江苏省扬州市2018年中考数学真题试题（含解析）

苏扬江省州市2018年中考数学真题试题选择题一、：1. 的倒数是（）A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】分析：根据倒数的定义进行解答即可．详解：∵（-5）×（- ）=1， ∴-5的倒数是- ．选故 A．义有意的的取值围范是（ 2. 使 A. ）B. C. D. 【答案】C 负【解析】分析：根据被开方数是非数，可得答案．详题解：由意，得 x-3≥0，解得x≥3，选故 C．题查义了二次根式有意的条件，利用得出不等式是解题键关．点睛：本考图3. 如所示的几何体的主视图是（）A. B. C. D. 【答案】B 视图义，【解析】根据主的定视图层组由三小正方形成，几何体的主层层有三个小正方形，二三各有一个小正方形，下1选故 B. 说4. 下列法正确的是（）组A. 一数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2 样调查 B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽绩则这C. 小明的三次数学成是126分，130分，136分，小明三次成的平均数是131分绩则该日气温的极差是 D. 某日最高气温是【答案】B ，最低气温是，义【解析】分析：直接利用中位数的定以及抽样调查义的意和平均数的求法、极差的定义别分分析得出答案．详组解：A、一数据2，2，3，4，这组选项错误数据的中位数是2.5，故此；样调查 B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽，正确；绩则这绩C、小明的三次数学成是126分，130分，136分，小明三次成的平均数是130 分，故此选项错误；．则D、某日最高气温是7℃，最低气温是-2℃，改日气温的极差是7-（-2）=9℃，故此选项错误；选故 B．题查点睛：此主要考了中位数、抽样调查义的意和平均数的求法、极差，正确把握相关定是解关义题键图则象上，下列关系式一定正确的是（ 5. 已知点、都在反比例函数的）A. B. C. D. 【答案】A 质【解析】分析：根据反比例函数的性，可得答案．详题解：由意，得图k=-3，象位于第二象限，或第四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵3＜6， ∴x1＜x2＜0，选故 A．题查质了反比例函数，利用反比例函数的性是解题键关．点睛：本考标轴为轴为6. 在平面直角坐系的第二象限内有一点，点到的距离 3，到的距离4，点的坐是（则标）2A. B. C. D. 【答案】C 标【解析】分析：根据地二象限内点的坐特征，可得答案．详题解：由意，得 x=-4，y=3，标即M点的坐是（-4，3），选故 C．题查标了点的坐，熟点的坐特征是解记标题键标绝对值轴就是到y 的距离，纵标坐点睛：本考关．横坐的绝对值轴就是到x 的距离．的则于，下列结论一定成立的是（ 7. 在中，，于，平分交）A. B. C. D. 【答案】C 结【解析】分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分的定可得出∠ACE=∠DCE，再合线义对边题即可得出BC=BE，此得解 ∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角等．详解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE．选故 C．题查质质线义了直角三角形的性、三角形外角的性、余角、角平分的定以及等腰三角形的判定点睛：本考3过计题，通角的算找出∠BEC=∠BCE是解的关．键8. 图线侧上，在的同作等腰别对交于点、. 于如，点在结论段和等腰，与、分下列：①；② ；③ .其中正确的是（）A. ①②③ 【答案】A B. ① C. ①② D. ②③ 边【解析】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三份数关系可证；过积证式倒推可知，明△PAM∽△EMD即可；（2）通等2转（3）2CB 化 AC2，明△ACP∽△MCA，为证问题证可．详解：由已知：AC= AB，AD= AE ∴∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD 4圆∴P、E、D、A四点共 ∴∠APD=∠EAD=90° ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC= AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确选故 A．题查质积证应应寻了相似三角形的性和判断．在等式和比例式的明中注意用倒推的方法找相似点睛：本考进证进明，而得到答案．三角形行题二、填空红细约为记为，数据0.00077用科学数法表示 __________． 9. 