2017年甘肃省天水市中考数学试卷（含解析版）

2017年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 4．下列说法正确的是（　　） A．不可能事件发生的概率为0 C．2x÷x2=2xD．4x﹣5x=﹣1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（　　） A．13×107kgB．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　） 000 A． B． C． D． 7．关于的叙述不正确的是（　　） A． =2 B．面积是8的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（　　） ①函数y=x；②函数y=x2；③函数y= ． A．①② B．②③ C．①③ D．都不是 9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S阴影=（　　） A．2π B． πC． πD． π 10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC 方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若 △BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）2-1-c-n-j-y A． C． B． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若式子有意义，则x的取值范围是　． 12．分解因式：x3﹣x= ．13．定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2= ．14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE 折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′= ．21cnjy.com 15．观察下列的“蜂窝图” 则第n个图案中的“ ”的个数是．（用含有n的代数式表示） 16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米． 17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1 ，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）　三、解答题（本大题共3小题，共28分） 019．（1）计算：﹣14+ sin60°+（）﹣2﹣（π﹣ ）（2）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x= ﹣1．　20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号） 21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．类别小说戏剧散文其他合计频数（人数）频率 0.5 410 60.25 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．2 com 　四、解答题（共50分） 22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．　23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．　24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买 A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△A BC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时B C的长．【来源：21cnj*y.co*m】 26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A， B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．　2017年甘肃省天水市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】15：绝对值；14：相反数．【分析】先求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵x与3互为相反数， ∴x=﹣3， ∴|x+3|=|﹣3+3|=0．故选A．　2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　） A． B． C． D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得横着的“ ”字，故选C．　3．下列运算正确的是（　　） A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2xD．4x﹣5x=﹣1 【考点】4H：整式的除法；35：合并同类项；49：单项式乘单项式．【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误； B、x•2y2=2xy2，正确； C、2x÷x2= ，故此选项错误； D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；故选：B．　4．下列说法正确的是（　　） A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次【考点】X3：概率的意义．【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确； B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误； C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误； D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；故选A．　5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（　　） A．13×107kgB．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 000 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【来源：21·世纪·教育 ·网】【解答】解：130 000 000kg=1.3×108kg．故选：D．　6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　） A． B． C． D．【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD 的长，即可求出余弦值．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4 ，BD=4， ∴cos∠B= 故选B． =．　7．关于的叙述不正确的是（　　） A． =2 B．面积是8的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点【考点】27：实数．【分析】 =2 ，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．【解答】解：A、 =2 ，所以此选项叙述正确； B、面积是8的正方形的边长是，所以此选项叙述正确； C、 =2 ，它是无理数，所以此选项叙述不正确； D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；本题选择叙述不正确的，故选C．　8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（　　） ①函数y=x；②函数y=x2；③函数y= ． A．①② B．②③ C．①③ D．都不是【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形．【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．故选C 　9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S阴影=（　　） A．2π B． πC． πD． π 【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC 【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=2 ，又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•cot60°=2 × =2，OD=2OE=4， ∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= 故选B． ﹣ OE×DE+ BE•CE= ﹣2 +2 = ．　10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC 方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若 △BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）2-1-c-n-j-y A． C． B． D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH= AB=2 ，BH= AH=2 ，则BC=2BH=4 ，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C 需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP= x，DQ= BQ= x ，利用三角形面积公式得到y= x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4 ，DQ= CQ= （8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣ x+8 ，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．【解答】解：作AH⊥BC于H， ∵AB=AC=4cm， ∴BH=CH， ∵∠B=30°， ∴AH= AB=2，BH= AH=2 ，∴BC=2BH=4 ，∵点P运动的速度为 cm/s，Q点运动的速度为1cm/s， ∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP= x，在Rt△BDQ中，DQ= BQ= x， ∴y= • x•x= x2，当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4 在Rt△BDQ中，DQ= CQ= （8﹣x）， ∴y= • （8﹣x）•4 =﹣ x+8 ，综上所述，y= 故选D．．　二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若式子有意义，则x的取值范围是　x≥﹣2且x≠0　．【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．【解答】解：根据题意，得 x+2≥0，且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．