山西省2018年中考数学真题试题（含解析）

山西省2018年中考数学真题试题第 I 卷选择题（共 30 分）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共30 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下面有理数比较大小，正确的是（） A. 0＜ -2 B. -5＜ 3 C. -2＜ -3 D. 1＜ -4 【答案】 B 【考点】有理数比较大小 2. “算经十书 ”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果 .下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（） A.《九章算术》 B. 《几何原本》C. 《海岛算经》 D. 《周髀算经》【答案】 B 【考点】数学文化【解析】《几何原本》的作者是欧几里得 3. 下列运算正确的是（） b2 b6 a3 ( )3   222223636D. B. 2a  3a 6a C. 2a a2a A. a【答案】 D  a 2a 【考点】整式运算 2322223562a B 3a  5a C. 2a a 2a 【解析】 A.  a a 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（） 2222A. x 【答案】 C 【考点】一元二次方程根的判别式【解析】△ ＞ 0，有两个不相等的实数根，△ =0，有两个相等的实数根，△ ＜ 0，没有实数根 . A.△ =4 B.△ =20 C.△ =-8 D.△ =1  2x  0B. x  4x 1  0C. 2x  4x  3  0D. 3x  5x  25. 近年来快递业发展迅速，下表是2018 年 1-3 月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件） 1太原市大同市长治市晋中市运城市临汾市吕梁市 3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87 1-3 月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（） A.319.79 万件【答案】 C B. 332.68 万件 C. 338.87 万件 D. 416.01 万件【考点】数据的分析【解析】将表格中七个数据从小到大排列，第四个数据为中位数，即338.87 万件 . 6. 黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45 千米处，是黄河上最具气势的自然景观，其落差约 30 米，年平均流量1010 立方米 /秒 . 若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学计数法表示为 46A. 6.06 10 立方米 /时 B. 3.136 10 立方米 /时 65C. 3.63610 立方米 /时D. 36.36 10 立方米 /时【答案】 C 【考点】科学计数法【解析】一秒为 1010 立方米，则一小时为1010×60×60=3636000 立方米， 3636000 用科学 6计数法表示为 3.636×10 . 7. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是（） 4132919A. B. C. D. 9【答案】 A 【考点】树状图或列表法求概率【解析】由表格可知，共有9 种等可能结果，其中两次都摸到黄球的结果有4 种， 4∴ P（两次都摸到黄球） = 98. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=60°，AC=6，将 △ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 △ A’B’C，此时点 A’恰好在AB 边上，则点 B’与点B 之间的距离是（） A. 12 B.6 C.6 2D. 6 32【答案】 D 【考点】旋转，等边三角形性质【解析】连接 BB’，由旋转可知AC=A’C，BC=B’C，∵ ∠ A=60°，∴ △ ACA’为等边三角形， ∴ ∠ ACA’=60°， ∴ ∠ BCB’=60°∴ △ BCB’为等边三角形， ∴ BB’=BC=6 3. 2 29. 用配方法将二次函数 y  x  8x  9 化为 y  a x  h  k 的形式为（） 2 【答案】 B 【考点】二次函数的顶点式 222A. y  x 47B. y  x 4 25 C. y  x 4 7D. y  x 4  25 222【解析】y  x 8x 9  x 8x 16 16 9  x 4  25 10. 如图，正方形ABCD 内接于 ⊙ O， ⊙ O 的半径为 2，以点A 为圆心，以AC 为半径画弧交AB 的延长线于点E，交AD 的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是（）A.4π -4 B. 4π -8 C. 8π -4 D. 8π -8 【答案】 A 【考点】扇形面积，正方形性质【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ ∠ BAD=90°，可知圆和正方形是中心对称图形，第 I卷非选择题（共 90分）二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共15 分） 21)(3 2 1)  . 11.计算：(3 【答案】 17 【考点】平方差公式 2221)(3 21)  2 ) 21 18-1=17 (3 12. 图 1 是我国古代建筑中的一种窗格 .