在人体血液中，胞直径【答案】 -绝对值记为小于1的正数也可以利用科学数法表示，一般形式 a×10 【解析】分析： n较记负幂，与大数的科学数法不同的是其所使用的是指数，指数由原数左起第一个不零的数字前面的边为0的个数所决定． -4 详解：0.00077=7.7×10 ， -4 为故答案：7.7×10 ． -题查记较点睛：本主要考用科学数法表示小的数，一般形式 a×10 为n为边为，其中1≤|a|＜10，n 由原数左起第一个不零的数字前面的0的个数所决定． 10. 因式分解： __________．【答案】【解析】分析：原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 2详解：原式=2（9-x ）=2（x+3）（3-x），为故答案：2（x+3）（3-x）题查综练了提公因式法与公式法的合运用，熟掌握因式分解的方法是解本的关．题键点睛：此考11. 细长有4根木棒，度分别为选2cm、3cm、4cm、5cm，从中任 3根，恰好能搭成一个三角形的概率是________ 5__．【答案】题举细【解析】分析：根据意，使用列法可得从有4根木棒中任取3根的共情况数目以及能搭成一个三角总计计形的情况数目，根据概率的算方法，算可得答案．详题细解：根据意，从有4根木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，二种；为故其概率：．题查计举概率的算方法，使用列法解题时顺识为，注意按一定序，做到不重不漏．用到的知点点睛：本考总：概率=所求情况数与情况数之比．则值为 __________． 12. 若是方程【答案】2018 的一个根，的义【解析】分析：根据一元二次方程的解的定即可求出答案． 2详题解：由意可知：2m -3m-1=0， ∴2m2-3m=1 ∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018 为故答案：2018 题查题键义一元二次方程的解，解的关是正确理解一元二次方程的解的定，本属于基型题础题点睛：本．考13. 为圆，为纸围圆锥侧则这圆锥圆为个的底面半径 __________ 用半径．心角的扇形片成一个的面，【答案】【解析】分析：圆锥圆为的底面半径 r，根据圆锥圆长长的底面周 =扇形的弧，列方程求解．详设圆锥圆为的底面半径 r，依意，得题解： 2πr= ，解得r= cm．为故答案：．6题查圆锥计圆锥侧图为计现扇形，算要体两个化：1、转圆锥线长为的母扇点睛：本考了的算．的面展开圆锥圆长为长扇形的弧．形的半径，2、的底面周组为的解集 __________． 14. 不等式【答案】诀组【解析】分析：先求出每个不等式的解集，再根据口求出不等式的解集即可．详解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤ ，解不等式，得：x＞-3，则组为不等式的解集 -3＜x≤ ，为故答案：-3＜x≤ ．题查组简诀组诀了一元一次不等式的求法，其便求法就是用口求解．求不等式解集的口：同大点睛：此考间取大，同小取小，大小小大中找，大大小小找不到（无解）．图15. 如，已知为的半径 2，则，内接于，__________．【答案】圆【解析】分析：根据内接四边对边补对圆圆心角是周角的二倍，可以求得∠AOB的度数形互和同弧所的长，然后根据勾股定理即可求得AB的．详连解：接AD、AE、OA、OB，为∵⊙O的半径 2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， 7∵OA=OB=2， ∴AB=2 ，为故答案：2 ．题查圆题键题问题需要的条件，利用数点睛：本考三角形的外接和外心，解答本的关是明确意，找出所求合的思想解答． 16. 关于的方程【答案】【解析】分析：根据一元二次方程的定以及根的判式的意可得△=4- 结形实值围范是__________．有两个不相等的数根，那么的取且义别义值围即可． 12m＞0且m≠0，求出m的取范2详实解：∵一元二次方程mx -2x+3=0有两个不相等的数根， ∴△＞0且m≠0， ∴4-12m＞0且m≠0， ∴m＜且m≠0，为故答案：m＜且m≠0． 22题查为别了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0，a，b，c 常数）根的判式△=b – 点睛：本考实实 4ac．当△＞0，方程有两个不相等的数根；当△=0，方程有两个相等的数根；当△＜0，方程没有实查数根．也考了一元二次方程的定义．17. 图边标为标为，点的坐如，四形是矩形，点的坐，把矩形沿折叠，点落在点处则标为点的坐，__________．【答案】【解析】分析：由折叠的性得到一角相等，再由矩形质对对边对错换角相等，等量代及等角平行得到一内对边对应边过相等得到DE=AE， D作等得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形 8积长标DF垂直于OE，利用勾股定理及面法求出DF与OF的，即可确定出D坐．