山东省淄博市2018年中考数学真题试题(含解析)下载

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  • 最近更新2023年07月17日






山东省淄博市2018年中考数学真题试题 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.(4分)计算 A.0 B.1 的结果是(  ) C.﹣1 D. 2.(4分)下列语句描述的事件中,是随机事件的为(  ) A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日 C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意 3.(4分)下列图形中,不是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 4.(4分)若单项式am﹣1b2与 的和仍是单项式,则nm的值是(  ) A.3 5.(4分)与 A.5 B.6 B.6 C.8 最接近的整数是(  ) C.7 D.8 D.9 6.(4分)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用 科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是(  ) A. B. C. D. 7.(4分)化简 的结果为(  ) D.1 A. B.a﹣1 C.a 8.(4分)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲 胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 19.(4分)如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为(  ) A.2π B. C. D. 10.(4分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为 了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了 这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(   )A. C. B. D. 11.(4分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN 平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(  ) A.4 B.6 C. D.8 12.(4分)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4 ,5,则△ABC的面积为(  ) A. B. C. D.  二、填空题(每题4分,共5个小题,满分20分,将直接填写最后结果) 13.(4分)如图,直线a∥b,若∠1=140°,则∠2= 度. 214.(4分)分解因式:2×3﹣6×2+4x=  15.(4分)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D 落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于 .  . 16.(4分)已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物 线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧), 若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为   . 17.(4分)将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位 于第45行、第8列的数是   .  三、解答题(本大题共7小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(5分)先化简,再求值:a(a+2b)﹣(a+1)2+2a,其中 .19.(5分)已知:如图,△ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠C=180°. 20.(8分)“推进全科阅读,培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书活动,随 3机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表: 时间(小时 )678910 10 人数 5812 15 (1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数; (2)根据上述表格补全下面的条形统计图. (3)学校欲从这50名学生中,随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动,其中被抽 到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少? 21.(8分)如图,直线y1=﹣x+4,y2= x+b都与双曲线y= 交于点A(1,m),这两条直线 分别与x轴交于B,C两点. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)直接写出当x>0时,不等式 x+b> 的解集; (3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标. 22.(8分)如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P, ∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE<BD)的长是一元二次方程x2﹣5x+ 6=0的两个实数根. (1)求证:PA•BD=PB•AE; (2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?若存在,请给予证明,并求其 4面积;若不存在,说明理由. 23.(9分)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC 的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M, N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是   ;位置关系是   .(2)类比思考: 如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其 中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. (3)深入研究: 如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三 角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明. 24.(9分)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1, ),点B(3, ﹣),O为坐标原点. