北京市2018年中考数学真题试题（含解析1）

北京市2018年中考数学试卷 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．考生须知一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为 A． B． C． D．【答案】A 【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．【考点】立体图形的认识 2．实数 a，b ， c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 abc432101234A．| a | 4 【答案】B 【解析】∵ 4  a  3 ，∴3  a  4 ，故A选项错误；数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确； c  0 ，∴ ac  0 ，故Ｃ选项错误； B． c  b  0 C． ac  0 D． a  c  0 bc∵∵a  0 a  0 ，，c  0 ， a  c ，∴ a  c  0 ，故D选项错误．【考点】实数与数轴 x  y  3 3．方程组的解为 B． 3x  8y 14 x  1 y  2 x 1 x  2 y 1 x  2 A． C． D． y  2 y  1 【答案】D 【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．【考点】二元一次方程组的解 4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于 135个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 7140m2 ，则FAST的反射面积总面积约为 A． 7.14103 m2 【答案】C B． 7.14104 m2 C． 2.5105 m2 D． 2.5106 m2 【解析】 714035  249900  2.5105 【考点】科学记数法（m2 ），故选C． 5．若正多边形的一个外角是 60 ，则该正多边形的内角和为 A． 360 B． 540 C． 720 D． 900 【答案】C 360 60 【解析】由题意，正多边形的边数为 n  【考点】正多边形，多边形的内外角和．  6 ，其内角和为 n  2 180  720 ．a2  b2 2a a6．如果 a  b  2 3，那么代数式 ( b) 的值为 a  b A． B． 2 3 3C．3 3 D． 4 3 【答案】A 2a2  b2  2ab aaa  b 2a  b 【解析】原式 ，∵ a  b  2 3，∴原式 2a a  b 2a a  b  3 ．【考点】分式化简求值，整体代入． 7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位： m ）与水平距离（单位： m ）近似满足函数关系 y  ax2  bx  c a  0 ）．下图记录了某运动员起跳后的的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 yx（x 与 y A．10m B．15m C． 20m D． 22.5m 【答案】B 【解析】设对称轴为 x  h ，20  40 由（由（ 00，，54.0 ）和（ 40 54.0 ）和（ 20 ，，46.2 ）可知， h  57.9 ）可知， h   20 10 ，，20  20 2∴10  h  20 ，故选B．【考点】抛物线的对称轴． 8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： x 轴、 y 轴 ①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ 6 ， 3）时，表示左安门的点的坐标为（5， 6 ）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ 12 ， 6 ）时，表示左安门的点的坐标为（10， 12 ）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（ 11 5 ）时 11 ，，表示左安门的点的坐标为（11 ，）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5 ，1.5 ），表示广安门的点的坐标为（ 16.5 ， 7.5 ）时，表示左安门的点的坐标为（16.5 上述结论中，所有正确结论的序号是， 16.5 ）． A．①②③ 【答案】D B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【解析】显然①②正确； ③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故 ③正确； ④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ 18 ， 9 ）时，表示左安门的点的坐标为（15 ， 18 ）”的基础上，将所有点向右平移1.5 个单位，再向上平移1.5 个单位得到，故④正确．【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移 3二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．右图所示的网格是正方形网格， BAC ________DAE ．（填 E“”，“ 【答案】【解析】如下图所示，  ”或“ ”） BCDA△AFG 是等腰直角三角形，∴ FAG  BAC  45 ，∴ BAC  DAE 另：此题也可直接测量得到结果．．【考点】等腰直角三角形 10．若 x在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是_______．【答案】 x≥0 【解析】被开方数为非负数，故 x≥0 【考点】二次根式有意义的条件．．11．用一组 ____， b  ______， c  _______．【答案】答案不唯一，满足 a  b a，b ， c 的值说明命题“若 a  b ，则 ac  bc ”是错误的，这组值可以是 a  _ ，c ≤0 即可，例如：， 2 ， 1 【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【考点】不等式的基本性质 12．如图，点 A，B，C，D在O 上，CB  CD ， CAD  30 ， ACD  50 ，则 ADB  ________．【答案】 70 【解析】∵CB  CD ，∴ CAB  CAD  30，∴ BAD  60 ABD  ACD  50 ，∴ ADB 180  BAD  ABD  70 【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，∵．413．如图，在矩形 ABCD 中， E是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB  4 ， AD  3 ，则CF 的长为________． 10 【答案】 3【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB  CD  4 ，AB∥CD ，ADC  90 ，在Rt△ADC 中， ADC  90 ，∴ AC  AD2  CD2  5 ，11∵∵E是 AB 中点，∴ AE  AB  CD ， 22AF AE 12210 AB∥CD ，∴ ，∴CF  AC  ．