四川省绵阳市2018年中考数学真题试题（含解析）

四川省绵阳市2018年中考数学真题试题一、选择题 1.（-2018）0的值是（）A. – 2018 B. 2018 D. 1 C. 0 【答案】D 【考点】0指数幂的运算性质【解析】【解答】解：∵20180=1，故答案为：D. 【分析】根据a0=1即可得出答案. 2.四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元。将2075亿元用科学计数法表示为（）A. B. C. D. 【答案】B 【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：∵2075亿=2.075×1011 故答案为：B. ，【分析】由科学计数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案. 3.如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠2=44°，那么∠1的度数是（）A.14° B.15° C.16° D.17° 【答案】C 【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：如图：依题可得：∠2=44°，∠ABC=60°，BE∥CD， ∴∠1=∠CBE，又∵∠ABC=60°， ∴∠CBE=∠ABC -∠2=60°-44°=16°，即∠1=16°. 故答案为：C. 【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠1=∠CBE，再结合已知条件∠CBE=∠ABC – ∠2，带入数值即可得∠1的度数. 4.下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用【解析】【解答】解：A.∵a2·a3=a5,故错误，A不符合题意； B.a3与a2不是同类项，故不能合并，B不符合题意； C.∵（a2）4=a8,故正确，C符合题意； D.a3与a2不是同类项，故不能合并，D不符合题意故答案为：C. 【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错； B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项； C.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断对错； D.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项； 5.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，A不符合题意； B.是轴对称图形，B不符合题意； C.不是中心对称图形，C不符合题意； D.是中心对称图形，D符合题意；故答案为：D. 【分析】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案. 6.等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A. B. C. D. 【答案】B 【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集【解析】【解答】解：依题可得： x-3≥0且x+1〉0， ∴x≥3，故答案为：B. 【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只要大于0即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案. 7.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A.（4，-3） B.（-4，3） C.（-3，4） D.（-3，-4）【答案】B 【考点】点的坐标，旋转的性质【解析】【解答】解：如图：由旋转的性质可得： △AOC≌△BOD， ∴OD=OC，BD=AC，又∵A（3,4）， ∴OD=OC=3，BD=AC=4， ∵B点在第二象限， ∴B（-4,3）. 故答案为：B. 【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性质和点的坐标性质得出B点坐标，由此即可得出答案. 8.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A.9人 B.10人 C.11人 D.12人【答案】C 【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为：C. 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2 ，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A. B.40πm2 C. D.55πm2 【答案】A 【考点】圆锥的计算，圆柱的计算【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，依题可得： πr2=25π， ∴r=5， ∴圆锥的母线l= =，∴圆锥侧面积S =·2πr·l=πrl=5 圆柱的侧面积S =2πr·h=2×π×5×3=30π（m2）， π（m2）, ∴需要毛毡的面积=30π+5 故答案为：A. π（m2），【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案. 10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°，又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°，又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE，设BD=x，在Rt△ABD中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= 故答案为：B. 【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA =≈5.49， =BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x+2x=30，解之即可得出答案. x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 11.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A. B. C. D. 【答案】D 【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°， ∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中， ,∴△DCB≌△ECA， ∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°, ∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD中， ∴AB= =2 ，在Rt△ABC中， ∴2AC2=AB2=8， ∴AC=BC=2，在Rt△ECD中， ∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE= +1， ∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA， ∴△CAO∽△CDA， ∴：===4-2 ，又∵ = CE= DE·CH， ∴CH= =，∴∴= AD·CH= × =（4-2 ）× ×=，=3- .