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式; (2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围; (3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小 及点C的坐标. 5 6参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.(4分)计算 A.0 B.1 的结果是(  ) C.﹣1 D. 【考点】1A:有理数的减法;15:绝对值. 【分析】先计算绝对值,再计算减法即可得. 【解答】解: = ﹣ =0, 故选:A. 【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法,解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数 的减法法则.  2.(4分)下列语句描述的事件中,是随机事件的为(  ) A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日 C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意 【考点】X1:随机事件. 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案. 【解答】解:A、水能载舟,亦能覆舟,是必然事件,故此选项错误; B、只手遮天,偷天换日,是不可能事件,故此选项错误; C、瓜熟蒂落,水到渠成,是必然事件,故此选项错误; D、心想事成,万事如意,是随机事件,故此选项正确. 故选:D. 【点评】此题主要考查了随机事件,正确把握相关定义是解题关键.  3.(4分)下列图形中,不是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 7【考点】P3:轴对称图形. 【分析】观察四个选项图形,根据轴对称图形的概念即可得出结论. 【解答】解:根据轴对称图形的概念,可知:选项C中的图形不是轴对称图形. 故选:C. 【点评】本题考查了轴对称图形,牢记轴对称图形的概念是解题的关键.  4.(4分)若单项式am﹣1b2与 A.3 B.6 C.8 D.9 的和仍是单项式,则nm的值是(  ) 【考点】35:合并同类项;42:单项式. 【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与 是同类项,再由同类项的定义可得m、n的值, 代入求解即可. 【解答】解:∵单项式am﹣1b2与 的和仍是单项式, ∴单项式am﹣1b2与 是同类项, ∴m﹣1=2,n=2, ∴m=3,n=2, ∴nm=8. 故选:C. 【点评】本题考查了合并同类项的知识,解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同.  5.(4分)与 A.5 B.6 【考点】2B:估算无理数的大小;27:实数. 最接近的整数是(  ) C.7 D.8 【分析】由题意可知36与37最接近,即 【解答】解:∵36<37<49, 与最接近,从而得出答案. ∴<<,即6< <7, ∵37与36最接近, ∴与 最接近的是6. 故选:B. 8【点评】此题主要考查了无理数的估算能力,关键是整数与 最接近,所以 =6最接 近.  6.(4分)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用 科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是(  ) A. B. C. D. 【考点】T9:解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题;T6:计算器—三角函数. 【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15,然后利用计算器求锐角α. 【解答】解:sinA= = =0.15, 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为 故选:A. 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数:正确使用计算器,一般情况下,三角函数值直接 可以求出,已知三角函数值求角需要用第二功能键.  7.(4分)化简 A. B.a﹣1 C.a 的结果为(  ) D.1 【考点】6B:分式的加减法. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案. 【解答】解:原式= +9==a﹣1 故选:B. 【点评】本题考查分式的运算法则,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基 础题型.  8.(4分)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲 胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 【考点】O2:推理与论证. 【分析】四个人共有6场比赛,由于甲、乙、丙三人胜的场数相同,所以只有两种可能性: 甲胜1场或甲胜2场;由此进行分析即可. 【解答】解:四个人共有6场比赛,由于甲、乙、丙三人胜的场数相同, 所以只有两种可能性:甲胜1场或甲胜2场; 若甲只胜一场,这时乙、丙各胜一场,说明丁胜三场,这与甲胜丁矛盾, 所以甲只能是胜两场, 即:甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,也就是胜0场. 答:甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,丁胜0场. 故选:D. 【点评】此题是推理论证题目,解答此题的关键是先根据题意,通过分析,进而得出两种 可能性,继而分析即可.  9.(4分)如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为(  ) A.2π B. C. D. 【考点】MN:弧长的计算;M5:圆周角定理. 【分析】先连接CO,依据∠BAC=50°,AO=CO=3,即可得到∠AOC=80°,进而得出劣弧AC的 长为 =.【解答】解:如图,连接CO, 10 ∵∠BAC=50°,AO=CO=3, ∴∠ACO=50°, ∴∠AOC=80°, ∴劣弧AC的长为 故选:D. =,【点评】本题考查了圆周角定理,弧长的计算,熟记弧长的公式是解题的关键.  10.(4分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为 了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了 这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(   )A. C. B. D. 【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程. 【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,根据工作时间=工作总量÷工作效率结 合提前 30 天完成任务,即可得出关于x的分式方程. 