2017年浙江省杭州市中考数学试卷（含解析版）

2017年浙江省杭州市中考数学试卷一．选择题 1．（3分）﹣22=（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 2．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150 000用科学记数法表示为（　　） 000 000千米，数据150 000 A．1.5×108 B．1.5×109 C．0.15×109D．15×107 3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　） A． 4．（3分）|1+ |+|1﹣ |=（　　） A．1 B． C．2 D．2 5．（3分）设x，y，c是实数，（　　） B． C． D． A．若x=y，则x+c=y﹣c C．若x=y，则 B．若x=y，则xc=yc D．若，则2x=3y 6．（3分）若x+5＞0，则（　　） A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12 7．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A．10.8（1+x）=16.8 C．10.8（1+x）2=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（　　）第1页（共18页） A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4 9．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0 10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边 BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（　　） A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=21 　二．填空题 11．（4分）数据2，2，3，4，5的中位数是　　． 12．（4分）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=　　． 13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，第2页（共18页） 1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是　． 14．（4分）若 •|m|= ，则m=　 15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥ BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于　．　． 16．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　　　千克．（用含t的代数式表示．）三．解答题 17．（6分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m） 1.09～1.19 1.19～1.29 1.29～1.39 1.39～1.49 频数 812 A10 （1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．第3页（共18页） 18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标． 19．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE 于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值． 20．（10分）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？第4页（共18页） 21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点 E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长． 22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．第5页（共18页） 23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦B C的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设 ∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ30° 120° 150° 40° 130° 140° 50° 140° 130° 60° 150° 120° βγ猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．第6页（共18页） 2017年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析　一．选择题 1．（3分）（2017•杭州）﹣22=（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 【解答】解：﹣22=﹣4， D．4 故选B．　2．（3分）（2017•杭州）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（　　） A．1.5×108 B．1.5×109 C．0.15×109D．15×107 【解答】解：将150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108．故选A．　3．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2A D，则（　　） A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵BD=2AD， ∴ = = = 则 = ，，∴A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．　4．（3分）（2017•杭州）|1+ |+|1﹣ |=（　　） A．1 B． C．2 D．2 【解答】解：原式1+ + ﹣1=2 ，故选：D．　5．（3分）（2017•杭州）设x，y，c是实数，（　　） A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc 第7页（共18页） C．若x=y，则 D．若，则2x=3y 【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；故选：B．　6．（3分）（2017•杭州）若x+5＞0，则（　　） A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12 【解答】解：∵x+5＞0， ∴x＞﹣5， A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意； B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意； C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意； D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；故选D．　7．（3分）（2017•杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，20 16年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8 C．10.8（1+x）2=16.8D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得： 10.8（1+x）2=16.8，故选：C．　8．（3分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2 ，则（　　） A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2 C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4 【解答】解：∵l1=2π×BC=2π， l2=2π×AB=4π， ∴l1：l2=1：2，第8页（共18页） ∵S1= ×2π× = π， S2= ×4π× =2 π， ∴S1：S2=1：2，故选A．　9．（3分）（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　） A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0 【解答】解：由对称轴，得 b=﹣2a．（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a 当m＜1时，（m﹣3）a＞0，故选：C．　10．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（　　） A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=21 【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE， ∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x， ∴BD=DE=x， ∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y， ∴ = =y，BQ=CQ=6， ∴AQ=6y， ∵AQ⊥BC，EM⊥BC，第9页（共18页） ∴AQ∥EM， ∵E为AC中点， ∴CM=QM= CQ=3， ∴EM=3y， ∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2=9，故选B．　