213 22PM CP 10 4，（舍去）＝35当 a=2 时，M（2，），PM= ，CP= ，2225PM CP 10 4∴，成立， 223∴M（2，）． 2（3）不存在．理由如下： 5当 m=5 时，P（5，1），Q（1，5），设 M（x，）， x1OP 的解析式为：y= x，OQ 的解析式为 y=5x， x①当 1＜x＜5 时，如图 1 中， 151∴E（，），F（x， x）， xx5S=S 矩形 OAMB-S△OAF-S△OBE 111 1 •2 x 5=5- x• x- •=4.1， 25x化简得到：x4-9×2+25=0， △＜O， ∴没有实数根． ②当 x≤1 时，如图 2 中， S=S△OGH＜S△OAM=2.5， ∴不存在， ③当 x≥5 时，如图 3 中， S=S△OTS＜S△OBM=2.5， ∴不存在，综上所述，不存在．【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 26. 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　； ②在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CB≠CD，则该四边形　“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E， ∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当 6≤AC2+BD2≤7 时，求 OE 的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＞0，c＜0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧），B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为 S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； S1  S2 S3  S4 ；③“十字形”ABCD 的周长为 12 ①=；② =．SS10 12【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（OE＞0）；（3）y=x2﹣9．  OE  22【解析】【详解】分析：（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断 1出四边形 OMEN 是矩形，进而得出 OE2=2- （AC2+BD2），即可得出结论； 4112b   2a b+  2a （3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，-ac），求出 S= AC•BD=- 2111c(   b) c(  b) c(   b) （ac+c）× ，S1= OA•OB=- ，S2= OC•OD=- ，S3= OA×OD=- ，S4= 222a4a 441c(  b) 4a c(   b) 4a c(  b) c(   b) +c(  b) 4a OB×OC=- ，进而建立方程，求 +=222出 a=1，再求出 b=0，进而判断出四边形 ABCD 是菱形，求出 AD=3 ，进而求出 c=-9，即可得出结 10 论．详解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直， ∴菱形，正方形是：“十字形”， ∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， ∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为菱形，正方形； ②如图，当 CB=CD 时，在△ABC 和△ADC 中， AB  AD CB  CD AC  AC ，∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∵AB=AD， ∴AC⊥BD， ∴当 CB≠CD 时，四边形 ABCD 不故答案为不是；是“十字形”，（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB， ∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB， ∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB， ∴∠AED=∠AEB=90°， ∴AC⊥BD，过点 O 作 OM⊥AC 于 M，ON⊥BD 于 N，连接 OA，OD， 11∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM= AC，DN= BD，四边形 OMEN 是矩形， 22∴ON=ME，OE2=OM2+ME2， 1∴OE2=OM2+ON2=2﹣ （AC2+BD2）， 4∵6≤AC2+BD2≤7， 732∴2﹣ ≤OE2≤2﹣ ，41412∴∴≤OE2≤ ≤OE≤ ，122；2b   2a b   2a （3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac）， ∵a＞0，c＜0，   b  b ∴OA= ，OB=﹣c，OC= ，OD=﹣ac，AC= ，BD=﹣ac﹣c， 2a 2a a1111c(   b) 4a c(  b) ∴S= AC•BD=﹣ （ac+c）× ，S1= OA•OB=﹣ ，S2= OC•OD=﹣ ，2222a411c(   b) c(  b) S3= OA×OD=﹣ ，S4= OB×OC=﹣ ，2244a S  S1  S2 S  S3  S4 ∵∴∴，，c(   b) c(  b) c(   b) c(  b) 4a ，+=+224a =2， 4a ∴a=1， c(   b) 4a c(  b) 4a ∴S=﹣c ，S1=﹣ ，S4=﹣ ，S  S1  S2 ∵，S1S2 ∴S=S1+S2+2 ，c  2c2·(4c) ，∴﹣c =﹣  2 16 c  2∴∴ c c b2  4c  4c ∴b=0， ∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c）， -c c ∴四边形 ABCD 是菱形， ∴4AD=12 ，10 ∴AD=3 ，10 即：AD2=90， ∵AD2=c2﹣c， ∴c2﹣c=90， ∴c=﹣9 或 c=10（舍），即：y=x2﹣9．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出 a=1 是解本题的关键．本试卷的题干 713000635