即两个三角形重叠部分的面积为3- 故答案为：D. .【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45° ,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 12.将全体正奇数排成一个三角形数阵 13 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … … 根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（）A.639 B.637 C.635 D.633 【答案】A 【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：依题可得：第25行的第一个数为： 1+2+4+6+8+……+2×24=1+2× =601， ∴第25行的第第20个数为：601+2×19=639. 故答案为：A. 【分析】根据规律可得第25行的第一个数为，再由规律得第25行的第第20个数. 二、填空题 13.因式分解： ________。【答案】y（x++2y）（x-2y）【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】解：原式=y（x++2y）（x-2y）, 故答案为：y（x++2y）（x-2y）. 【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案. 14.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（- 3，1），那么“卒”的坐标为________。【答案】（-2，-2）【考点】点的坐标，用坐标表示地理位置【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系（如图）， ∵相（3，-1），兵（-3，1）， ∴卒（-2，-2），故答案为：（-2，-2）. 【分析】根据题中相和兵的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，从而得出卒的坐标. 15.现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能够构成三角形的概率是_____ ___。【答案】【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：从5根木条中任取3根的所有情况为：1、2、3；1、2、4；1、2、5；1、3、4；1、 3、5；1、4、5；2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；共10种情况； ∵能够构成三角形的情况有：2、3、4；2、4、5；3、4、5；共3种情况； ∴能够构成三角形的概率为：故答案为： ..【分析】根据题意先列出从5根木条中任取3根的所有情况数，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，找出能够构成三角形的情况数，再由概率公式求解即可. 16.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。【答案】4 -4 【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）, ∵C（0,2）在此抛物线上， ∴a=- ，∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）, ∵水面下降2m， ∴- （x-2）（x+2）=-2, ∴x1=2 ，x2=-2 ，∴下降之后的水面宽为：4 ∴水面宽度增加了：4 .-4. 故答案为：4 -4. 【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（- 2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x- 2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值. 17.已知a>b>0,且，则 ________。【答案】【考点】解分式方程，换元法解一元二次方程【解析】【解答】解： ∵ + + =0，两边同时乘以ab（b-a）得： a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a2得： 22（）+2 -1=0，令t= （t〉0）, ∴2t2+2t-1=0， ∴t= ，∴t= = .故答案为： .【分析】等式两边同时乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a 得： 2（）2+2 -1=0，解此一元二次方程即可得答案. 18.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________. 【答案】【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：连接DE， ∵AD、BE为三角形中线， ∴DE∥AB，DE= AB， ∴△DOE∽△AOB， ∴===，设OD=x，OE=y， ∴OA=2x，OB=2y, 在Rt△BOD中， x2+4y 2=4 ①，在Rt△AOE中， 4×2+y2= ∴①+ ②得： ②， 5×2+5y2= ，∴x2+y2= ，在Rt△AOB中， ∴AB2=4×2+4y2=4（x2+y 2）=4× ，即AB= .故答案为： .【分析】连接DE，根据三角形中位线性质得DE∥AB，DE= AB，从而得△DOE∽△AOB，根据相似三角形的性质可得 ===；设OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y,根据勾股定理可得x2+4y2=4，4×2+y2= ，两式相加可得x2+y2= ，在Rt△AOB中，由股股定理可得AB= .三、解答题。 19. （1）计算：（2）解分式方程：【答案】（1）原式= ×3 – × +2- +，=-+2- +，=2. （2）方程两边同时乘以x-2得： x-1+2（x-2）=-3, 去括号得：x-1+2x-4=-3, 移项得：x+2x=-3+1+4, 合并同类项得：3x=2，系数化为1得：x= . 检验：将x= 代入最简公分母不为0，故是原分式方程的根， ∴原分式方程的解为：x= . 【考点】实数的运算，解分式方程【解析】【分析】将分式方程转化成整式方程，再按照去括号——移项——合并同类项—— 系数化为1即可得出答案，经检验是原分式方程的根. 20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当时为“基本称职”，当时为“称职”，当时为“优秀”。