上海市2018年中考数学真题试题（含解析）

上海市2018年中考数学真题试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1．（4.00分）下列计算 A．4 B．3 C．2 ﹣的结果是（　　） D． 2．（4.00分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 3．（4.00分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 4．（4.00分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 5．（4.00分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 6．（4.00分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 　二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4.00分）﹣8的立方根是　　． 8．（4.00分）计算：（a+1）2﹣a2=　　． 19．（4.00分）方程组的解是　　． 10．（4.00分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　元．（用含字母a的代数式表示）．　11．（4.00分）已知反比例函数y= k的取值范围是　． 12．（4.00分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是　．（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么 13．（4.00分）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　　．14．（4.00分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 15．（4.00分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设 = ， = 那么向量用向量、表示为　．　．（填“增大”或“减小”） 16．（4.00分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是　度．　17．（4.00分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB 、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　． 218．（4.00分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是　　．　三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10.00分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20．（10.00分）先化简，再求值：（ ﹣）÷ ，其中a= ．21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC= （1）求边AC的长；．（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 22．（10.00分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． 3（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 23．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课 = ．求证：EF=EP． 24．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A（ ﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y 轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 425．（14.00分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．　5参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1．（4.00分）下列计算 A．4 B．3 C．2 ﹣的结果是（　　） D．【分析】先化简，再合并同类项即可求解．【解答】解： ﹣=3 =2 ﹣．故选：C．　2．（4.00分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣ 3 =0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3， ∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0， ∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．　3．（4.00分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确； B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不正确； C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确； D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x= ，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x 值的增大而增大，选项D不正确． 6综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上，选项A不正确； B、∵﹣ = ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不正确； C、当x=0时，y=x2﹣x=0， ∴抛物线经过原点，选项C正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．　4．（4.00分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 【分析】根据中位数和众数的概念解答．【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28， ∴这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多， ∴这组数据的众数是29，故选：D．　5．（4.00分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； 7B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．　6．（4.00分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB 的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1， ∵BC=3， ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9， ∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A． 8　二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4.00分）﹣8的立方根是　﹣2　．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．　8．（4.00分）计算：（a+1）2﹣a2=　2a+1　．【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．【解答】解：原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1，故答案为：2a+1 　9．（4.00分）方程组的解是　，　．【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．【解答】解： 9②+①得：x2+x=2，解得：x=﹣2或1，把x=﹣2代入①得：y=﹣2，把x=1代入①得：y=1，所以原方程组的解为，，故答案为：，．　10．（4.00分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　0.8a　元．（用含字母a的代数式表示）．【分析】根据实际售价=原价× 即可得．【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，故答案为：0.8a．　11．（4.00分）已知反比例函数y= （k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么 k的取值范围是　k＜1　．【分析】由于在反比例函数y= 的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范的图象有一支在第二象限，围即可．【解答】解：∵反比例函数y= ∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案为：k＜1．　12．（4.00分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是　0.25　． 10 【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得．【解答】解：20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25，故答案为：0.25．　13．（4.00分）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　　．【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有π、共2种情况，则可利用概率公式求解．【解答】解：∵在，π，这三个数中，无理数有π，这2个， ∴选出的这个数是无理数的概率为，故答案为：．　14．（4.00分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0）， ∴0=k+3， ∴k=﹣3， ∴y的值随x的增大而减小．