2017年湖南省岳阳市中考数学试卷（含解析版）

2017年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D．±6 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（x3）2=x5 B．（﹣x）5=﹣x5 C．x3•x2=x6 D．3×2+2×3=5×5 3．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（　　） A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109 4．（3分）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）A． B． C． D． 6．（3分）解分式方程 ﹣=1，可知方程的解为（　　） A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解 7．（3分）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 8．（3分）已知点A在函数y1=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且 k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点” ．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（　　） A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对　二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（4分）函数y= 中自变量x的取值范围是　． 10．（4分）因式分解：x2﹣6x+9=　　． 11．（4分）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是　　，众数是　　．12．（4分）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQ∥ON，则∠M PQ的度数是　． 13．（4分）不等式组 14．（4分）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　．的解集是　　． 15．（4分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈ = =3，那么当n=12时，π≈ =　　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259） 16．（4分）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B， C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是　　．（写出所有正确结论的序号） ①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB； ③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．　三、解答题（本大题共8小题，共64分） ﹣1 17．（6分）计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣2）0﹣（）．18．（6分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，　求证：　．　． 19．（8分）如图，直线y=x+b与双曲线y= （k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1， 2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．21教育网（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标． 20．（8分）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？2 21．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：课外阅读时间（单位：小时）频数（人数）频率 0.04 0.06 0.30 0.50 b0＜t≤2 232＜t≤4 4＜t≤6 15 a6＜t≤8 t＞8 5请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的a=　　，b=　　；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000 名学生中评为“阅读之星”的有多少人？2·1·c·n·j·y 22．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm ．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号） 23．（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合）， DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．【来源：21cnj*y.co*m】（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1•S2=　　；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1•S2的表达式（结果用a，b 和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程． 24．（10分）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）． ﹣（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．　2017年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）（2017•岳阳）6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D．±6 【考点】14：相反数．21世纪教育网【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：6的相反数是﹣6，故选A．　2．（3分）（2017•岳阳）下列运算正确的是（　　） B．（﹣x）5=﹣x5 C．x3•x2=x6 D．3×2+2×3=5×5 A．（x3）2=x5 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．21世纪教育网【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．【解答】解：A、原式=x6，故本选项错误； B、原式=﹣x5，故本选项正确； C、原式=x5，故本选项错误； D、3×2与2×3不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：B．　3．（3分）（2017•岳阳）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（　　） A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．21世纪教育网【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：39000000000=3.9×1010．故选：A．　4．（3分）（2017•岳阳）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）A． B． C． D．【考点】U1：简单几何体的三视图．21世纪教育网【分析】分别分析圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、左视图、俯视图，从而得出结论．【解答】解：∵球的主视图、左视图、俯视图都是圆， ∴主视图、左视图、俯视图都相同的是B，故选B．　5．（3分）（2017•岳阳）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　） A． B． C． D．【考点】X4：概率公式；12：有理数．21世纪教育网【分析】根据有理数的定义可找出在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数， ∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．　6．（3分）（2017•岳阳）解分式方程 ﹣=1，可知方程的解为（　　） A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解【考点】B3：解分式方程．21世纪教育网【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．【解答】解：去分母得： 2﹣2x=x﹣1，解得：x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．故选：D．　7．（3分）（2017•岳阳）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【考点】1Q：尾数特征．21世纪教育网【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得21+22+23+24+…+22017的末位数字．本题得以解决．