湖南省益阳市2018年中考数学真题试题（含解析）

湖南省益阳市2018年中考数学真题试题一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1.2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（）A．1.35×106 B．1.35×105 C．13.5×104 D．135×103 【专题】常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数【解答】解：135000=1.35×105 故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 2.下列运算正确的是（）23A． x3 x3  x9 【专题】计算题． B． x8  x4  x2 C． ab3  ab6 D． 2x  8×3 【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂长乘方，积的乘方一一判断即可；【解答】解：A、错误．应该是x3•x3=x6； B、错误．应该是x8÷x4=x4； C、错误．（ab3）2=a2b6． D、正确．故选：D．【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则，幂长乘方，积的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 2x  1＜ 3 3x  1  2 3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）-1 0 1 -1 0 1 B-1 0 1 C-1 0 1 AD专题】常规题型．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】 1∵解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x＜1，在数轴上表示为：故选：A．，【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 4.下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥）【专题】投影与视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选：D．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识． 5.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90° D．∠AOD＋∠BOD＝180° C．∠AOC＝∠AOE EADBOC【专题】常规题型；线段、角、相交线与平行线．【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得． 2【解答】解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确； B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确； C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误； D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义 6.益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：大专硕士文化程度高中人数本科博士 917 20 95关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（ A．众数是20 B．中位数是17 C．平均数是12 【专题】数据的收集与整理．）D．方差是26 【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解．【解答】解：A、这组数据中9出现的次数最多，众数为9，故本选项错误； B、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念． 7.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A． 4 16 B． 8 16 C．16  32 D． 32 16 CDOAB【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的计算．【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2 2，根据阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD列式计算可得．【解答】解：连接OA、OB， 3∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，故选：B．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式． 8.如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为 的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）B300 αAO300 A． 300sin 米B． 300cos 米C． 300tan 米D．米tan 【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米， BO=AB•sinα=300sinα米．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关 9.体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是 x米/秒，则所列方程正确的是（）800 800 A． 41.25x  40x  800 B． D．  40  40 x2.25x 800 800 800 800 C．  40 x1.25x 1.25x x【专题】常规题型．【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【解答】解： 4故选：C．【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键． 10.已知二次函数 y  ax2  bx  c 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A． ac ＜0 B． b＜0 C． b2  4ac ＜0 D． a  b  c ＜0 yxO1【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y轴的交点确定c，根据对称轴确定b，根据抛物线与x轴的交点确定b2- 4ac，根据x=1时，y＞0，确定a+b+c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＞0，A错误； ∴b＜0，∴B正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，C错误；当x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，D错误；故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 12  3= 。【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．【解答】 5故答案为：6．【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键． 12.因式分解： x3 y2  x3  【专题】计算题；整式．。【分析】先提取公因式x3，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：原式=x3（y2-1）=x3（y+1）（y-1），故答案为：x3（y+1）（y-1）．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤–先提取公因式，再利用公式法分解． 13.2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车。如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是。会龙山大桥西流湾大桥龙洲大桥资阳B 沅江A 益阳火车站【专题】概率及其应用．【分析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可；【解答】解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 2  k x14.若反比例函数 y  的图象位于第二、四象限，则 k的取值范围是。【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2- k的符号，即可解答．【解答】 6∴2-k＜0， ∴k＞2．故答案为：k＞2．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆（1）当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键． 15.如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则 ∠C＝度。 ADOCB【专题】计算题．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵BC为切线， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∵AD=CD， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠C=45°．故答案为45．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 16.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌ △FEC；②四边形ADEF为菱形；③ SADF : SABC  1: 4 。其中正确的结论是。（填写所有正确结论的序号） 7AFDBE C 【专题】三角形；图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似．【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC，进而可证出△A DF≌△FEC（SSS），结论①正确； ②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD，进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF，进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；此题得解．【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE、DF、EF为△ABC的中位线， ∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确； ②∵E、F分别为BC、AC的中点， ∴EF为△ABC的中位线，故答案为：①②③． 8【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． 17.规定： a  b  a  b b，如： 2 3  2  3  3  15，若 2 x  3 ，则 x＝。【专题】新定义．【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．【解答】解：依题意得：（2+x）x=3，整理，得 x2+2x=3，所以（x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=-3．故答案是：1或-3．【点评】考查了解一元二次方程-配方法．用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 18.