故答案为：减小．　15．（4.00分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长 11 线交于点F．设 = ， = 那么向量用向量、表示为　 +2 　．【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB =2DC，结合三角形法则进行解答．【解答】解：如图，连接BD，FC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB． ∴△DCE∽△FBE．又E是边BC的中点， ∴ = = ，∴EC=BE，即点E是DF的中点， ∴四边形DBFC是平行四边形， ∴DC=BF，故AF=2AB=2DC， ∴ = + = +2 =+2 ．故答案是： +2 ．　16．（4.00分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是　 540　度．【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可 12 计算出该多边形的内角和．【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°=540°．故答案为540．　17．（4.00分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB 、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　．【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEF G的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得 =，然后解关于x的方程即可．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， ∵△ABC的面积是6， ∴ BC•AH=6， ∴AH= =3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴ = 即正方形DEFG的边长为故答案为，即 = ，解得x= ，．．13 　18．（4.00分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是　　．【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF= x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF= x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，，解得：x= 即它的宽的值是故答案为：或0（舍），，．14 　三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10.00分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：　20．（10.00分）先化简，再求值：（ ﹣）÷ ，其中a= ．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式=[ ﹣]÷ ==•，当a= 时，原式= ==5﹣2 ．　21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC= （1）求边AC的长；．（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 15 【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC= =，AB=5， ∴AE=3，BE=4， ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC= （2）∵DF垂直平分BC， =；∴BD=CD，BF=CF= ∵tan∠DBF= = ，，∴DF= 在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD= ∴AD=5﹣ = ，=，，则 = ．　22．（10.00分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． 16 （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，，解得：，∴该一次函数解析式为y=﹣ x+60．（2）当y=﹣ x+60=8时，解得x=520．即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米． ∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．　23．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课 = ．求证：EF=EP． 17 【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3 ，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用 = 和AF=BE得到 = ，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明 ∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF， ∴BE=AF， ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵ = 而AF=BE，，∴ = ∴ = ，，∴Rt△BEF∽Rt△DFA， ∴∠4=∠3，而∠1=∠3， ∴∠4=∠1， 18 ∵∠5=∠1， ∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP， ∴EF=EP．　24．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A（ ﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣ （x﹣2）2+ ，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2， ﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP= DC=t，则P（2+t， ﹣t），然后把P（2+t， ﹣t）代入y=﹣ x2+2x+ 得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为 19 （2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到 •（m+ +2）•2=8当m＜0 时，利用梯形面积公式得到 •（﹣m+ +2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M 点坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣ x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+ （2）∵y=﹣ （x﹣2）2+ ；，∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2， ﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（2+t， ﹣t），把P（2+t， ﹣t）代入y=﹣ x2+2x+ 得﹣ （2+t）2+2（2+t）+ = ﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2， ∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， ∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时， •（m+ +2）•2=8，解得m= ，此时M点坐标为（0，）； 20 当m＜0时， •（﹣m+ +2）•2=8，解得m=﹣ ，此时M点坐标为（0，﹣ ）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣ ）．　25．（14.00分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【分析】（1）由AC=BD知 + = + ，得 = ，根据OD⊥AC知 = ，从而得 = =，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t= ，即可知BC=DF= ，继而求得EF= AC=，由余切函数定义可得答案；（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD= 、OF= ，从而根据三角形面积公式计算可得．【解答】解：（1）∵OD⊥AC， ∴ = ，∠AFO=90°，又∵AC=BD， ∴ = ，即 + = + ，21 ∴ = ，∴ = = ，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°， ∵AB=2， ∴AO=BO=1， ∴AF=AOsin∠AOF=1× = ，则AC=2AF= ；（2）如图1，连接BC， ∵AB为直径，OD⊥AC， ∴∠AFO=∠C=90°， ∴OD∥BC， ∴∠D=∠EBC， ∵DE=BE、∠DEF=∠BEC， ∴△DEF≌△BEC（ASA）， ∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB， ∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t， ∵DF=DO﹣OF=1﹣t， ∴1﹣t=2t，解得：t= ，则DF=BC= 、AC= ==，22 ∴EF= FC= AC= ，∵OB=OD， ∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D= = （3）如图2， =；∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边， ∴∠BOC= 、∠AOD=∠COD= ，则+2× =180，解得：n=4， ∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°， ∴BC=AC= ，∵∠AFO=90°， ∴OF=AOcos∠AOF= ，则DF=OD﹣OF=1﹣ ，∴S△ACD= AC•DF= ××（1﹣ ）= ．　23