【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…， ∴2017÷4=506…1， ∵（2+4+8+6）×506+2=10122， ∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，故选B．　8．（3分）（2017•岳阳）已知点A在函数y1=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k （k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】 A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；R6：关于原点对称的点的坐标．21世纪教育网【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点B（a ，﹣ ）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣ ），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣ ），）在直线y2=kx+1+k上，则 =﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0， ∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．　二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（4分）（2017•岳阳）函数y= 中自变量x的取值范围是　x≠7　．【考点】E4：函数自变量的取值范围．21世纪教育网【分析】根据分母不为零，即可解决问题．【解答】解：函数y= 中自变量x的范围是x≠7．故答案为x≠7 　10．（4分）（2017•岳阳）因式分解：x2﹣6x+9=　（x﹣3）2　．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．21世纪教育网【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．　11．（4分）（2017•岳阳）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是　92　，众数是　95　．21cnjy.com 【考点】W5：众数；W4：中位数．21世纪教育网【分析】环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数．【解答】解：这组数据从小到大排列为：83，85，90，92，95，95，96．则中位数是：92 ；众数是95．故答案是：92，95．　12．（4分）（2017•岳阳）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°， PQ∥ON，则∠MPQ的度数是　60°　．【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．21世纪教育网【分析】根据直角三角形的内角和，求得∠O，再根据平行线的性质，即可得到∠MPQ．【解答】解：∵PD⊥ON于点D，∠OPD=30°， ∴Rt△OPD中，∠O=60°，又∵PQ∥ON， ∴∠MPQ=∠O=60°，故答案为：60°．　13．（4分）（2017•岳阳）不等式组的解集是　x＜﹣3　．【考点】CB：解一元一次不等式组．21世纪教育网【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解： ∵解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＜﹣3， ∴不等式组的解集为x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．　14．（4分）（2017•岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　．【考点】AA：根的判别式；KP：直角三角形斜边上的中线；KS：勾股定理的逆定理．21世纪教育网【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．2-1-c-n-j-y 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根， ∴△=16﹣4b=0， ∴AC=b=4， ∵BC=2，AB=2 ∴BC2+AB2=AC2，，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边， ∴AC边上的中线长= AC=2；故答案为：2．　15．（4分）（2017•岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r 的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈ = =3，那么当n =12时，π≈ =　3.10　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）【版权所有：21教育】【考点】MM：正多边形和圆；T7：解直角三角形．21世纪教育网【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到π≈ = ≈3.10．21教育名师原创作品【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°，作BC⊥AO于点C，则∠ABC=15°， ∵AO=BO=r， ∴BC= r，OC= ∴AC=（1﹣ r，）r， ∵Rt△ABC中，cosA= ，即0.259= ，∴AB≈0.517r， ∴L=12×0.517r=6.207r，又∵d=2r， ∴π≈ = ≈3.10，故答案为：3.10 　16．（4分）（2017•岳阳）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是　②③④　．（写出所有正确结论的序号）www.21-cn-jy.com ①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB； ③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；MC：切线的性质；MN：弧长的计算．21世纪教育网【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到 = ，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6 ；④判定△ACP∽△QCA，即可得到 = ，即CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ为定值．【解答】解：如图，连接OP， ∵AO=OP，∠PAB=30°， ∴∠POB=60°， ∵AB=12， ∴OB=6， ∴弧的长为 =2π，故①错误； ∵PD是⊙O的切线， ∴OP⊥PD， ∵PD∥BC， ∴OP⊥BC， ∴ = ，∴∠PAC=∠PAB， ∴AP平分∠CAB，故②正确；若PB=BD，则∠BPD=∠BDP， ∵OP⊥PD， ∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形， ∴PD= OP=6 ，故③正确； ∵AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC，又∵∠ABC=∠APC， ∴∠APC=BAC，又∵∠ACP=∠QCA， ∴△ACP∽△QCA， ∴ = ，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；故答案为：②③④．　三、解答题（本大题共8小题，共64分） ﹣1 17．（6分）（2017•岳阳）计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣2）0﹣（）．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．21世纪教育网【出处：21教育名师】【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【解答】解：原式=2× +3﹣ +1﹣2 =2．　18．（6分）（2017•岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，　AC⊥BD　．求证：　四边形ABCD是菱形　．【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．21世纪教育网【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形．【解答】已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO=DO， ∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．　19．（8分）（2017•岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y= （k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．21世纪教育网【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y= ，可得k=2， ∴双曲线的解析式为y= ；把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1， ∴直线的解析式为y=x+1；（2）设P点的坐标为（x，0），在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1， ∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO， ∵△BCP的面积等于2， ∴ BP×CO=2，即 |x﹣（﹣1）|×1=2，解得x=3或﹣5， ∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．　