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为 1半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于 MN 的长为半径作 2弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则 OC＝。BFMOEACN【专题】常规题型．【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案． 9【解答】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心， ∵AB=5，AC=4，BC=3， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形OGCD是正方形，【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD的长是解题关键．三、解答题：（本题共8小题，共78分） 2219.（本小题满分8分）计算： 5  3 27  2  4   3【专题】计算题．【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；【解答】解：原式=5-3+4-6=0 【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． y2 x  y x20.（本小题满分8分）化简： x  y  x  y 【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．【解答】 10 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21.（本小题满分8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN EMB1AN2CD【专题】线段、角、相交线与平行线．【分析】只要证明∠AEM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明；【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠EAB=∠ECD， ∵∠1=∠2， ∴∠EAM=∠ECN， ∴AM∥CN．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题． 22.（本小题满分10分）2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化。某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图。请你根据图中提供的信息完成下列问题：（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；（2）求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人？人数 48 48 42 36 30 24 18 12 6ADC15% B40% 12 D0ACB等级【专题】统计的应用．【分析】（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例，即可得出被调查学生的人数，由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的 11 学生数，再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数- 了解程度达到B等的学生数-了解程度达到C等的学生数- 了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；（2）根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°，即可求出结论；（3）利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例，即可得出结论．【解答】解：（1）48÷40%=120（人）， 120×15%=18（人）， 120-48-18-12=42（人）．将条形统计图补充完整，如图所示．（2）42÷120×100%×360°=126°．答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°．答：该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键． 23.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，- k1），其中有两点同时在反比例函数 y  的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记 x为C，（1）求出 k 的值；（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是值（不必说明理由）。 x 轴上的一个动点，直接写出PC＋PD的最小 12 y(1,2) (3,1) xO(-2, -1) 【专题】反比例函数及其应用．【分析】（1）确定A、B、C的坐标即可解决问题；（2）理由待定系数法即可解决问题；（3）作D关于x轴的对称点D′（0，- 4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值=CD′的长；【解答】解： ∴A（1，2），B（-2，-1），C（3，1） ∴k=2．（2）设直线AB的解析式为y=mx+n， ∴直线AB的解析式为y=x+1（3）∵C、D关于直线AB对称， ∴D（0，4）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，【点评】本题考查反比例函数图形上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题． 13 24.（本小题满分10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元， A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：品种 A B 原来的运费现在的运费 45 25 30 20 （1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用．【分析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，（2）设增加m件A产品，则增加了（8- m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m 的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m 的一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．【解答】解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8-m）=（38- m）件，根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790，由题意得：38-m≤2（10+m），解得：m≥6，即6≤m≤8， ∵一次函数W随m的增大而增大 ∴当m=6时，W最小=850，答：产品件数增加后，每次运费最少需要850元． 14 【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值． 25.（本小题满分12分）如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°。（1）求证：BE＝CE （2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动。若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N。（如图2） ①求证：△BEM≌△CEN； ②若AB＝2，求△BMN面积的最大值； ③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值。 EABDEAMDC图2 图1 CGBFNFFGA(M) EDCBN图3 G【专题】几何综合题．【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用①可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明； ②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， 15 ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵E是AD中点， ∴AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE． 16 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 1326.（本小题满分12分）如图，已知抛物线 y  x2  x  n （ n＞0）与 x 轴交于A 22，B两点（A点在B点的左边），与 y轴交于点C。的值；（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求 n（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交 y轴交于点E，若AE:ED ＝1:4，求 n的值。 yDyEBxxABOAOCC图1 图2 17 【专题】二次函数图象及其性质；多边形与平行四边形；图形的相似．【分析】（1）利用三角形相似可求AO•OB，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB 构造方程求n；（2）求出B、C坐标，设出点Q坐标，理由平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q点坐标；（3）设出点D坐标（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根与系数关系表示OB，得到点B坐标，进而找到b与a关系，代入抛物线求a、n即可． 18 19 参考答案 1-10、BDADC CBACB 11、6 12、x3（y+1）（y-1） 13、 14、k>2 15、45 16、①②③ 17、1或-3 18、解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心， ∵AB=5，AC=4，BC=3， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形OGCD是正方形，．20 19、0 20、x 21、证明：∵AB∥CD， ∴∠EAB=∠ECD， ∵∠1=∠2， ∴∠EAM=∠ECN， ∴AM∥CN． 22、解：（1）48÷40%=120（人）， 120×15%=18（人）， 120-48-18-12=42（人）．将条形统计图补充完整，如图所示．（2）42÷120×100%×360°=126°．答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°．答：该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人． 23、解： ∴A（1，2），B（-2，-1），C（3，1） ∴k=2． 21 ∴直线AB的解析式为y=x+1（3）∵C、D关于直线AB对称， ∴D（0，4）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小， 24、解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8-m）=（38- m）件，根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790，由题意得：38-m≤2（10+m），解得：m≥6，即6≤m≤8， ∵一次函数W随m的增大而增大 ∴当m=6时，W最小=850，答：产品件数增加后，每次运费最少需要850元． 25、 22 23 26、 24 25 【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想． 26