广西贵港市2018年中考数学真题试题（含解析）

广西贵港市2018年中考数学真题试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题四个选项中只有一项是正确的 .1．（3.00分）﹣8的倒数是（　　） A．8 B．﹣8 C． D． 2．（3.00分）一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（　　） A．2.18×106 B．2.18×105 C．21.8×106 D．21.8×105 3．（3.00分）下列运算正确的是（　　） A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab C．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5 4．（3.00分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　） A． 5．（3.00分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1 B． C． D． 6．（3.00分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 7．（3.00分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3 8．（3.00分）下列命题中真命题是（　　） A． =（）2一定成立 B．位似图形不可能全等 C．正多边形都是轴对称图形 D．圆锥的主视图一定是等边三角形 9．（3.00分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（　　） 1A．24° B．28° C．33° D．48° 10．（3.00分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 11．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，AC=6 ，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，A B上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A．6 B．3 C．2 D．4.5 12．（3.00分）如图，抛物线y= （x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16 π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 13．（3.00分）若分式的值不存在，则x的值为　 14．（3.00分）因式分解：ax2﹣a=　　． 15．（3.00分）已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　． 16．（3.00分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B’C′与CD交于点M，若∠B ′MD=50°，则∠BEF的度数为　．　． 17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为　（结果保留π）．　18．（3.00分）如图，直线l为y= x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（　）．　　三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10.00分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°； 3（2）解分式方程： +1= ．20．（5.00分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a ，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a． 21．（6.00分）如图，已知反比例函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=﹣ x+4的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围． 22．（8.00分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：（1）本次抽查的样本容量是　，“答对8题”所对应扇形的圆心角为　（2）将条形统计图补充完整；　；在扇形统计图中，m=　　，n=　　　度； 4（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数． 23．（8.00分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？ 24．（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=10，cos∠BAC= ，求BD的长及⊙O的半径． 25．（11.00分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3， 0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 26．（10.00分）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变， BP边与直线l相交于点P． 5（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．　6参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题四个选项中只有一项是正确的 .1．（3.00分）﹣8的倒数是（　　） A．8 B．﹣8 C． D．【分析】根据倒数的定义作答．【解答】解：﹣8的倒数是﹣ ．故选：D．　2．（3.00分）一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（　　） A．2.18×106 B．2.18×105 C．21.8×106 D．21.8×105 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数， n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：将数据2180000用科学记数法表示为2.18×106．故选：A．　3．（3.00分）下列运算正确的是（　　） A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab C．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5 【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误； B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、（a4）3=a12，故本选项错误； D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．故选：D．　4．（3.00分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　） 7A． B． C． D．【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得．【解答】解：∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，∴抽到编号是3的倍数的概率是，故选：C．　5．（3.00分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m 、n的值，代入计算可得．【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称， ∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故选：D．　6．（3.00分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，故选：D．　87．（3.00分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3 【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．【解答】解：∵不等式组无解， ∴a﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选：A．　8．（3.00分）下列命题中真命题是（　　） A． =（）2一定成立 B．位似图形不可能全等 C．正多边形都是轴对称图形 D．圆锥的主视图一定是等边三角形【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．