20．（8分）（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？21·cn·jy·com 【考点】8A：一元一次方程的应用．21世纪教育网【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这批书共有3x本，根据题意得： =，解得：x=500， ∴3x=1500．答：这批书共有500本．　21．（8分）（2017•岳阳）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：课外阅读时间（单位：小时）频数（人数）频率 0.04 0.06 0.30 0.50 b0＜t≤2 232＜t≤4 4＜t≤6 15 a6＜t≤8 t＞8 5请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的a=　25　，b=　0.10　；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000 名学生中评为“阅读之星”的有多少人？21·世纪*教育网【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．21 世纪教育网【分析】（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b的值即可；（2）补全条形统计图即可；（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：2÷0.04=50（人），则a=50﹣（2+3+15+5）=25；b=5÷50=0.10；故答案为：25；0.10；（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：2000×0.10=200（人），则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．　22．（8分）（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB 与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE= 80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【考点】T8：解直角三角形的应用．21世纪教育网【分析】（1）在Rt△CDE中，根据∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的长是多少即可．（2）首先在Rt△OAC中，根据∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的长是多少，进而求出OD的长是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB的长是多少．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm， ∴CD=80×cos30°=80× =40 （cm）．（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm， ∴OC=AC×tan30°=165× =55 （cm）， ∴OD=OC﹣CD=55 ﹣40 =15 （cm）， ∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55 ×2﹣15 =95 （cm）．　23．（10分）（2017•岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BN D的面积为S2．（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1•S2=　12　；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1•S2的表达式（结果用a，b 和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程．【考点】RB：几何变换综合题．21世纪教育网【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1= •22= ，S2= ）2=4 ，由此即可解决问题； •（4 （2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得 = ，推出 = ，推出x y=8，由S1= •AD•AM•sin60°=x，S2= DB•sin60°=y，可得S1•S2= x• y=xy= 12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1= •AD•AM•si nα= axsinα，S2= DB•BN•sinα= bysinα，可得S1•S2= （ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°， ∵DE∥BC，∠EDF=60°， ∴∠BND=∠EDF=60°， ∴∠BDN=∠ADM=60°， ∴△ADM，△BDN都是等边三角形， ∴S1= •22= ，S2= •（4）2=4 ，∴S1•S2=12，故答案为12．（2）如图2中，设AM=x，BN=y． ∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A， ∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B， ∴△AMD∽△BDN， ∴ = ∴ = ，，∴xy=8， ∵S1= •AD•AM•sin60°=x，S2= DB•sin60°=y， ∴S1•S2= x• y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab， ∵S1= •AD•AM•sinα= axsinα，S2= DB•BN•sinα= bysinα， ∴S1•S2= （ab）2sin2α． Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab， ∵S1= •AD•AM•sinα= axsinα，S2= DB•BN•sinα= bysinα， ∴S1•S2= （ab）2sin2α．　24．（10分）（2017•岳阳）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A ，D重合）．www-2-1-cnjy-com （1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．21*cnjy*com （3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．21世纪教育网【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c解方程组即可得到结论；（2）设P（m， m2﹣ m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；（3）求得E（0，﹣ ），得到CE= ，设P（m， m2﹣ m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF ，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到 G（0，﹣ ），设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得，，∴∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2；（2）设P（m， m2﹣ m﹣2）， ∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上， ∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2）， ∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+=﹣ （m﹣ ）2+ ，21世纪教育网版权所有 ∴当m= 时，PM+PN的最大值是（3）能，；理由：∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E， ∴E（0，﹣ ）， ∴CE= ，设P（m， m2﹣ m﹣2）， ∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形， ①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF， ∴F（m，﹣ m﹣ ）， ∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ∴m=1，m=0（舍去），，②以CE为对角线，连接PF交CE于G， ∴CG=GE，PG=FG， ∴G（0，﹣ ），设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ）， ∴×（ m2﹣ m﹣2+ m﹣ ）=﹣ ，∵△＜0， ∴此方程无实数根，综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．　参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；nhx600；放飞梦想；弯弯的小河；曹先生；sd201 1；zgm666；三界无我；HLing；wdxwwzy；zhjh；szl；zjx111；家有儿女；知足长乐；Ldt ；sks；王学峰（排名不分先后） 21世纪教育网 2017年7月7日