四川省遂宁市2018年中考数学真题试题（含答案）

四川省遂宁市2018年中考数学真题试题一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题4分，共40分） 1．（4.00分）﹣2×（﹣5）的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10 2．（4.00分）下列等式成立的是（　　） A．x2+3×2=3×4 B．0.00028=2.8×10﹣3 C．（a3b2）3=a9b6 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=b2﹣a2 3．（4.00分）二元一次方程组 A． B． C．的解是（　　） D． 4．（4.00分）下列说法正确的是（　　） A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．六边形的内角和是540° 5．（4.00分）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 6．（4.00分）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为1 20°，则该扇形的面积是（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 7．（4.00分）已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2= （m≠0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（　　） 1A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3 8．（4.00分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2 ，C D=1，则BE的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（4.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　） A． C． B． D． 10．（4.00分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF =45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG ，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF= ，③AF= ，④S△MBF= 中正确的是（　　） 2A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 　二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上） 11．（4.00分）分解因式3a2﹣3b2=　 12．（4.00分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是　 13．（4.00分）已知反比例函数y= （k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当x＞0时，y随x 的增大而　．　．　． 14．（4.00分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程　　． 15．（4.00分）如图，已知抛物线y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y= 的图象相交于点B ，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y=ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为　　．　三、计算题（本大题共15分，请认真读题） 16．（7.00分）计算：（）﹣1+（ ﹣1）0+2sin45°+| ﹣2|． 317．（8.00分）先化简，再求值 •+．（其中x=1，y=2）　四、解答题（本题共75分，请认真读题） 18．（8.00分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形． 19．（8.00分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0 ，求a的取值范围． 20．（9.00分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD= ，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函效的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 21．（10.00分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN•MA；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长． 422．（8.00分）请阅读以下材料：已知向量 =（x1，x2）， =（x2，y2）满足下列条件： ①| |=， = ② ⊗ =| |×| |cosα（角α的取值范围是0°＜α＜90°）； ③ ⊗ =x1x2+y1y2 利用上述所给条件解答问题：如：已知 =（1，），=（﹣ ，3），求角α的大小；解：∵| |= ==2， =2 ===∴ ⊗ =| |×| |cosα=2×2 cosα=4 cosα 又∵ ⊗ =x1x2+y1y2=l×（﹣ ）+ ×3=2 ∴4 cosα=2 ∴cosα= ，∴α=60° ∴角α的值为60°．请仿照以上解答过程，完成下列问题：已知 =（1，0）， =（1，﹣1），求角α的大小． 23．（10.00分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A好，B：中，C：差． 5请根据图中信息，解答下列问题：（1）求全班学生总人数；（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随加抽取2人，请用画对状图或列表法求出全是B类学生的概率． 24．（10.00分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45 °，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为6 0°，求山高BC（结果保留根号）． 25．（12.00分）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使 △PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标． 6　7参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题4分，共40分） 1．（4.00分）﹣2×（﹣5）的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10 【解答】解：（﹣2）×（﹣5）=+2×5=10，故选：D．　2．（4.00分）下列等式成立的是（　　） A．x2+3×2=3×4 B．0.00028=2.8×10﹣3 C．（a3b2）3=a9b6 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=b2﹣a2 【解答】解：A、x2+3×2=3×2，故此选项错误； B、0.00028=2.8×10﹣4，故此选项错误； C、（a3b2）3=a9b6，正确； D、（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2，故此选项错误；故选：C．　