【解答】解：A、 =（）2当a＜0不成立，假命题； B、位似图形在位似比为1时全等，假命题； C、正多边形都是轴对称图形，真命题； D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；故选：C．　9．（3.00分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（　　） A．24° B．28° C．33° D．48° 【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而 9可得答案．【解答】解：∵∠A=66°， ∴∠COB=132°， ∵CO=BO， ∴∠OCB=∠OBC= （180°﹣132°）=24°，故选：A．　10．（3.00分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x， ∵S四边形BCFE=16， ∴= ，解得：x=2， ∴S△ABC=18，故选：B．　11．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，AC=6 ，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，A B上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） 10 A．6 B．3 C．2 D．4.5 【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′ +PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD = AC•BD=AB•E′M求二级可得答案．【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值，其PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点E′在CD上， ∵AC=6 ，BD=6， ∴AB= =3 ，由S菱形ABCD = AC•BD=AB•E′M得 ×6 ×6=3 •E′M，解得：E′M=2 ，即PE+PM的最小值是2 ，故选：C．　12．（3.00分）如图，抛物线y= （x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16 π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　） 11 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定； ②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定， ③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； ④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．【解答】解：∵在y= （x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8， ∴点A（﹣2，0）、B（8，0）， ∴抛物线的对称轴为x= =3，故①正确； ∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5， ∴⊙D的面积为25π，故②错误；在y= （x+2）（x﹣8）= x2﹣ x﹣4中，当x=0时y=﹣4， ∴点C（0，﹣4），当y=﹣4时， x2﹣ x﹣4=﹣4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，﹣4），则CE=6， ∵AD=3﹣（﹣2）=5， ∴AD≠CE， ∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误； ∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣3）2﹣ ，12 ∴点M（3，﹣ ），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣ ）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y=﹣ x﹣4；设直线CD解析式为y=mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y= x﹣4，由﹣ =﹣1知CM⊥CD于点C， ×∴直线CM与⊙D相切，故④正确；故选：B．　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 13．（3.00分）若分式的值不存在，则x的值为　﹣1　．【分析】直接利用分是有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：若分式的值不存在，则x+1=0，解得：x=﹣1，故答案为：﹣1．　14．（3.00分）因式分解：ax2﹣a=　a（x+1）（x﹣1）　．【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1）． 13 故答案为：a（x+1）（x﹣1）．　15．（3.00分）已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　5.5　．【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5， ∴x，y中至少有一个是5， ∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6， ∴（4+x+5+y+7+9）=6， ∴x+y=11， ∴x，y中一个是5，另一个是6， ∴这组数为4，5，5，6，7，9， ∴这组数据的中位数是（5+6）=5.5，故答案为：5.5．　16．（3.00分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B’C′与CD交于点M，若∠B ′MD=50°，则∠BEF的度数为　70°　．【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C’FE=40°+α，依据∠EFC=∠ EFC’，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数．【解答】解：∵∠C’=∠C=90°，∠DMB’=∠C’MF=50°， ∴∠C’FM=40°，设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C’FE=40°+α，由折叠可得，∠EFC=∠EFC’， ∴180°﹣α=40°+α， ∴α=70°， ∴∠BEF=70°， 14 故答案为：70°．　17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为　4π　（结果保留π）．【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2， ∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2 ．∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上， ∴△ABC≌△A′BC′， ∴∠ABA′=120°=∠CBC′， ∴S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′ =S扇形ABA′﹣S扇形CBC′ =﹣=﹣=4π．故答案为4π．　18．（3.00分）如图，直线l为y= x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（　 2n﹣1，0　）． 15 【分析】依据直线l为y= x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3 （4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．【解答】解：∵直线l为y= x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴， ∴当x=1时，y= 即B1（1，）， ∴tan∠A1OB1= ，，∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°， ∴OB1=2OA1=2， ∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2， ∴A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…， ∴点An的坐标为（2n﹣1，0），故答案为：2n﹣1，0．　三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10.00分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；（2）解分式方程： +1= ．