CF CD 33【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定 14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数合计 30≤t ≤35 35  t ≤ 40 40  t ≤ 45 45  t ≤50 线路 ABC59 50 45 151 50 166 122 167 124 278 23 500 500 500 265 早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【答案】C 【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 45 分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．【考点】用频率估计概率 15．某公园划船项目收费标准如下：两人船（限乘两人） 90 四人船（限乘四人） 100 六人船（限乘六人） 130 八人船（限乘八人） 150 船型每船租金 5（元/小时）某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．【答案】380 【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100 130 150  380 （元）【考点】统筹规划 16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．【答案】【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．【考点】函数图象获取信息三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23- 26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点 P ．求作： PQ ，使得 PQ ∥ l 作法：如图，．6①在直线上取一点线于点 ②在直线上取一点 A，作射线 PA ，以点 A 为圆心， AP 长为半径画弧，交 PA 的延长 B；C（不与点 A 重合），作射线 BC ，以点 C 为圆心， CB 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 ③作直线 PQ ． Q ；所以直线 PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵ AB  _______，CB  _______， ∴PQ ∥ l （____________）（填推理的依据）．【解析】（1）尺规作图如下图所示：（2） PA ，CQ ，三角形中位线平行于三角形的第三边．【考点】尺规作图，三角形中位线定理 18．计算： 4sin 45  (π  2)0  18 | 1| ．2【解析】解：原式  4 【考点】实数的运算 1 3 21 2  2 ． 23(x 1)  x 1 19．解不等式组：．x  9  2x  2 【解析】解：由①得， x  2 由②得， x  3 ∴不等式的解集为 2  x  3 ，，．7【考点】一元一次不等式组的解法 20．关于（1）当b  a  2 时，利用根的判别式判断方程根的情况； x ．的一元二次方程 ax2  bx 1 0 （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b 的值，并求此时方程的根．【解析】（1）解：由题意： a  0 ．2∵  b2  4a  a  2  4a  a2  4  0 ，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足b2  4a  0 a  0 ）即可，例如：解：令 a  1 b  2，则原方程为 x2  2x 1 0 解得： x1  x2 1 【考点】一元二次方程（，，．21．如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ DC 平分 BAD ，过点 CE  AB AB 的延长线于点（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若 AB  5 BD  2 ，求OE 的长．，AB  AD ，对角线 AC ，BD 交于点 O ， AC C作交E，连接OE ．，【解析】（1）证明：∵ AB∥CD ∴∵∴∴∴CAB  ACD AC 平分 BAD CAB  CAD CAD  ACD AD  CD 又∵ AD  AB AB  CD 又∵ AB∥CD ∴∴四边形 ABCD 是平行四边形又∵ AB  AD ∴Y ABCD 是菱形（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 、BD 交于点 O ． 11∴AC  BD ．OA  OC  AC ，OB  OD  BD ，2281∴OB  BD 1 ．2在Rt△AOB 中， AOB  90 ．．∴∵∴OA  AB2  OB2  2 CE  AB AEC  90 ．，．在Rt△AEC 中， AEC  90 O 为 AC 中点． 1∴OE  AC  OA  2 ．2【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线 22．如图， AB ，连接OP （1）求证：OP  CD （2）连接 AD BC ，若 DAB  50 是O 的直径，过 O 外一点 P作O 的两条切线 PC ， PD ，切点分别为 C，D，CD ．；，， CBA  70，OA  2 ，求OP 的长．【解析】（1）证明：∵ PC PC  PD 在等腰△PCD 中， PC  PD ， PQ 平分 CPD 、PD 与⊙O 相切于 C 、 D ． ∴，OP 平分 CPD ．．∴PQ  CD 于Q，即OP  CD OD ．（2）解：连接 OC 、．∵∴∴OA  OD OAD  ODA  50 AOD 180  OAD  ODA  80 PD同理： BOC  40 COD 180  AOD  BOC  60 CQ∴．在等腰△COD 中，OC  OD ．OQ  CD ABO1∴DOQ  COD  30 ．2∵∴∴PD OD  DP ODP  90 Rt△ODP 中， ODP  90 与⊙O 相切于 D ．．．在， POD  30 9OD OA 243∴OP  3 ． cosPOD cos30 32【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数 k23．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y  （x  0 ）的图象 G 经过点 A （4，1），直线 x1l∶y  x  b 与图象 G交于点 B，与 y轴交于点 C ． 4（1）求（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 OC BC 围成的区域（不含边界）为 ①当b  1时，直接写出区域内的整点个数； k 的值； G在点 A ， B 之间的部分与线段 OA ，，W ． W②若区域 W内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围． k【解析】（1）解：∵点 A（4，1）在 y  （ x  0 ）的图象上． xk∴∴1 ，．4k  4 （2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）． 1②a．当直线过（4，0）时：  4  b  0 ，解得b  1 4154b．当直线过（5，0）时： 5  b  0 ，解得b   4174c．