其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始清溶，形状【解析】 ∵ (a  b)(a b)  a b∴(3 无一定规则，代表一种自然和谐美 .图 2 是从图 1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 1 2  3  4  5  度 . 3【答案】 360 【考点】多边形外角和【解析】 ∵ 任意n 边形的外角和为 360°，图中五条线段组成五边形 ∴ 1 2  3  4  5  360 .13． 2018 年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过 115cm. 某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为 8:11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 _____cm. 【答案】 55 【考点】一元一次不等式的实际应用【解析】解：设行李箱的长为8xcm，宽为11xcm 20  8x 11x  115 解得x  5∴ 高的最大值为 11 5  55 cm 14．如图，直线 MN∥ PQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点A，B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图： ① 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AN 于点C，交AB 于点D； ② 分别以 C， D 为圆心， 120CD长为半径作弧，两弧在 ∠ NAB内交于点E；③ 作射线 AE交 PQ于点F.若 AB=2，∠ ABP=60 以大于，则线段 AF 的长为 ______. 23【答案】【考点】角平分线尺规作图，平行线性质，等腰三角形三线合一【解析】过点 B 作 BG⊥ AF 交 AF 于点G 由尺规作图可知， AF 平分 ∠ NAB ∴ ∠ NAF=∠ BAF ∵ MN∥ PQ ∴ ∠ NAF=∠ BFA ∴ ∠ BAF=∠ BFA ∴ BA=BF=2 ∵ BG⊥ AF ∴ AG=FG 0∵ ∠ ABP=60 0∴ ∠ BAF=∠ BFA=30 33Rt△ BFG 中，FG  BF AF  2FG  2 c o sBFA 2 23∴4015．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 ，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以CD 为直径作 ⊙ O，⊙ O 分别与 AC， BC 交于点E， F，过点 F 作 ⊙ O 的切线 FG，交AB 于点G，则 FG 的长为 _____. 12 【答案】 5【考点】直角三角形斜中线，切线性质，平行线分线段成比例，三角函数【解析】连接 OF ∵ FG 为 ⊙ 0 的切线 ∴ OF⊥ FG ∵ Rt△ ABC 中， D 为 AB 中点 ∴ CD=BD ∴ ∠ DCB=∠ B ∵ OC=OF ∴ ∠ OCF=∠ OFC ∴ ∠ CFO=∠ B ∴ OF∥ BD ∵ O 为 CD 中点 ∴ F 为 BC 中点 1∴ CF  BF BC  4235Rt△ ABC 中，s inB  3512 5Rt△ BGF 中，FG  BF sin B  4三、解答题（本大题共 8 个小题，共75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共10 分） (2 2)2  4  31 6  20 计算：（ 1）【考点】实数的计算【解析】解：原式 =8-4+2+1=7 x  2 x2 1 x 1 x2  4x  4 x  2 1（ 2）【考点】分式化简 x  2 x2 1 x 1 x2  4x  4 x  2 x  2 x  2 x  2 1x+1 1x【解析】解：原式 ===17.（本题 8 分）如图，一次函数 y1 k x  b(k  0) 的图象分别与 x 轴，y 轴相交于点 1 1 5A，B，与反比例函数 y2 0) 的图象相交于点C（ -4， -2）， D（ 2， 4） . (k （ 1）求一次函数和反比例函数的表达式； y1 0 ；（ 2）当x 为何值时， y1 y ，请直接写出x 的取值范围 . （ 3）当x 为何值时， 2【考点】反比例函数与一次函数【解析】（ 1）解： 一次函数y k x  b 的图象经过点 C（ -4， -2）， D（ 2， 4）， 11（ 3）解：x  4 或 0  x  2. 18.（本题 9 分）在 “优秀传统文化进校园 ”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动 .教务处在该校七年级学生中随机抽取了100 名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整） . 6请解答下列问题 : （ 1）请补全条形统计图和扇形统计图；（ 2）在参加 “剪纸 ”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？（ 3）若该校七年级学生共有500 人，请估计其中参加 “书法 ”项目活动的有多少人？（ 4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐 ”活动项目的女生的概率是多少？【考点】条形统计图，扇形统计图【解析】（ 1）解： 10 （ 2）解： 100%  40%. 10+15 答：男生所占的百分比为 40%. （ 3）解： 500 21%=105（人） . 答：估计其中参加 “书法 ”项目活动的有105 人 . 15 15 5（ 4）解： ==15+10+8+15 48 16 55答：正好抽到参加 “器乐 ”活动项目的女生的概率为 . 