详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO， ∵矩形ABCO， ∴BC∥OA， ∴∠CBO=∠BOA， ∴∠DBO=∠BOA， ∴BE=OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS）， ∴AE=DE，设则DE=AE=x，有OE=BE=8-x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解得：x=5，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA， ∵S△OED= OD•DE= OE•DF， ∴DF= ，OF= ，则D（，- ）．为故答案：（，- ）．题键查变了翻折化（折叠问题标图变换质练质，以及矩形的性，熟掌握折叠的性是解点睛：此考．），坐与形题本的关 918. 图标为线积分成面相等如，在等腰中，值为的，点的坐，若直：把则的两部分， __________．【答案】题【解析】分析：根据意作出合适的辅线题，然后根据意即可列出相的方程，从而可以求得m的．应值助详解：∵y=mx+m=m（x+1），过∴函数y=mx+m一定点（-1，0），时当x=0 ，y=m，标为 ∴点C的坐（0，m），题线为意可得，直 AB的解析式 y=-x+2，由，得，线积 ∵直 l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面相等的两部分， ∴，解得，m= 或m= （舍去），为故答案：．题查图标题键题一次函数象上点的坐特征、等腰直角三角形，解答本的关是明确意，找出所求点睛：本考10 问题结需要的条件，利用数形合的思想解答．题三、解答计简算或化 . 19. （1）【答案】（1）4；（2）【解析】分析：（1）根据整数；（2） .负幂绝对值则值的运算法和特殊三角函数即可化简值求．、（2）利用完全平方公式和平方差公式即可． -1 详解：（1）（）+| −2|+tan60° =2+（2- ）+ =2+2- + =4 （2）（2x+3）2-（2x+3）（2x-3） =（2x）2+12x+9-[（2×2）-9] =（2x）2+12x+9-（2x）2+9 =12x+18 题查实负幂数的混合运算和乘法公式，整数指数的运算和相反数容易混淆，运用平方差公式计点睛：本考时键项项结项项，关要找相同和相反，其果是相同的平方减去相反的平方．算对实义于任意数、，定关于“ ”的一种运算如下： 20. .例如 .值；（1）求（2）若的值的 . ，且，求【答案】（1）；（2） .义则【解析】分析：（1）根据新定型运算法即可求出答案．组（2）列出方程即可求出答案详解：（1）题（2）由意得 ∴.题查义题键则新定型运算，解的关是正确利用运算法，本属于基型．题础题点睛：本考11 21. 苏动省第十九届运会将于2018年9月在扬举为爱项行开幕式，某校了了解学生“最喜的省运会目”的江州进问调查规篮车定每人从“ 球”、“羽毛球”、“自行 ”、“游泳”和情况，随机抽取了部分学生行卷，选项须选择选择调查结绘统计图果制成如下两幅不完整的 “其他”五个中必且只能一个，并将表. 爱项最喜的省运会目的人数调查统计表请根据以上信息，回答下列问题：这调查样本容量是（1）次的，；统计图车中“自行 ” 对应计该圆的扇形的心角为（2）扇形度；该（3）若校有1200名学生，估【答案】（1）50人，爱项校最喜的省运会目是球的学生人数. 篮该爱；（2）；（3）校最喜的省运动项篮为目是球的学生人数 480人. 会样进【解析】分析：（1）依据9÷18%，即可得到本容量，而得到a+b的值；圆计车（2）利用心角算公式，即可得到“自行 ” 对应圆的扇形的心角；爱项篮（3）依据最喜的省运会目是球的学生所占的比例，即可估计该爱项篮校最喜的省运会目是球的学生人数．详样解：（1）本容量是9÷18%=50， a+b=50-20-9-10=11，为故答案：50，11；车（2）“自行 ” 对应圆的扇形的心角= ×360°=72°，为故答案：72°；该爱项篮（3）校最喜的省运会目是球的学生人数：1200× =480（人）．为题查统计统计图综读统计图合运用．统计统计图表和中得到必要点睛：本考的是表和扇形统计图的懂，从不同的问题键的关．扇形总直接反映部分占体的百分比大小．的信息是解决 12 张别 22. 4相同的卡片上分写有数字-1、-3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀. 张（1）从中任意抽取1 ，抽到的数字是奇数的概率是；张记（2）从中任意抽取1 ，并将所取卡片上的数字作一次函数中的；再从余下的卡片中任意抽取张记，并将所取卡片上的数字作一次函数树图这或列表的方法，求个一次函数的 1中的 .利用画状图经过象第一、二、四象限的概率. 【答案】（1）；（2） . 总【解析】解：（1）共有四个，奇数有两个，所以概率就是题（2）根据意得：一次函数图过则第一、二、四象限，形图经过 ∴象第一、二、四象限的概率是 .分析：（1）直接利用概率公式求解；树图结展示所有12种等可能的果数，利用一次获胜质结的性，找出k＜0，b＞0的果数，然后根（2）画状据概率公式求解．