3．（4.00分）二元一次方程组的解是（　　） D． A． B． C．【解答】解：，①+②得：3x=6，解得：x=2，把x=2代入①得：y=0，则方程组的解为，故选：B．　4．（4.00分）下列说法正确的是（　　） A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 8C．矩形的对角线互相垂直平分 D．六边形的内角和是540° 【解答】解：A、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； B、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误； D、六边形的内角和是720°，故此选项错误．故选：B．　5．（4.00分）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，．故选：D．　6．（4.00分）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为1 20°，则该扇形的面积是（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【解答】解：该扇形的面积= =12π．故选：C．　7．（4.00分）已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2= （m≠0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（　　） 9A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3 【解答】解：当1＜x＜3时，y1＞y2．故选：A．　8．（4.00分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2 ，C D=1，则BE的长是（　　） A．5 【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= B．6 C．7 D．8 ，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4 ∴OD=OC﹣CD=3， ∵AO=OE，AD=DB， ∴BE=2OD=6，故选：B．　9．（4.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　） 10 A． C． B． D．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧， ∴x=﹣ ＞1， ∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0．故选：C．　10．（4.00分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF =45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG ，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF= ，③AF= ，④S△MBF= 中正确的是（　　） 11 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF， ∴△AFE≌△AFG， ∴EF=FG， ∵DE=BG， ∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确， ∵BC=CD=AD=4，EC=1， ∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3，CF=4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2=（4﹣x）2+12，解得x= ，∴BF= ，AF= =，故②正确，③错误， ∵BM∥AG， ∴△FBM∽△FGA， ∴=（）2， ∴S△FBM= ，故④正确，故选：D．　二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上） 11．（4.00分）分解因式3a2﹣3b2=　3（a+b）（a﹣b）　．【解答】解：3a2﹣3b2 =3（a2﹣b2） =3（a+b）（a﹣b）． 12 故答案是：3（a+b）（a﹣b）．　12．（4.00分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是　9　．【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为 =9，故答案为：9．　13．（4.00分）已知反比例函数y= （k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当x＞0时，y随x的增大而　增大　．【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式y= ，可得：k=﹣2，因为k=﹣2＜0，所以当x＞0时，y随x的增大而增大，故答案为：增大　14．（4.00分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程　 ﹣= 　．【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程： ﹣=．故答案为： ﹣= ．　15．（4.00分）如图，已知抛物线y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y= 的图象相交于点B ，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y=ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为　（，0）　． 13 【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6）， ∴点B（3，3）， ∴，解得，，∴y=x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2， ∴点A的坐标为（2，2）， ∴点A′的坐标为（2，﹣2），设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y=mx+n，，得 ∴直线A′B的函数解析式为y=5x﹣12，令y=0，则0=5x﹣12得x= ，，故答案为：（，0）．　14 三、计算题（本大题共15分，请认真读题） 16．（7.00分）计算：（）﹣1+（ ﹣1）0+2sin45°+| ﹣2|．【解答】解：原式=3+1+2× +2﹣ =4+ +2﹣ =6．　17．（8.00分）先化简，再求值【解答】解：当x=1，y=2时， •+．（其中x=1，y=2）原式= •+==+=﹣3 　四、解答题（本题共75分，请认真读题） 18．（8.00分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BF， ∴AE=CF，∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， 15 ∴四边形AECF是菱形．　19．（8.00分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0 ，求a的取值范围．【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2， ∵x1x2+x1+x2＞0， ∴a+2＞0，解得：a＞﹣2， ∴﹣2＜a≤1．　20．