根据以上信息，解答下列问题：（1）补全折线统计图和扇形统计图；（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由。【答案】（1）解：（1）依题可得： “不称职”人数为：2+2=4（人）， “基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人）， “称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人）， ∴总人数为：20÷50%=40（人）， ∴不称职”百分比：a=4÷40=10%， “基本称职”百分比：b=10÷40=25%， “优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%， ∴“优秀”人数为：40×15%=6（人）， ∴得26分的人数为：6-2-1-1=2（人），补全统计图如图所示：（2）由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人， “优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人； “称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万； “优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；（3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22万. ∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万， ∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元. 【考点】扇形统计图，折线统计图，中位数，众数【解析】【分析】（1）由折线统计图可知：“称职”人数为20人，由扇形统计图可知：“称职”百分比为50%，根据总人数=频数÷频率即可得，再根据频率=频数÷总数即可得各部分的百分比，从而补全扇形统计图；由频数=总数×频率可得“优秀”人数为6人，结合折线统计图可得得26分的人数为2人，从而补全折线统计图.（2）由折线统计图可知：“称职”和“优秀”各人数，再根据中位数和众数定义即可得答案.（3）由（2）知“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数，根据题意即可知月销售额奖励标准. 21.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17 吨。（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费话费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？【答案】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，依题可得： ,解得： .答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货吨。（2）解：设大货车有m辆，则小货车10-m辆，依题可得： 4m+ （10-m）≥33 m≥0 10-m≥0 解得： ≤m≤10， ∴m=8,9,10； ∴当大货车8辆时，则小货车2辆；当大货车9辆时，则小货车1辆；当大货车10辆时，则小货车0辆；设运费为W=130m+100(10-m）=30m+1000， ∵k=30〉0， ∴W随x的增大而增大， ∴当m=8时，运费最少， ∴W=30×8+1000=1240（元），答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用. 【考点】二元一次方程组的其他应用，一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4 辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨可列出二元一次方程组，解之即可得出答案.（2）设大货车有m辆，则小货车10- m辆，根据题意可列出一元一次不等式组，解之即可得出m范围，从而得出派车方案，再由题意可得W=130 m+100(10-m）=30m+1000，根据一次函数的性质，k〉0，W随x的增大而增大，从而得当m=8时，运费最少. 22.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标。【答案】（1）解：（1）设A（x，y） ∵A点在反比例函数上， ∴k=xy，又∵ = .OM·AM= ·x·y= k=1， ∴k=2. ∴反比例函数解析式为：y= . （2）解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，PA+PB的最小值即为A′B. ∴∴，或.∴A（1,2），B（4，）， ∴A′（-1，2）， ∴PA+PB=A′B= =.设A′B直线解析式为：y=ax+b， ∴，∴，∴A′B直线解析式为：y=- ∴P（0，）. x+ ，【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）设A（x，y）,A在反比例函数解析式上，由反比例函数k的几何意义可得k=2，从而得反比例函数解析式.（2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，PA+PB的最小值即为A′B. 联立反比例函数和一次函数解析式，得出A（1,2），B（4，），从而得A′（- 1.2），根据两点间距离公式得PA+PB=A′B的值；再设A′B直线解析式为：y=ax+b，根据待定系数法求得 A′B直线解析式，从而得点P坐标. 23.如图，AB是的直径，点D在上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作的切线DE交BC于点E。（1）求证：BE=CE；（2）若DE平行AB，求的值。【答案】（1）证明：连接OD、BD， ∵EB、ED分别为圆O的切线， ∴ED=EB， ∴∠EDB=∠EBD，又∵AB为圆O的直径， ∴BD⊥AC， ∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE， ∴∠CDE=∠DCE， ∴ED=EC， ∴EB=EC. （2）解：过O作OH⊥AC，设圆O半径为r， ∵DE∥AB，DE、EB分别为圆O的切线， ∴四边形ODEB为正方形， ∵O为AB中点， ∴D、E分别为AC、BC的中点， ∴BC=2r，AC=2 r，在Rt△COB中， ∴OC= r， = ·AO·BC= ·AC·OH， r×OH, 又∵ ∴r×2r=2 ∴OH= r，在Rt△COH中， ∴sin∠ACO= ==.【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长定理【解析】【分析】（1）证明：连接OD、BD，由切线长定理得ED=EB，由等腰三角形性质得∠EDB=∠EBD；根据圆周角定理得BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰三角形性质和等量代换可得EB=E C.