【解答】解:设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原来每天绿化的面积为 万平方米, 依题意得: ﹣ =30,即 .故选:C. 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程.找到关键描述语,找到合适的等量关系是解 决问题的关键.  11 11.(4分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN 平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(  ) A.4 B.6 C. D.8 【考点】KO:含30度角的直角三角形;JA:平行线的性质;KJ:等腰三角形的判定与性质 .【分析】根据题意,可以求得∠B的度数,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长, 从而可以求得BC的长. 【解答】解:∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分 ∠AMC, ∴∠AMB=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC, ∴∠ACB=2∠B,NM=NC, ∴∠B=30°, ∵AN=1, ∴MN=2, ∴AC=AN+NC=3, ∴BC=6, 故选:B. 【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,解答 本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.  12.(4分)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4 ,5,则△ABC的面积为(  ) A. B. C. D. 【考点】R2:旋转的性质;KK:等边三角形的性质;KS:勾股定理的逆定理. 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,∠P BE=60°,则△BPE为等边三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,延长BP, 作AF⊥BP于点FAP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE=90 12 °,即可得到∠APB的度数,在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长,则在直角△ABF 中利用勾股定理求得AB的长,进而求得三角形ABC的面积. 【解答】解:∵△ABC为等边三角形, ∴BA=BC, 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,连EP,且延长BP,作AF⊥BP于点F.如图, ∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°, ∴△BPE为等边三角形, ∴PE=PB=4,∠BPE=60°, 在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4, ∴AE2=PE2+PA2, ∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°, ∴∠APB=90°+60°=150°. ∴∠APF=30°, ∴在直角△APF中,AF= AP= ,PF= AP= .∴在直角△ABF中,AB2=BF2+AF2=(4+ )2+( )2=25+12 .则△ABC的面积是 •AB2= •(25+12 )= 故选:A. .【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质:旋转 前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心 的距离相等.  二、填空题(每题4分,共5个小题,满分20分,将直接填写最后结果) 13.(4分)如图,直线a∥b,若∠1=140°,则∠2= 40 度. 13 【考点】JA:平行线的性质. 【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°,根据∠1的度数可得答案. 【解答】解:∵a∥b, ∴∠1+∠2=180°, ∵∠1=140°, ∴∠2=180°﹣∠1=40°, 故答案为:40. 【点评】本题主要考查平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补.  14.(4分)分解因式:2×3﹣6×2+4x= 2x(x﹣1)(x﹣2) . 【考点】57:因式分解﹣十字相乘法等;53:因式分解﹣提公因式法. 【分析】首先提取公因式2x,再利用十字相乘法分解因式得出答案. 【解答】解:2×3﹣6×2+4x =2x(x2﹣3x+2) =2x(x﹣1)(x﹣2). 故答案为:2x(x﹣1)(x﹣2). 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式,正确分解常数项是解题 关键.  15.(4分)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D 落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于 10 . 【考点】PB:翻折变换(折叠问题);L5:平行四边形的性质. 【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线,DE可求,问题得解. 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC,CD=AB=2 14 由折叠,∠DAC=∠EAC ∵∠DAC=∠ACB ∴∠ACB=∠EAC ∴OA=OC ∵AE过BC的中点O ∴AO= BC ∴∠BAC=90° ∴∠ACE=90° 由折叠,∠ACD=90° ∴E、C、D共线,则DE=4 ∴△ADE的周长为:3+3+2+2=10 故答案为:10 【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明.解题时注意 不能忽略E、C、D三点共线.  16.(4分)已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物 线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧), 若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为 2 . 【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H6:二次函数图象与几何变换. 【分析】先根据三等分点的定义得:AC=BC=BD,由平移m个单位可知:AC=BD=m,计算点A和 B的坐标可得AB的长,从而得结论. 【解答】解:如图,∵B,C是线段AD的三等分点, ∴AC=BC=BD, 由题意得:AC=BD=m, 当y=0时,x2+2x﹣3=0, (x﹣1)(x+3)=0, x1=1,x2=﹣3, ∴A(﹣3,0),B(1,0), ∴AB=3+1=4, 15 ∴AC=BC=2, ∴m=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题,利 用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键.  17.