详张解：（1）从中任意抽取1 ，抽到的数字是奇数的概率= ；为故答案；状树图为：（2）画结结共有12种等可能的果数，其中k＜0，b＞0有4种果，这所以个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率= ．题查树图树图结选法展示所有等可能的果n，再从中出符合点睛：本考了列表法与状法：利用列表法或状结计查事件A或B的果数目m，然后利用概率公式算事件A或事件B的概率．也考了一次函数的性．质23. 铁东京沪路是我国部沿海地区纵贯动南北的交通大脉，全长铁线，是我国最繁忙的路干之一.如果车从北京到上海的客速度是货车车货车货车少用，那么的速度是多少？（精确到速度的2倍，客比）13 货车时千米/小 . 【答案】的速度是设货车时则车时的速度是2x千米/小，根据时间结 =路程÷速度合客【解析】分析：的速度是x千米/小，客车详货车时少用6小，即可得出关于x的分式方程，解之经检验结论后即可得出比．设货车为的速度解：题由意得经检验该方程的解是货车时千米/小 . 答：的速度是题查应题了分式方程的用，找准等量关系，正确列出分式方程是解的关．键点睛：本 24. 考图边连长并延，交的延长线连于点，接如，在平行四形中，，点是的中点，接.证（1）求：四边形是菱形；积的面 . （2）若，，求菱形见解析；（2）证【答案】（1）明.边边【解析】分析：（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四形AEBD是平行四形，再根据BD=AD可得结论；长（2）解直角三角形求出EF的即可解决问题；详边边是平行四形解：（1）∵四，∴ 形∴∵ 是的中点，∴ ∴在与中，边边形∵，∴四形是平行四是菱形边∵，∴四形边（2）∵四形是菱形， ∴，14 ∴∵∴∴∵，∴∴，.图25. 如，在为圆为圆半径作半，交中，，于点，于点，以点心，于点 . 证线；（1）求（2）若点是的中点，（3）在（2）的条件下，点是：是的切图，求中阴影部分的面积；边动上的点，当；（3）值时长，直接写出的. 取最小证见解析；（2）【答案】（1）【解析】分析：（1）（2）根据“S△AEO-S扇形EOF=S阴影” 明.过线为证，明OM=OE即可；作垂，垂足进计算即可；行对连时过证最小.通明（3）作关于的称点，交于，接交于，此 ∽即可求解详过线为，垂足解：（1）作垂15 ∵∴∵∴∵∴∴，平分为⊙ 的半径，为⊙ 的半径，线是⊙ 的切（2）∵ 且是的中点 ∴，，∴∵∴∴即，对连接（3）作关于的称点，交于，交于时此最小由（2）知，，∴∵∴，，∵∴，∽16 ∴∵∴即，即，∴.题圆综题查圆线的切的判定，不规则图积计问题算以及最短路径 .找出点睛：本是的合，主要考了形的面对题键点E的称点G是解决一的关 . 26. 扬单扬州漆器”名天下，某网店专门销为销售某种品牌的漆器笔筒，成本 30元/件，每天售量（件）与销“间图价（元）之存在一次函数关系，如所示. 售间（1）求与之的函数关系式；规销（2）如果定每天漆器笔筒的售量不低于240件，当销单为时获润多少元，每天取的利最大，最大售价润利是多少？该热业销润给（3）网店店主心公益事，决定从每天的售利中捐出150元希望工程，了保捐款后每天剩为证润试该余利不低于3600元，确定漆器笔筒销单围价的范 . 售单为时润为单围；（2）价 46元，利最大 3840元.（3）价的范是45元到55元. 【答案】（1）【解析】分析：（1）可用待定系数法来确定y与x之的函数关系式；间润销（2）根据利 = 售量× 件的利，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利单润润销单间件之的关和售质系式，然后根据其性来判断出最大利润；进（3）首先得出w与x的函数关系式，而利用所获润时对应值 x的，根据增减性，求出x的利等于3600元，值围．取范详题解：（1）由意得：．间为故y与x之的函数关系式：y=-10x+700，题（2）由意，得 17 -10x+700≥240，解得x≤46，设润为 w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），利w=-10×2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0，时∴x＜50 ，w随x的增大而增大， 2时∴x=46 ，w大=-10（46-50） +4000=3840，销单为时获润润价 46元，每天取的利最大，最大利是3840元；答：当售（3）w-150=-10×2+1000x-21000-150=3600， -10（x-50）2=-250， x-50=±5， x1=55，x2=45，图图所示，由象得：如时润当45≤x≤55 ，捐款后每天剩余利不低于3600元．题查应应点睛：此主要考了二次函数的用、一次函数的用和一元二次方程的用，利用函数增减性得出最应值题键现实际问题题难中抽象出二次函数模型是解答本的重点和点．是解关呈，能从问题 27. 图如 1，在边长为连1的正方形网格中，接格点、和、，值的 . 与相交于点，求归纳方法求一个角的三角函数，我往往需要找出（或构造出）一个直角三角形. 类问题锐值们观发现问题察中不在直们线连则，角三角形中，我常常利用网格画平行等方法解决此 .