江苏省无锡市2018年中考数学真题试题（含解析）

江苏省无锡市2018年中考数学真题试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1．（3分）下列等式正确的是（　　） A．（）2=3 B． 2．（3分）函数y= =﹣3 C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3 中自变量x的取值范围是（　　） B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤4 A．x≠﹣4 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a5 C．a4﹣a3=a D．a4÷a3=a 4．（3分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（3分）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y= 的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（　　） A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 7．（3分）某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件）的全部数据如下表： 1售价x（元/件）90 95 100 80 105 60 110 50 销量y（件） 110 100 则这5天中，A产品平均每件的售价为（　　） A．100元 B．95元 C．98元 D．97.5元 8．（3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点 E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（　　） A．等于 C．等于 B．等于 D．随点E位置的变化而变化 10．（3分）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（　　）A．4条 B．5条 C．6条 D．7条　2二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11．（2分）﹣2的相反数的值等于　　． 12．（2分）今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次，这个数据用科学记数法可记为　　． 13．（2分）方程 =的解是　　． 14．（2分）方程组的解是　　． 15．（2分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　　． 16．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=　　．17．（2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于　　． 18．（2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥ OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　　．　三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： 0（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（（2）（x+1）2﹣（x2﹣x））20．（8分）（1）分解因式：3×3﹣27x 3（2）解不等式组： 21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE． 22．（6分）某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二手轿车的全部数据，以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车　　辆．（2）把这幅条形统计图补充完整．（画图后请标注相应的数据）（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为　　度． 23．（8分）某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队．但参赛时，每班只能有3名队员上场参赛，班主任老师必须参加，另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名．初三（1）班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队，求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程） 24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB= ，求AD的长．425．（8分）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润 10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．（1）求y关于x的函数表达式；（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？ 26．（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式． 27．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜ θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若 =﹣1，求的值． 528．（10分）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3 ，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣ ，0），求这条抛物线的函数表达式．　6参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1．（3分）下列等式正确的是（　　） A．（）2=3 B． =﹣3 C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．【解答】解：（）2=3，A正确； =3，B错误； ==3 ，C错误；（﹣ ）2=3，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的关键．　2．（3分）函数y= A．x≠﹣4 中自变量x的取值范围是（　　） D．x≤4 B．x≠4 C．x≤﹣4 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，4﹣x≠0，解得x≠4．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a5 C．a4﹣a3=a D．a4÷a3=a 【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 7【解答】解：A、a2、a3不是同类项不能合并，故A错误； B、（a2）3=a6）x5•x5=x10，故B错误； C、a4、a3不是同类项不能合并，故C错误； D、a4÷a3=a，故D正确．故选：D．【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．　4．（3分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．【解答】解：能折叠成正方体的是故选：C．【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，熟练正方体的展开图是解题的关键．　5．（3分）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（　　）8A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．【解答】解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．，故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．　6．（3分）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y= 的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（　　） A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：y= ∵a＜0，的k=﹣2＜0，图象位于二四象限， ∴P（a，m）在第二象限， ∴m＞0； ∵b＞0， ∴Q（b，n）在第四象限， ∴n＜0． ∴n＜0＜m，即m＞n，故D正确； 9故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜0时，图象位于二四象限是解题关键．　7．（3分）某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件）的全部数据如下表：售价x（元/件）90 95 100 105 110 销量y（件） 110 100 80 60 50 则这5天中，A产品平均每件的售价为（　　） A．100元 B．95元 C．98元 D．97.5元【分析】根据加权平均数列式计算可得．【解答】解：由表可知，这5天中，A产品平均每件的售价为 =98（元/件），故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义及其计算公式．　8．（3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点 E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC 与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图， 10 ∵G是BC的中点， ∴AG=DG， ∴GH垂直平分AD， ∴点O在HG上， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴BC与圆O相切； ∵OG=OG， ∴点O不是HG的中点， ∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形， ∴AF与DE的交点是圆O的圆心； ∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．　9．（3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（　　） A．等于 C．等于 B．等于 D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的 11 对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠AFE=∠FAG， ∴△AEH∽△ACD， ∴ = = ．设EH=3x，AH=4x， ∴HG=GF=3x， ∴tan∠AFE=tan∠FAG= = 故选：A． = ．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．　10．（3分）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（　　）A．4条 B．5条 C．6条 D．7条【分析】将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，利用树状图可得所有路径．【解答】解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，画树状图如下： 12 由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种，故选：B．【点评】本题主要考查列表法与树状图，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．　二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11．（2分）﹣2的相反数的值等于　2　．【分析】根据相反数的定义作答．【解答】解：﹣2的相反数的值等于 2．故答案是：2．【点评】考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．　12．（2分）今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次，这个数据用科学记数法可记为　3.03×105　．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于303000有6位整数，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：303000=3.03×105，故答案为：3.03×105．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n的值是解题的关键．　13 13．（2分）方程 =的解是　x=﹣ 　．【分析】方程两边都乘以x（x+1）化分式方程为整式方程，解整式方程得出x的值，再检验即可得出方程的解．【解答】解：方程两边都乘以x（x+1），得：（x﹣3）（x+1）=x2，解得：x=﹣ 检验：x=﹣ 时，x（x+1）= ≠0，所以分式方程的解为x=﹣ 故答案为：x=﹣ ，，．【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；② 求出整式方程的解；③检验；④得出结论．　14．（2分）方程组的解是　　．【分析】利用加减消元法求解可得．【解答】解：，②﹣①，得：3y=3，解得：y=1，将y=1代入①，得：x﹣1=2，解得：x=3，所以方程组的解为故答案为：，．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．　15．（2分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　菱形的四条边相等　．