当直线过（1，2）时： 1 b  2 ，解得b  4111 4d．当直线过（1，3）时： 1 b  3，解得b  410 57411 4∴综上所述：  ≤b  1 或 b≤ ．4【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题 24．如图， Q是 AB 与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点， P是弦 AB 上一动点，连接两点间的距离为 cm PQ 并延长交 AB 于点 C，连接 AC ．已知 AB  6cm ，设 A，Px，P，C两点间的距离为 y1 cm ，A，C两点间的距离为 y2 cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1 ， y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量对应值； x的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1 ，y2 与 x的几组 x / cm 0123456y1 / cm 5.62 5.62 4.67 5.59 3.76 5.53 2.65 5.19 3.18 4.73 4.37 4.11 y2 / cm 5.42 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（），（ 2 ），并画出函数 y1 2 的图象； x，y1 x，y， y 11 （3）结合函数图象，解决问题：当△APC 为等腰三角形时， AP 的长度约为____cm ．【解析】（1）3.00 （2）如下图所示：（3）3.00 或 4.83 或5.88 ．如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究 25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60 名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： 40≤ x  50 60≤ x  70 70≤ x  80 80≤ x  90 90≤ x ≤100 ）；，50≤ x  60 ，，，，bc．A课程成绩在 70≤ x  80 这一组是： 70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.579 79 79 79.5 ．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数 75.8 中位数众数 84.5 83 ABm72.2 70 根据以上信息，回答下列问题： 12 （1）写出表中 m 的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过 75.8 分的人数．【解析】（1） 78.75 （2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过 75.8 的人数为36人． 36 ∴300 180 （人） 60 答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过 75.8 的人数为180人．【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体 26．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y  4x  4 y  ax2  bx  3a 经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，抛物线 ABC ． Ca的取值范围．【解析】（1）解：∵直线 y  4x  4 与x轴、 y轴交于 A、B ． ∴∴A（1，0）， B （0，4） C（5，4）（2）解：抛物线 y  ax2  bx  3a a  b  3a  0 b  2a y  ax2  2ax  3a 过A（1 ，0）∴．∴2a 2a ∴对称轴为 x   1．（3）解：①当抛物线过点 C 时． 125a 10a  3a  4 ，解得 a  ．3②当抛物线过点 B 时． 13 433a  4 ，解得 a   ．③当抛物线顶点在 BC 上时．此时顶点为（1，4） ∴a  2a  3a  4 ，解得 a  1． 4313∴综上所述 a   或a≥ 或a  1 ．【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题27．如图，在正方形 ABCD 中， E是边 AB 上的一动点（不与点关于直线 DE 的对称点为，连接 EF 并延长交 BC 于点 DG 的延长线于点，连接 BH A，B重合），连接 DE ，点 AFG ，连接 DG ，过点 E作EH  DE 交H．（1）求证：GF  GC ；（2）用等式表示线段 BH 与AE 的数量关系，并证明． 14 【解析】（1）证明：连接 DF ．∵∴A，F关于 DE 对称． AD  FD AE  FE △ADE △FDE 中．．．在和CGDAD  FD AE  FE DE  DE ∴∴△ADE ≌△FDE DAE  DFE HF．∵四边形 ABCD 是正方形 AEB∴∴A  C  90 ．AD  CD DFE  A  90 ∴DFG 180  DFE  90 ∴∵∴DFG  C AD  DF DF  CD ． AD  CD 在Rt△DCG 和Rt△DFG ．DC  DF DG  DG ∴∴Rt△DCG ≌ Rt△DFG CG  FG ．（2） BH  2AE 证明：在 AD 上取点 ∵四这形 ABCD 是正方形．．M使得 AM  AE ，连接 ME ． ∴∵∴AD  AB △DAE ADE  FDE ．A  ADC  90 ．≌△DFE 同理： CDG  FDG EDG  EDF  GDF ∴12121ADF  CDF 2ADC  45 ∵DE  EH ∴∴∴∴∵∴∵∴DEH  90 EHD 180  DEH  EDH  45 EHD  EDH DE  EH A  90 ．ADE  AED  90 DEH  90 AED  BEH  90 15 ∴∵∴ADE  BEH AD  AB ．AM  AE DM  EB 在△DME 和△EBH 中 DM  EB MDE  BEH DE  EH ∴△DME ≌△EBH ∴ME  BH 在Rt△AME 中， A  90 ， AE  AM ． ∴ME  AE2  AM 2  2AE ∴BH  2AE ．【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定 28．对于平面直角坐标系 xOy 中的图形为图形上任意一点，如果 M，N，给出如下定义：两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为）．（6， 2 ）． P 为图形 M 上任意一点，QNP，Q图形已知点（1）求 M，N间的“闭距离”，记作 2 ，6）， 2 2 ），（点 △ABC ）； 1≤ x ≤1 的取值范围；（，0），半径为1．若 d （ M ， N A（B（，CdO ，（2）记函数 y  kx 1，直接写出（，k  0 ）的图象为图形 G，若 d（G ，△ABC ） k（3） T 的圆心为值范围． Td（T ，△ABC ） 1，直接写出的取【解析】（1）如下图所示： ∵∴∴BDd（2 （0， 2 △ABC 0  k ≤1 ，2 ）， C（6， 2 ））（O，）  OD  2 （2） 1≤ k  0 或16 （3）t  4 或 0≤t ≤ 4  2 2或t  4  2 2．【考点】点到直线的距离，圆的切线 17