(4分)将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位 于第45行、第8列的数是 2018 . 【考点】37:规律型:数字的变化类. 【分析】观察图表可知:第n行第一个数是n2,可得第45行第一个数是2025,推出第45行、 第8列的数是2025﹣7=2018; 【解答】解:观察图表可知:第n行第一个数是n2, ∴第45行第一个数是2025, ∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018, 故答案为2018. 【点评】本题考查规律型﹣数字问题,解题的关键是学会观察,探究规律,利用规律解决 问题.  16 三、解答题(本大题共7小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(5分)先化简,再求值:a(a+2b)﹣(a+1)2+2a,其中 .【考点】4J:整式的混合运算—化简求值;76:分母有理化. 【分析】先算平方与乘法,再合并同类项,最后代入计算即可. 【解答】解:原式=a2+2ab﹣(a2+2a+1)+2a =a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a =2ab﹣1, 当时, )﹣1 原式=2( +1)( =2﹣1 =1. 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是 解此题的关键.  19.(5分)已知:如图,△ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠C=180°. 【考点】K7:三角形内角和定理. 【分析】过点A作EF∥BC,利用EF∥BC,可得∠1=∠B,∠2=∠C,而∠1+∠2+∠BAC=180°,利用等 量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°. 【解答】证明:过点A作EF∥BC, ∵EF∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C, ∵∠1+∠2+∠BAC=180°, ∴∠BAC+∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+∠C=180°. 17 【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明,作辅助线把三角形的三个内角转化到一 个平角上是解题的关键.  20.(8分)“推进全科阅读,培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书活动,随 机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表: 时间(小时 )678910 人数 5812 15 10 (1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数; (2)根据上述表格补全下面的条形统计图. (3)学校欲从这50名学生中,随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动,其中被抽 到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少? 【考点】X4:概率公式;VC:条形统计图;W2:加权平均数;W4:中位数;W5:众数. 【分析】(1)先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间,然后除以50即可求出平均 数;在这组样本数据中,9出现的次数最多,所以求出了众数;将这组样本数据按从小到大 的顺序排列,其中处于中间的两个数是8和9,从而求出中位数是8.5; (2)根据题意直接补全图形即可. (3)从表格中得知在50名学生中,读书时间不少于9小时的有25人再除以50即可得出结论 .【解答】解:(1)观察表格,可知这组样本数据的平均数为: (6×5+7×8+8×12+9×15+10×10)÷50=8.34, 故这组样本数据的平均数为2; ∵这组样本数据中,9出现了15次,出现的次数最多, ∴这组数据的众数是9; ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数是8和9, 18 ∴这组数据的中位数为 (8+9)=8.5; (2)补全图形如图所示, (3)∵读书时间是9小时的有15人,读书时间是10小时的有10, ∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人, ∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是 = 【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数,用样本估计总体的知识,解题的关键 是牢记概念及公式.  21.(8分)如图,直线y1=﹣x+4,y2= x+b都与双曲线y= 交于点A(1,m),这两条直线 分别与x轴交于B,C两点. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)直接写出当x>0时,不等式 x+b> 的解集; (3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标. 【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)求得A(1,3),把A(1,3)代入双曲线y= ,可得y与x之间的函数关系式 ;(2)依据A(1,3),可得当x>0时,不等式 x+b> 的解集为x>1; 19 (3)分两种情况进行讨论,AP把△ABC的面积分成1:3两部分,则CP= BC= ,或BP= BC= ,即可得到OP=3﹣ = ,或OP=4﹣ = ,进而得出点P的坐标. 【解答】解:(1)把A(1,m)代入y1=﹣x+4,可得m=﹣1+4=3, ∴A(1,3), 把A(1,3)代入双曲线y= ,可得m=1×3=3, ∴y与x之间的函数关系式为:y= (2)∵A(1,3), ;∴当x>0时,不等式 x+b> 的解集为:x>1; (3)y1=﹣x+4,令y=0,则x=4, ∴点B的坐标为(4,0), 把A(1,3)代入y2= x+b,可得3= +b, ∴b= ,∴y2= x+ ,令y=0,则x=﹣3,即C(﹣3,0), ∴BC=7, ∵AP把△ABC的面积分成1:3两部分, ∴CP= BC= ,或BP= BC= ,∴OP=3﹣ = ,或OP=4﹣ = ∴P(﹣ ,0)或( ,0). ,【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点 坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解, 20 则两者无交点.  22.(8分)如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P, ∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE<BD)的长是一元二次方程x2﹣5x+ 6=0的两个实数根. (1)求证:PA•BD=PB•AE; (2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?