【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=5﹣3﹣1﹣ + =1；（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：4+（x+2）（x﹣2）=x+2， 16 整理，得：x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣1，x2=2，检验：当x=﹣1时，（x+2）（x﹣2）=﹣3≠0，当x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，所以分式方程的解为x=﹣1．　20．（5.00分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a ，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．【解答】解：如图所示， △ABC为所求作　21．（6.00分）如图，已知反比例函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=﹣ x+4的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围． 17 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由k=6＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6时，1≤y≤3．【解答】解：（1）当x=6时，n=﹣ ×6+4=1， ∴点B的坐标为（6，1）． ∵反比例函数y= 过点B（6，1）， ∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0， ∴当x＞0时，y随x值增大而减小， ∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．　22．（8.00分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：（1）本次抽查的样本容量是　50　；在扇形统计图中，m=　16　，n=　30　，“答对8题”所对应扇形的圆心角为　86.4　度；（2）将条形统计图补充完整；（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．【分析】（1）先读图，根据图形中的信息逐个求出即可； 18 （2）求出人数，再画出即可；（3）根据题意列出算式，再求出即可．【解答】解：（1）5÷10%=50（人），本次抽查的样本容量是50， =0.16=16%，1﹣10%﹣16%﹣24%﹣20%=30%，即m=16，n=30， 360°× =86.4°，故答案为：50，16，30，86.4；（2）；（3）2000×（24%+20%+30%）=1480（人），答：该校答对不少于8题的学生人数是1480人．　23．（8.00分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆， 19 根据题意得：，解得：．答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．（2）∵要使每位学生都有座位， ∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆． 220×6=1320（元），300×4=1200（元）， ∵1320＞1200， ∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．　24．（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=10，cos∠BAC= ，求BD的长及⊙O的半径．【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙ O的半径为，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论．【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，则∠BCE=90°， ∴∠OCE+∠OCB=90°， ∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴∠A=∠D， ∵OE=OC， ∴∠E=∠OCE， 20 ∵BC=CD， ∴∠CBD=∠D， ∵∠A=∠ E， ∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠CBD=90°，即∠EBD=90°， ∴BD是⊙O的切线；（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E= ，设EC=3x，EB=5x，则BC=4x， ∵AB=BC=10=4x， x= ∴EB=5x= ∴⊙O的半径为，，，过C作CG⊥BD于G， ∵BC=CD=10， ∴BG=DG， Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC= ，∴，∴DG=6， ∴BD=12． 21 　25．（11.00分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3， 0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； ②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3； 22 （2）设BC的解析是为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析是为y=x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣ ）2+ ，当n= 时，PM最大= ；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣ （不符合题意，舍），n3= n2﹣2n﹣3=2﹣2 ﹣3=﹣2 ﹣1， P（，﹣2 ﹣1）．，当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣7（不符合题意，舍），n3=1， n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4， P（1，﹣4）；综上所述：P（1，﹣4）或（，﹣2 ﹣1）．　26．（10.00分）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变， BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长． 23 【分析】（1）先证明四边形OCBM是平行四边形，由于∠BMO=90°，所以▱OCBM是矩形，最后直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；（2）连接AP、OB，由于∠ABP=∠AOP=90°，所以A、B、O、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证明∠APB=∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即可求出答案．（3）由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在O 的左侧时，第二种情况是点P在O的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案．【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO ∴BM=CO， ∵AO∥BM， ∴四边形OCBM是平行四边形， ∵∠BMO=90°， ∴▱OCBM是矩形， ∵∠ABP=90°，C是AO的中点， ∴OC=BC， ∴矩形OCBM是正方形．（2）连接AP、OB， ∵∠ABP=∠AOP=90°， ∴A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB， ∵AO∥BM， ∴∠AOB=∠OBM， ∴∠APB=∠OBM， ∴△APB∽△OBM， 24 ∴（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED， ∴易证：四边形DBMO是矩形， ∴BD=MO，OD=BM ∴MO=2PO=BD， ∴，∵AO=2BM=2 ，∴BM= ∴OE= ，，DE= ，易证△ADB∽△ABE， ∴AB2=AD•AE， ∵AD=DO=DM= ∴AE=AD+DE= ，∴AB= ，由勾股定理可知：BE= 易证：△PEO∽△PBM，，∴= ， ∴PB= 当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D， ∵MO=2PO， ∴点P是OM的中点，设PM=x，BD=2x， ∵∠AOM=∠ABP=90°， 25 ∴A、O、P、B四点共圆， ∴四边形AOPB是圆内接四边形， ∴∠BPM=∠A， ∴△ABD∽△PBM， ∴，又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM， ∴AD=BM= ∴ = ，，解得：x= ∴BD=2x=2 ，由勾股定理可知：AB=3 ，BM=3 　26