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，故答案为：菱形的四条边相等． 14 【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．　16．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=　 15°　．【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB，OA=AB， ∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥OB， ∴∠COB=90°， ∴∠COA=90°﹣60°=30°， ∴∠ABC=15°，故答案为：15° 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．　17．（2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于　15 或10 ．　【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在 Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 15 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 在Rt△ACD中，∵AC=2 ，，∴CD= ==，则BC=BD+CD=6 ，∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5 ，CD= 则BC=BD﹣CD=4 ，，∴S△ABC= •BC•AD= ×4 ×5=10 综上，△ABC的面积是15 或10 ．，故答案为15 或10 ．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．　18．（2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥ OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　2≤a+2b≤5　． 16 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a ，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°， ∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°， ∴EH= EP= a， ∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC= OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．　三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： 0（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（）17 （2）（x+1）2﹣（x2﹣x）【分析】（1）本题涉及零指数幂、乘方、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项即可求解． 0【解答】解：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（）=4×3﹣1 =12﹣1 =11；（2）（x+1）2﹣（x2﹣x） =x2+2x+1﹣x2+x =3x+1．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值、完全平方公式、去括号法则、合并同类项等考点的运算．　20．（8分）（1）分解因式：3×3﹣27x （2）解不等式组：【分析】（1）先提取公因式3x，再利用平方差公式分解可得；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：（1）原式=3x（x2﹣9） =3x（x+3）（x﹣3）；（2）解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．【点评】本题考查的是因式分解和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．　21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE． 18 【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．【解答】解：在▱ABCD中， AD=BC，∠A=∠C， ∵E、F分别是边BC、AD的中点， ∴AF=CE，在△ABF与△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（SAS） ∴∠ABF=∠CDE 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型　22．（6分）某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二手轿车的全部数据，以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车　3000　辆．（2）把这幅条形统计图补充完整．（画图后请标注相应的数据）（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为　54　度．【分析】（1）根据B类别车辆的数量及其所占百分比可得总数量；（2）用总数量乘以C类别的百分比求得其数量，据此即可补全条形图； 19 （3）用360°乘以D类车辆占总数量的比例即可得出答案．【解答】解：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车1080÷36%=3000辆，故答案为：3000；（2）C类别车辆人数为3000×25%=750辆，补全条形统计图如下：（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为360°× 故答案为：54． =54°，【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　23．（8分）某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队．但参赛时，每班只能有3名队员上场参赛，班主任老师必须参加，另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名．初三（1）班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队，求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的情况数，即可求出所求的概率．【解答】设男同学标记为A、B；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：甲乙丙丁甲乙丙/（乙，甲） /（丙，甲）（丙，乙） /（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）（甲，乙）（甲，丙）（乙，丙） 20 丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁） /共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的结果有2种，所以恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率为 = ．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB= ，求AD的长．【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，D F⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．解Rt△AEB，得出BE=AB•cos∠ABE= ，AE= =，那么AF=AE﹣EF= ．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC= ．解Rt△ADF，即可求出AD= =6．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°， ∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，∴BE=AB•cos∠ABE= ，，∴AE= =∴AF=AE﹣EF= ﹣10= ．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°， ∴∠ABC+∠ADF=90°， 21 ∵cos∠ABC= ∴sin∠ADF=cos∠ABC= 在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，．，∴AD= = =6．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF= 以及sin∠ADF= 是解题的关键．　25．（8分）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润 10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．（1）求y关于x的函数表达式；（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？【分析】（1）列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分；（2）由（1）y≥22000即可．【解答】解：（1）由题意：当2 000≤x≤2 600时，y=10x﹣6（2600﹣x）=16x﹣15600；当2 600＜x≤3 000时，y=2600×10=26000 （2）由题意得： 16x﹣15600≥22000 解得：x≥2350 ∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水 22 果所获的利润不少于22000元．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意．　26．（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′ ，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一． ①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣ x+ ．②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣ x+4． 23 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．　27．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜ θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若 =﹣1，求的值．【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出 = =，可得CE= 由=﹣1推出 = ，推出AC= • ，推出BH=AC= = • ，可得m2﹣n2=6• ，可得1﹣ =6• ，由此解方程即可解决问题；【解答】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形． ∴AD=HA1=n=1， 24 在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2， ∴BA1=2HA1， ∴∠ABA1=30°， ∴旋转角为30°， ∵BD= =，∴D到点D1所经过路径的长度= （2）∵△BCE∽△BA2D2， =π． ∴ = ∴CE= =，∵=﹣1 ∴ = ，∴AC= • ∴BH=AC= ，= • ，∴m2﹣n2=6• ，∴m4﹣m2n2=6n4， 1﹣ =6• ，∴ = （负根已经舍弃）．【点评】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．　28．（10分）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3 ，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式； 25 （2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣ ，0），求这条抛物线的函数表达式．【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m （2）由∠APQ=90°，构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．【解答】解：（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE⊥AF于点E 设AC=n，则CD=n ∵点B坐标为（0，﹣1） ∴CD=n+1，AF=m+1 ∵CH∥AF，BC=2AC ∴即：整理得： n= Rt△AEC中， CE2+AE2=AC2 ∴5+（m﹣n）2=n2 把n= 代入 25+（m﹣ ）2=（）26 解得m1=2，m2=﹣3（舍去） ∴n=1 ∴把A（3 ，2）代入y=kx﹣1得 k= ∴y= x﹣1 （2）如图，过点A作AE⊥CD于点E 设点P坐标为（2 ，n），由已知n＞0 由已知，PD⊥x轴 ∴△PQD∽△APE ∴∴解得n1=5，n2=﹣3（舍去）设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k ∴y=a（x﹣2 ）2+5 把A（3 ，2）代入y=a（x﹣2 ）2+5 解得a=﹣ ∴抛物线解析式为：y=﹣ 【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量． 27