二．填空题 11．（4分）（2017•杭州）数据2，2，3，4，5的中位数是　3　．【解答】解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，位于最中间的数是3，则这组数的中位数是3．故答案为：3．　12．（4分）（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠AT B=　50°　．【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径， ∴∠BAT=90°， ∵∠ABT=40°， ∴∠ATB=50°，故答案为：50° 　13．（4分）（2017•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是　．【解答】解：根据题意画出相应的树状图，所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，第10页（共18页） ∴两次摸出都是红球的概率是，故答案为：　．14．（4分）（2017•杭州）若 •|m|= ，则m=　3或﹣1　．【解答】解：由题意得， m﹣1≠0，则m≠1，（m﹣3）•|m|=m﹣3， ∴（m﹣3）•（|m|﹣1）=0， ∴m=3或m=±1， ∵m≠1， ∴m=3或m=﹣1，故答案为：3或﹣1．　15．（4分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC 上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于　78　．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20， ∴BC= =25，△ABC的面积= AB•AC= ×15×20=150， ∵AD=5， ∴CD=AC﹣AD=15， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CBA， ∴，即，解得：CE=12， ∴BE=BC﹣CE=13， ∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25， ∴△ABE的面积= ×150=78；故答案为：78．　16．（4分）（2017•杭州）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降第11页（共18页）价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　30﹣千克．（用含t的代数式表示．）【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，则x= =30﹣ ，故答案为：30﹣ ．　三．解答题 17．（6分）（2017•杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m） 1.09～1.19 频数 81.19～1.29 12 A1.29～1.39 1.39～1.49 10 （1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．【解答】解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，；第12页（共18页）（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500× =300（人）．　18．（8分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠ 0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．【解答】解：设解析式为：y=kx+b，将（1，0），（0，﹣2）代入得：解得：，，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4， ∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上， ∴n=﹣2m+2， ∵m﹣n=4， ∴m﹣（﹣2m+2）=4，解得m=2，n=﹣2， ∴点P的坐标为（2，﹣2）．　19．（8分）（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，第13页（共18页） ∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴，∴ = 　20．（10分）（2017•杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【解答】解：（1）①由题意可得：xy=3，则y= ；②当y≥3时， ≥3 解得：x≤1；（2）∵一个矩形的周长为6， ∴x+y=3， ∴x+ =3，整理得：x2﹣3x+3=0， ∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0， ∴矩形的周长不可能是6； ∵一个矩形的周长为10， ∴x+y=5， ∴x+ =5，整理得：x2﹣5x+3=0， ∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0， ∴矩形的周长可能是10．　21．（10分）（2017•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．第14页（共18页）【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA=GC， ∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2， ∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x． ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°， ∴∠AMN=30°， ∴AM=BM=2x，MN= x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2， ∴1=x2+（2x+ x）2，解得x= ∴BN= ，，∴BG=BN÷cos30°= ．　22．（12分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），第15页（共18页）其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得（a+1）（﹣a）=﹣2，解得a=﹣2，a=1，函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；（2）当y=0时x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2， y1的图象与x轴的交点是（﹣1，0）（2，0），当y2=ax+b经过（﹣1，0）时，﹣a+b=0，即a=b；当y2=ax+b经过（2，0）时，2a+b=0，即b=﹣2a；（3）当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得x0＜0；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得x0＞1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围x0＜0或x0＞1． 23．（12分）（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与 ⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ30° 120° 150° 40° 130° 140° 50° 140° 130° 60° 150° 120° βγ猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【解答】解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180° 连接OB， ∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA， ∵OB=OA， ∴∠OBA=∠OAB=α， ∴∠BOA=180°﹣2α， ∴2β=360°﹣（180°﹣2α），第16页（共18页） ∴β=α+90°， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴OE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90° ∵∠BCA=∠EDC+∠CED， ∴β=90°+∠CED， ∴∠CED=α， ∴∠CED=∠OBA=α， ∴O、A、E、B四点共圆， ∴∠EBO+∠EAG=180°， ∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°， ∴γ+α=180°；（2）当γ=135°时，此时图形如图所示， ∴α=45°，β=135°， ∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，由（1）可知：O、A、E、B四点共圆， ∴∠BEC=90°， ∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍， ∴∴，，设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6， ∵∠BCE=45°， ∴CE=BE=3x， ∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62， x= ，∴BE=CE=3 ，AC= ，∴AE=AC+CE=4 在Rt△ABE中，，由勾股定理可知：AB2=（3 ）2+（4 ）2， ∴AB=5 ，∵∠BAO=45°， ∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：AB2=2r2， ∴r=5， ∴⊙O半径的长为5．第17页（共18页）　第18页（共18页）