比如接格点、，可得 18 连变换到中，接，那么就.问题解决（1）直接写出 1中边长为图值为的_________；图值；（2）如 2，在 1的正方形网格中，与相交于点，求的维思拓展图长连，接（3）如 3，，，点在上，且于点，用上述方法构造网格求的度数. ；（3），运用勾股定理分求出MN和DM的，即可求出，延到，使交长线的延见【答案】（1）解析；（2）归纳别值值的；【解析】分析：（1）根据方法图（2）仿（1）的思路作，即可求解；（3）方法同（2）详解：图进（1）如行构造由勾股定理得：DM= ，MN= ,DN= ∵( )2+( )2=( )2 ∴DM2+MN2=DN2 ∴△DMN是直角三角形. ∵MN∥EC ∴∠CPN=∠DNM, 19 ∵tan∠DNM= ,∴=2. （2） ∵，∴∴证明同（2）. （3），题查锐值了非直角三角形中角三角函数的求法. 点睛：本考锐值们题求一个角的三角函数，我往往需要找出（或构造出）一个直角三角形是解的关 . 键28. 图边标为标为发单 .点从点出，沿以每秒1个位如 1，四形是矩形，点的坐，点的坐度的速度向点运，同点从点出，沿以每秒2个动时间为长动时发单长动度的速度向点运，当点与点重位时动设停止. 运合运秒. 时线标为的中点坐 ________；（1）当（2）当（3）当，段时相似，求的值；与时线经过轴、两点，与交于点，抛物线顶为图，如 2所示. 问该，抛物的点线抛物上是否存在点，使满标说，若存在，求出所有足条件的点坐；若不存在，明理由. 标【答案】（1）的中点坐是；（2）或；（3），.时间动长t=2，和速度可得点P和Q的路程OP和AQ的，再根据中点坐公式可得标【解析】分析：（1）先根据 20 结论；质时（2）根据矩形的性得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ与△PAQ相似，存在两种情况：时时别，分列方程可得t的值；①当△PAQ∽△QBC ，，②当△PAQ∽△CBQ ，线轴（3）根据t=1求抛物的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x ，∴KM=KQ，KE⊥MQ，画出符证标对合条件的点D，明△KEQ∽△QMH，列比例式可得点D的坐，同理根据称可得另一个点D．详图解：（1）如 1，∵点A的坐标为（3，0）， ∴OA=3，时当t=2 ，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P（2，0），Q（3，4），线标为：（ ∴段PQ的中点坐，），即（，2）；为故答案：（，2）；图边（2）如 1，∵四形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90° 时∴当△CBQ与△PAQ相似，存在两种情况：时①当△PAQ∽△QBC ，，∴，4t2-15t+9=0，（t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ，时②当△PAQ∽△CBQ ，，∴，t2-9t+9=0， t= ，∵0≤t≤6，＞7，题不符合意，舍去， ∴x= 21 综时值上所述，当△CBQ与△PAQ相似，t的是或；时（3）当t=1 ，P（1，0），Q（3，2）， 2线把P（1，0），Q（3，2）代入抛物 y=x +bx+c中得：，解得：，22线∴抛物：y=x -3x+2=（x- ） – ，顶∴点k（，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2），轴∴MQ∥x ，线对轴，交MQ于E，作抛物称∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ，图设轴如 2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE， DQ交y 于H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴，∴，∴MH=2， ∴H（0，4），为易得HQ的解析式：y=- x+4， 22 则，x2-3x+2=- x+4，解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ，）；轴图同理，在M的下方，y 上存在点H，如 3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE，对由称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y= x，则，x2-3x+2= x，解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（，）；综标为：D（- ，）或（，）．上所述，点D的坐题点睛：本是二次函数与三角形相似的综问题查，主要考相似三角形的判定和性质综应合用，三角形合的边积和四形的面，二次函数的最值问题应识用，函数的交点等知，本题较杂线，注意用t表示出段的比复长线间度，再利用相似即可找到段之的关系，代入可解决问题．23