故答案是：x≥﹣2且x≠0．　12．分解因式：x3﹣x=　x（x+1）（x﹣1）　．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x， =x（x2﹣1）， =x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．　13．定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2=　2　．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2= =2，故答案为：2 　14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE 折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=　40°　．21cnjy.com 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC ′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD，∠DAC=65°， ∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°， ∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处， ∴四边形BCEC′是正方形， ∴∠BEC=45°，由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°，由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°， ∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为：40°．　15．观察下列的“蜂窝图” 则第n个图案中的“ ”的个数是　3n+1　．（用含有n的代数式表示）【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第 4个共有13‘个图案，由此可得出规律．2·1·c·n·j·y 【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“ ”， ∴第n个图案中共有“ ”为：4+3（n﹣1）=3n+1 故答案为：3n+1 　16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知 = 解得AM=5m．则小明的影长为5米．，即 =，　17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是　6　．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的最小值，本题得以解决．【解答】解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值， ∵BE=1，BC=CD=4， ∴CE=3，DE=5， ∴BP′+P′E=DE=5， ∴△PBE周长的最小值是5+1=6，故答案为：6．　18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1 ，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是　②⑤　．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x 轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．　三、解答题（本大题共3小题，共28分） 019．（1）计算：﹣14+ sin60°+（）﹣2﹣（π﹣ ）（2）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x= ﹣1．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5 ：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）﹣14+ sin60°+（）﹣2﹣（π﹣ ）0=﹣1+2 × +4﹣1=5；（2）（1﹣ ）÷ =×=，当x= ﹣1时，原式= ．　20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10 ，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=200，在Rt△APC中，∵cos∠APC= ∴PC=20•cos60°=10，，∴AC= =10 ，在△PBC中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴BC=PC=10， ∴AB=AC﹣BC=10 ﹣10（海里）．答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10 ﹣10）海里．　21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．类别小说戏剧散文其他合计频数（人数）频率 0.5 410 60.25 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．21·cn·jy·com 【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．【解答】解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25， ∴总人数=10÷0.25=40（人）；（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%，故答案为：15%；（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种， ∴P（丙和乙）= =．　四、解答题（共50分） 22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A坐标代入y= 可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y= ，得：m=8，则反比例函数解析式为y= ，当x=﹣4时，y=﹣2，则点B（﹣4，﹣2），将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，得：，解得：，则一次函数解析式为y=x+2；（2）由题意知BC=2，则△ACB的面积= ×2×6=6．　23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．【考点】MD：切线的判定．【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD， =，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵E是弦BD的中点， ∴BE=DE，OE⊥BD， =，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90°， ∴∠OBC=90°，即BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB， ∴OC= ∵△OBC的面积= OC•BE= OB•BC， ∴BE= =4.8， =10， =∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．　24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买 A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；21世纪教育网版权所有（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得： ≤a≤ ，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10﹣a）=4，3，2；三种方案： ①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元； ②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元； ③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．　25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△A BC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时B C的长．【来源：21cnj*y.co*m】【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC 的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE，在△BPE和△CQE中， ∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴ = ，∵BP=2，CQ=9，BE=CE， ∴BE2=18， ∴BE=CE=3 ∴BC=6 ，．　26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A， B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为 4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=a x2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD 是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．www.21-cn- jy.com 【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x= =1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， ∵抛物线与直线l交于点A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC， ∴点D的横坐标为4， ∴﹣3﹣ =﹣1×4， ∴k=a， ∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2﹣3ax﹣ 4a）= a（x﹣ ）2﹣ a，21教育网 ∴△ACE的面积的最大值=﹣ a， ∵△ACE的面积的最大值为， ∴﹣ a= ，解得a=﹣ ；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4， ∴D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m）， ①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a）， m=21a+5a=26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ，∴P（1，﹣ ）； ②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a）， m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a）， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣ ）或（1，﹣4）．