16 19.(本题 8 分 )祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造型新颖，是 “三晋大地” 的一种象征 .某数学 “综合与实践 ”小组的同学把 “测量斜拉索顶端到桥面的距离 ”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量 . 测量结果如下表 . 项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离 7说明：两侧最长斜拉索AC， BC 相交于点C，分别与桥面交于A， B 两点，且点A， B， C 在同一竖直平面内 . 测量示意图 ∠ A 的度数 ∠ B 的度数 AB 的长度 234 米测量数据 38° 28° … … (1)请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C到 AB的距离（参考数据sin 38 0.6 ，cos 38 0.8 ，tan 38 0.8 ，sin 28 0.5 ，cos 28 0.9 ， tan 28 0.5 ）； (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）. 【考点】三角函数的应用【解析】（ 1）解：过点 C 作 CD AB 于点D. 设 CD= x 米，在Rt ADC 中， ∠ ADC=90°， ∠ A=38°. 54AD  BD  AB  234 . x  2x  234. 解得x  72 . 答：斜拉索顶端点C 到 AB 的距离为 72 米 . （ 2）解：答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等 . 20.(本题 7 分 )2018 年 1 月 20 日，山西迎来了“复兴号 ”列车，与“和谐号 ”相比，“复兴号 ”列车时速更快，安全性更好 .已知“太原南 -北京西 ” 全程大约 500 千米，“复兴号 ”G92 次列车平均每小时比某列“和谐号 ”列 4车多行驶 40 千米，其行驶时间是该列 “和谐号 ”列车行驶时间的（两 5列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号 ”G92 次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10 分钟 .求乘坐 “复兴号 ”G92 次列车从太原南到北京西需要多长时间 . 【考点】分式方程应用【解析】解：设乘坐 “复兴号 ” G92次列车从太原南到北京西需要 x 小时， 8500 500 83解得x  =+40 由题意，得 1541x  (x  ) 668经检验， x  是原方程的根 . 38答：乘坐 “复兴号 ”G92 次列车从太原南到北京西需要小时 . 321. （本题 8 分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法 .著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：试问如何在一个三角形ABC 的 AC 和 BC 两边上分别取一点X 和 Y，使得AX=BY=XY.（如图）解决这个问题的操作步骤如下：第一步，在CA 上作出一点D，使得CD=CB，连接 BD.第二步，在CB 上取一点Y’，作 Y’Z’//CA, 交 BD 于点Z’，并在AB 上取一点A’，使Z’A’=Y’Z’.第三步，过点 A 作 AZ//A’Z’，交 BD 于点Z.第四步，过点 Z 作 ZY//AC，交BC 于点Y，再过 Y 作 YX//ZA，交AC 于点X. 则有 AX=BY=XY. 下面是该结论的部分证明：证明： A BAZ Z / / A ‘ ZBA’ Z ‘  又∠A’BZ’=∠ABZ. △BA’ Z  △BAZ Z’ A ‘ BZ ‘ .ZA BZ BZ ‘Y’Z ‘ Z ‘ A’Y ‘Z ‘ 同理可得 .  .YZ BZ ZA YZ …  Z’ A’  Y YZ. ‘ Z ‘ , ZA  任务：（ 1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形 AXYZ 的形状，并加以证明；（ 2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（ 1）的基础上完成AX=BY=XY 的证明过程；．．．．（ 3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形 BA’Z’Y’放大得到四边形 BAZY，从而确定了点Z， Y 的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 A.平移B.旋转 C.轴对称 .D.位似 9【考点】菱形的性质与判定 ,图形的位似【解析】（ 1）答：四边形 AXYZ 是菱形 . 证明： ZA  YZ ZY/ / A C, Y X/ / ZA, 四边形 AXYZ 是平行四边形 . , AXYZ 是菱形（ 2）答：证明： C D ZY / AC , 1  3. 2=3 YB  YZ 四边形 AXYZ 是菱形， AX=BY=XY. C B, 1  2 /..AX=XY=YZ. (3)上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形 BA’Z’Y’放大得到四边形 BAZY，从而确定了点Z， Y 的位置，这里运用了下面一种图形的变化是D（或位似） . A.平移B.旋转 C.轴对称 D.位似 10 22. (本题 12 分 )综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图 1，在矩形ABCD 中， AD=2AB， E 是 AB 延长线上一点，且BE=AB，连接 DE，交 BC 于点M，以 DE 为一边在 DE 的左下方作正方形DEFG，连接 AM．