（2）过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，根据切线长定理和正方形的判定可得四边形ODEB为正方形，从而得出D、E分别为AC、BC的中点，从而得BC=2r，AC=2 r，在Rt△COB中，再根据勾股定理得OC= r；由 = ·AO·BC= .AC.OH求出OH= r，在Rt△COH中，根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案. 24.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（- 3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b， ∵B（0，4），C（-3，0）， ∴，解得： ∴直线BC解析式为：y= x+4. （2）解：依题可得：AM=AN=t， ∵△AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合， ∴四边形AMDN为菱形，作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′， ∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3,OB=4， ∴AB=5, ∴M（3-t，0），又∵△ANF∽△ABO， ∴==,∴ = =,∴AF= t，NF= t， ∴N（3- t， t）， ∴O′（3- t, t），设D（x,y）, ∴=3- t， = t， ∴x=3- t,y= t， ∴D（3- t， t），又∵D在直线BC上， ∴ ×（3- t）+4= t， ∴t= ，∴D（- ，）. （3）①当0<t≤5时（如图2）， △ABC在直线MN右侧部分为△AMN， ∴S= = ·AM·DF= ×t× t= t, ②当5<t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM，如图3 ∵AM=AN=t，AB=BC=5， ∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t，又∵△CNF∽△CBO， ∴∴=,=,∴NF= （10-t）， ∴S= = ×6×4- ×（6-t）× （10-t）， =- t+ t-12. -= ·AC·OB- ·CM·NF，【考点】待定系数法求一次函数解析式，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-动态几何问题，几何图形的动态问题【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，结合已知条件得M（3-t，0），又△ANF∽△ABO，根据相似三角形性质得 ==,代入数值即可得AF= t，NF= t，从而得N（3- t， t），根据中点坐标公式得O′（3- t, t），设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3- t， t），又由D在直线BC上，代入即可得D点坐标.（3）①当0<t≤5时（如图2），△ABC在直线MN右侧部分为△AMN，根据三角形面积公式即可得出S表达式. ②当5<t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM，由△CNF∽△CBO，根据相似三角形性质得 =,代入数值得NF= （10-t），最后由S= ·CM·NF，代入数值即可得表达式. -= ·AC·OB- 25.如图，已知抛物线过点A 和B ，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与 △AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得 ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）解：∵点A、B在抛物线上， ∴，解得： ∴抛物线解析式为：y= x- （2）解：设P（x，y）， x. ∵A（，-3）， ∴C（0，-3），D（x,-3）, ∴PD=y+3，CO=3，AD=x- ①当△ADP∽△ACO时，，AC= ，∴=，∴=∴y= x-6，又∵P在抛物线上， ∴，∴x -5 ∴（x-4 ∴x =4 x+12=0，）（x- ,x = ）=0, ，∴或,∵A（，-3）， ∴P（4 ,6）. ②当△PDA∽△ACO时， ∴==，∴，∴y= x-4, 又∵P在抛物线上， ∴，∴x -11x+8 =0，）=0, ∴（ x-8）（x- ∴x = ,x = ，解得：或,∵A（，-3）， ,- ）. ∴P（综上，P点坐标为（4 （3）解：∵A ,6）或（ ,- ）. ，∴AC= ,OC=3， ∴OA=2 ,∴= ·OC·AC= ·OA·h= ，∴h= ，又∵ =，∴△AOQ边OA上的高=3h= , 过O作OM⊥OA,截取OM= ，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图）， ∵AC= ,OA=2 ,∴∠AOC==30°，又∵MN∥OA， ∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN， ∴ON=2OM=9，∠NOM=60°，即N（0,9）， ∴∠MOB=30°， ∴MH= OM= , ∴OH= ∴M（ =,，），设直线MN解析式为：y=kx+b， ∴∴，∴直线MN解析式为：y=- x+9， ∴，∴x – （x-3 ∴x =3 x-18=0, ）（x+2 ,x =-2 ）=0, ，∴或，∴Q点坐标（3 ，0）或（-2 ，15）， ∴抛物线上是否存在点Q，使得 .【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程组，解之即可得抛物线解析式.（2）设P（x，y），根据点的坐标性质结合题意可得PD=y+3，CO=3，AD=x- ，AC= ，分情况讨论：①当△ADP∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 6， =，代入数值可得y= x- 又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标（4 ,6）. ②当△PDA∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 =，代入数值可得y= x- 4,又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标P（ ,OC=3，由勾股定理得OA=2 ,- ）.（3）根据点A坐标得AC= ,根据三角形面积公式可得△AOC边OA上的高h= ，又 =得△AOQ边OA上的高为；过O作OM⊥OA,截取OM= ，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图），根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（，）；用待定系数法求出直线MN解析式，再讲直线MN和抛物线解析式联立即可得Q点坐标.