若存在,请给予证明,并求其 面积;若不存在,说明理由. 【考点】MR:圆的综合题. 【分析】(1)易证∠APE=∠BPD,∠EAP=∠B,从而可知△PAE∽△PBD,利用相似三角形的性质 即可求出答案. (2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知: ,从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ,从而可求出AD和DG的长度,进而证明四边形ADFE 是菱形,此时F点即为M点,利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积. 【解答】解:(1)∵DP平分∠APB, ∴∠APE=∠BPD, ∵AP与⊙O相切, ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°, ∴∠EAP=∠B, ∴△PAE∽△PBD, ∴,∴PA•BD=PB•AE; 21 (2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G, ∵DP平分∠APB, AD⊥AP,DF⊥PB, ∴AD=DF, ∵∠EAP=∠B, ∴∠APC=∠BAC, 易证:DF∥AC, ∴∠BDF=∠BAC, 由于AE,BD(AE<BD)的长是x2﹣5x+6=0, 解得:AE=2,BD=3, ∴由(1)可知: ∴cos∠APC= = ,,∴cos∠BDF=cos∠APC= ,∴,∴DF=2, ∴DF=AE, ∴四边形ADFE是平行四边形, ∵AD=AE, ∴四边形ADFE是菱形, 此时点F即为M点, ∵cos∠BAC=cos∠APC= ∴sin∠BAC= ,,∴,∴DG= ,∴在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形 其面积为:DG•AE=2× =22 【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,锐角三角函数的定义,平行四边形的 判定及其面积公式,相似三角形的判定与性质,综合程度较高,考查学生的灵活运用知识 的能力.  23.(9分)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC 的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M, N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ;位置关系是  MG⊥NG . (2)类比思考: 如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其 中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. (3)深入研究: 如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三 角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明. 【考点】KY:三角形综合题. 【分析】(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB,得出CD=BE,∠ADC=∠ABE,进而判断出∠BDC+∠D BH=90°,即:∠BHD=90°,最后用三角形中位线定理即可得出结论; (2)同(1)的方法即可得出结论; (3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论. 【解答】解:(1)连接BE,CD相较于H, 23 ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形, ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE, ∴△ACD≌△AEB(SAS), ∴CD=BE,∠ADC=∠ABE, ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°, ∴∠BHD=90°, ∴CD⊥BE, ∵点M,G分别是BD,BC的中点, ∴MG CD, 同理:NG BE, ∴MG=NG,MG⊥NG, 故答案为:MG=NG,MG⊥NG; (2)连接CD,BE,相较于H, 同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG; (3)连接EB,DC,延长线相交于H, 同(1)的方法得,MG=NG, 同(1)的方法得,△ABE≌△ADC, ∴∠AEB=∠ACD, ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°, ∴∠DHE=90°, 同(1)的方法得,MG⊥NG. 24 【点评】此题是三角形综合题,主要考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性 质,平行线的判定和性质,三角形的中位线定理,正确作出辅助线用类比的思想解决问题 是解本题的关键.  24.(9分)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1, ),点B(3, ﹣),O为坐标原点. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式; (2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围; (3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小 及点C的坐标. 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】(1)将已知点坐标代入即可; (2)利用抛物线增减性可解问题; (3)观察图形,点A,点B到直线OC的距离之和小于等于AB;同时用点A(1, ),点B( 3,﹣ )求出相关角度. 【解答】解:(1)把点A(1, ),点B(3,﹣ )分别代入y=ax2+bx得 解得 ∴y=﹣ (2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线x= 25 当x> 时,y随x的增大而减小 ∴当t>4时,n<m. (3)如图,设抛物线交x轴于点F 分别过点A、B作AD⊥OC于点D,BE⊥OC于点E ∵AC≥AD,BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB ∴当OC⊥AB时,点A,点B到直线OC的距离之和最大. ∵A(1, ),点B(3,﹣ ∴∠AOF=60°,∠BOF=30° ∴∠AOB=90° )∴∠ABO=30° 当OC⊥AB时,∠BOC=60° 点C坐标为( ,). 【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式,抛物线的增减性.解答问题 时注意线段最值问题的转化方法.  26

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