试判断线段 AM 与 DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现， AM 垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：  B E  A B,  AE  2AB AD  2AB, AD  AE 四边形 ABCD 是矩形，  AD / /BC. EM EB （依据１） DM AB EM BE  AB ,1  EM  DM . DM 即 AM 是 △ ADE 的 DE 边上的中线，又  AD  AE,  AM  DE. （依据2） AM 垂直平分DE．反思交流： (1) 上述证明过程中的 “依据1”“依据2”分别是指什么？  试判断图１中的点A 是否在线段 GF 的垂直平分上，请直接回答，不必证明； (2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图 2，连接 CE，以CE 为一边在 CE 的左下方作正方形CEFG，发现点 G 在线段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现： (3)如图 3，连接 CE，以CE 为一边在 CE 的右上方作正方形CEFG，可以发现点 C，点B 都在线段 AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明 . 【考点】平行线分线段成比例，三线合一，正方形、矩形性质，全等【解析】 (1) 答： 依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例） . 依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的 “三线合一 ”） .  答：点A 在线段 GF 的垂直平分线上 . (2) 证明：过点 G 作 GH BC 于点H， 四边形 ABCD 是矩形，点E 在 AB 的延长线上， CBE  ABC  GHC  90. 1+2=90. 四边形 CEFG 为正方形， CG  CE, GCE  90.1 3  90. 2=3. △GHC ≌ △CBE. HC  BE. 四边形 ABCD 是矩形，  AD  BC. AD  2AB, BE  AB,  BC  2BE  2HC. HC  BH. GH 垂直平分BC.点 G 在 BC 的垂直平分线上 11 （ 3）答：点F 在 BC 边的垂直平分线上（或点F 在 AD 边的垂直平分线上） . 证法一：过点 F 作 FM BC 于点M，过点 E 作 EN FM 于点N. BMN  ENM  ENF  90. 四边形 ABCD 是矩形，点E 在 AB 的延长线上，  CBE  ABC  90.四边形 BENM 为矩形 . BM  EN, BEN  90. 1 2  90. 四边形 CEFG 为正方形，  EF  EC, CEF  90. 2  3  90. 1=3. CBE  ENF  90, △ENF≌△EBC. NE  BE.  BM  BE. 四边形 ABCD 是矩形，  AD  BC. AD  AB, AB  BE. BC  2BM . BM  MC. 2FM 垂直平分BC， 点 F 在 BC 边的垂直平分线上 . 证法二：过 F 作 FN BE 交 BE 的延长线于点N，连接 FB， FC. 四边形 ABCD 是矩形，点E 在 AB 的延长线上， ∠ CBE=∠ ABC=∠ N=90°. ∠ 1+∠ 3=90°. 四边形 CEFG 为正方形，EC=EF， ∠ CEF=90°. ∠ 2=∠ 3. ∠ 1+∠ 2=90°. △ ENF △ CBE. NF=BE,NE=BC. 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC. AD=2AB， BE=AB. 设 BE=a，则 BC=EN=2a,NF=a. BF=CF. 点 F 在 BC 边的垂直平分线上 . 12 23. (本题 13 分 )综合与探究 11y  x2  x  4 y与 x 轴交于A , B 两点（点A 在点B 的左侧），与轴交于点C 如图，抛物线，连接 33AC , BC .点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点 P 作 PM  x 轴，垂足为点 M ， PM 交 BC 于点Q ，过点 P 作 PE∥AC 交轴于点E ，交BC 于点F . （ 1）求三点的坐标；（ 2）试探究在点P 的运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q 为顶点的三角形是等腰三角形 .若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； xA， B ， C Q．．（ 3）请用含m 的代数式表示线段 QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值 . 【考点】几何与二次函数综合【解析】 131×2  x  4=0 （ 1）解：由y  0 ，得解得x  3 ， x 3 4 . 12点 A ， B 的坐标分别为A(-3,0)， B（ 4， 0） 由 x  0 ，得y  4 . 点 C 的坐标为C（ 0， -4） . 2525, 4) ， 2Q (1,3) . （ 2）答： Q1 (22（ 3）过点 F 作 FG  PQ 于点G . 则 FG∥x 轴 . 由 B（ 4， 0）， C（ 0， -4），得 △O B C为等腰直角三角形 . 2 OBC  QFG  45 . GQ  FG PE∥AC , 1  2 . FQ .2FG∥x 轴， 2  3 . 1  3 . FGP  AOC  90 , △FGP∽△AOC .13