（9.00分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD= ，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函效的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数y= 图象交于A与B，且AD⊥x轴， ∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，AD=4，sin∠AOD= ∴ = ，即AO=5，，根据勾股定理得：DO= =3， 16 ∴A（﹣3，4），代入反比例解析式得：m=﹣12，即y=﹣ ，把B坐标代入得：n=6，即B（6，﹣2），代入一次函数解析式得：，解得：，即y=﹣ x+2；（2）当OE3=OE2=AO=5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；当OA=AE1=5时，得到OE1=2AD=8，即E1（0，8）；当AE4=OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为y=﹣ x，中点坐标为（ ﹣1.5，2）， ∴AO垂直平分线方程为y﹣2= （x+ ），令x=0，得到y= ，即E4（0，），综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）时，△AOE是等腰三角形．　21．（10.00分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN•MA；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长． 17 【解答】解：（1）∵⊙O中，M点是半圆CD的中点， ∴ = ，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠CMA=∠NMC， ∴△AMC∽△CMN， ∴ = ，即CM2=MN•MA；（2）连接OA、DM， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°， ∴OA= PO= （PC+CO），设⊙O的半径为r， ∵PC=2， ∴r= （2+r），解得：r=2，又∵CD是直径， ∴∠CMD=90°， ∵CM=DM， ∴△CMD是等腰直角三角形， 18 ∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=（2r）2=16，则CM2=8， ∴CM=2 ．　22．（8.00分）请阅读以下材料：已知向量 =（x1，x2）， =（x2，y2）满足下列条件： ①| |=， = ② ⊗ =| |×| |cosα（角α的取值范围是0°＜α＜90°）； ③ ⊗ =x1x2+y1y2 利用上述所给条件解答问题：如：已知 =（1，），=（﹣ ，3），求角α的大小；解：∵| |= ==2， =2 ===∴ ⊗ =| |×| |cosα=2×2 cosα=4 cosα 又∵ ⊗ =x1x2+y1y2=l×（﹣ ）+ ×3=2 ∴4 cosα=2 ∴cosα= ，∴α=60° ∴角α的值为60°．请仿照以上解答过程，完成下列问题：已知 =（1，0）， =（1，﹣1），求角α的大小．【解答】解：∵| |= ==1， ===，∴ ⊗ =| |×| |cosα= cosα 又∵ ⊗ =x1x2+y1y2=l×1+0×（﹣1）=1 ∴ cosα=1 19 ∴cosα= ，∴α=45° 　23．（10.00分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：（1）求全班学生总人数；（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随加抽取2人，请用画对状图或列表法求出全是B类学生的概率．【解答】解：（1）全班学生总人数为10÷25%=40（人）；（2）∵C类人数为40﹣（10+24）=6， ∴C类所占百分比为补全图形如下： ×100%=15%，B类百分比为 ×100%=60%，（3）列表如下： 20 A B B C BA BA CA AB AB BB CB CB B AB BB C AC BC BC 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类的有2种情况，所以全是B类学生的概率为 = ．　24．（10.00分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45° ，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60° ，求山高BC（结果保留根号）．【解答】解：作DF⊥AC于F． ∵DF：AF=1：，AD=200米， ∴tan∠DAF= ，∴∠DAF=30°， ∴DF= AD= ×200=100， ∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°， 21 ∴四边形DECF是矩形， ∴EC=BF=100（米）， ∵∠BAC=45°，BC⊥AC， ∴∠ABC=45°， ∵∠BDE=60°，DE⊥BC， ∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°， ∴∠ABD=∠BAD， ∴AD=BD=200米，在Rt△BDE中，sin∠BDE= ，∴BE=BD•sin∠BDE=200× =100 ，∴BC=BE+EC=100+100 （米）．　25．（12.00分）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使 △PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3， 22 ∴﹣ =3，解得：a=﹣ ，∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4．当y=0时，﹣ x2+ x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣ x2+ x+4=4， ∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣ x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D 的坐标为（x，﹣ x+4），如图所示． ∴PD=﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x+4）=﹣ x2+2x， ∴S△PBC= PD•OB= ×8•（﹣ x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0， ∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16． ∵0＜x＜8， ∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣ m2+ m+4），则点N的坐标为（m，﹣ m+4）， ∴MN=|﹣ m2+ m+4﹣（﹣ m+4）|=|﹣ m2+2m|．又∵MN=3， ∴|﹣ m2+2m|=3． 23 当0＜m＜8时，有﹣ m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6， ∴点P的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣ m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2 ，m4=4+2 ∴点P的坐标为（4﹣2 ，，﹣1）或（4+2 ，﹣ ﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2 1）．，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2 ，﹣ ﹣　24