2017年浙江省丽水市中考数学试卷（含解析版）

2017年浙江省丽水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在数1，0，﹣1，﹣2中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 2．（3分）计算a2•a3，正确结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9 D．1 3．（3分）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是（　　）A．俯视图与主视图相同 B．左视图与主视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 4．（3分）根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35（微克/立方米）的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是（　　）天数 3120 111PM2.5 18 21 29 30 A．21微克/立方米 C．19微克/立方米 B．20微克/立方米 D．18微克/立方米 5．（3分）化简 +的结果是（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1D． 6．（3分）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2 7．（3分）如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（　　）第1页（共27页） A． B．2 C．2 D．4 8．（3分）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（　　） A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位 9．（3分）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． ﹣2 C． D． ﹣10．（3分）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　） A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米/小时 C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到B地比乙到A地早小时　二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）分解因式：m2+2m=　　．第2页（共27页） 12．（4分）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　 13．（4分）已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为　　．　． 14．（4分）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是　． 15．（4分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2 ，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　　． 16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是　　；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是　　．　三、解答题（本大题共8小题，第17- 19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23题每题10分，第24题12分，共66分） 17．（6分）计算：（﹣2017）0﹣（）﹣1+ ．第3页（共27页） 18．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3． 19．（6分）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan7 0°≈2.75） 20．（8分）在全体丽水人民的努力下，我市剿灭劣V类水“河道清淤”工程取得了阶段性成果，如表是全市十个县（市、区）指标任务数的统计表；如图是截止2017年3月31日和截止5月4日，全市十个县（市、区）指标任务累计完成数的统计图．全市十个县（市、区）指标任务数统计表县（市、区） ABCDEFGHIJ合计任务数（万方 25 25 20 12 13 25 16 25 11 28 200 ）（1）截止3月31日，完成进度（完成进度=累计完成数÷任务数×100%）最快、最慢的县（第4页（共27页）市、区）分别是哪一个？（2）求截止5月4日全市的完成进度；（3）请结合图表信息和数据分析，对Ⅰ县完成指标任务的行动过程和成果进行评价． 21．（8分）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为 t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） t（小时） 75 80 85 90 95 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 （1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．第5页（共27页） 23．（10分）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B 运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点 B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．（1）求a的值；（2）求图2中图象C2段的函数表达式；（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ 的面积，求x的取值范围． 24．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n．第6页（共27页）（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．　第7页（共27页） 2017年浙江省丽水市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2017•丽水）在数1，0，﹣1，﹣2中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据有理数大小比较的规律即可得出答案．【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜1，所以最大的数是1，故选D．【点评】本题考查了有理数大小比较的方法．（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．（3）两个正数中绝对值大的数大．（4）两个负数中绝对值大的反而小．　2．（3分）（2017•丽水）计算a2•a3，正确结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可．【解答】解：a2•a3=a2+3=a5，故选A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键．　3．（3分）（2017•丽水）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是（　　）第8页（共27页） A．俯视图与主视图相同 B．左视图与主视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：A、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A错误； B、左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，所以B正确； C、左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C错误； D、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．　4．（3分）（2017•丽水）根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35（微克/立方米）的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是（　　）天数 3120 111PM2.5 18 21 29 30 A．21微克/立方米 C．19微克/立方米 B．20微克/立方米 D．18微克/立方米【分析】按大小顺序排列这组数据，最中间那个数是中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：18，18，18，20，21，29，30，位置处于最中间的数是：20，所以组数据的中位数是20．故选B．【点评】此题主要考查了中位数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．　第9页（共27页） 5．（3分）（2017•丽水）化简 A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1D． +的结果是（　　）【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式= 故选A ﹣===x+1，【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　6．（3分）（2017•丽水）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2 【分析】根据方程的解为负数得出m﹣2＜0，解之即可得．【解答】解：∵程x﹣m+2=0的解是负数， ∴x=m﹣2＜0，解得：m＜2，故选：C．【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．　7．（3分）（2017•丽水）如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°， ∴AC=CD=2，∠ACD=90°，第10页（共27页）即△ACD是等腰直角三角形， ∴BC=AD= =2 ；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．　8．（3分）（2017•丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1 ，4）的方法是（　　） A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位【分析】根据平移规律，可得答案．【解答】解：A、平移后，得y=（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意； B、平移后，得y=（x﹣3）2，图象经过A点，故B不符合题意； C、平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意； D、平移后，得y=x2﹣1图象不经过A点，故D符合题意；故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．　9．（3分）（2017•丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． ﹣2 C． D． ﹣【分析】连接OC，根据已知条件得到∠ACB=90°，∠AOC=30°，∠COB=120°，解直角三角形得到AB=2AO=4，BC=2 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC， ∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点， ∴∠ACB=90°，∠AOC=60°，∠COB=120°，第11页（共27页） ∴∠ABC=30°， ∵AC=2， ∴AB=2AO=4，BC=2 ∴OC=OB=2，，∴阴影部分的面积=S扇形﹣S△OBC= 故选A． ﹣ ×2 ×1=π﹣ ，【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键．　10．（3分）（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　） A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米/小时 C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到B地比乙到A地早小时【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．【解答】解：A、由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意； B、∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行驶全程所用时间为： =1 （小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，第12页（共27页）故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5=1.25（小时），故甲车的速度为： =80（km/h），故B选项正确，不合题意； C、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+ 60=100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意； D、由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1 = （小时），故此选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．　二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2017•丽水）分解因式：m2+2m=　m（m+2）　．【分析】根据提取公因式法即可求出答案．【解答】解：原式=m（m+2）故答案为：m（m+2）【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型．　12．（4分）（2017•丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　100°　．【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．【解答】解：∵100°＞90°， ∴100°的角是顶角，故答案为：100°．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100°的角是顶角是解题的关键．　13．（4分）（2017•丽水）已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为　2　．【分析】原式后两项提取﹣1变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a2+a=1，第13页（共27页） ∴原式=3﹣（a2+a）=3﹣1=2．故答案为：2 【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　14．（4分）（2017•丽水）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是　．【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是： = 故答案为：．．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确得出符合题意的位置是解题关键．　15．（4分）（2017•丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　10　．第14页（共27页）【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到 1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EF GH的边长．【解答】解：（14×14﹣2×2）÷8 =（196﹣4）÷8 =192÷8 =24， 24×4+2×2 =96+4 =100， =10．答：正方形EFGH的边长为10．故答案为：10．【点评】考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．　16．（4分）（2017•丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是　；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是　12　．【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B 的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，二此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题意；故m＞0．由相似第15页（共27页）比求得边的相应关系．【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，所以直线AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2）． ∴OB=OA=2，AB=2 ．设点O到直线AB的距离为d，由S△OAB= OA2= AB•d，得 4=2 d，则d= ．故答案是：．（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CPA=∠ABO=45°，所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，所以 = ，即 =，解得m=12．故答案是：12．第16页（共27页）【点评】本题考查了一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，另外，解题时，注意分类讨论数学思想的应用．　三、解答题（本大题共8小题，第17- 19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23题每题10分，第24题12分，共66分） 17．（6分）（2017•丽水）计算：（﹣2017）0﹣（）﹣1+ ．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（﹣2017）0﹣（）﹣1+ =1﹣3+3 =1．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．　18．（6分）（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0， x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．　第17页（共27页） 19．（6分）（2017•丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠B OD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70 °≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，汽车AF、EF即可解决问题．【解答】解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形， ∵OD⊥CD，∠BOD=70°， ∴AE∥OD， ∴∠A=∠BOD=70°，在Rt△AFB中，∵AB=2.7， ∴AF=2.7×cos70°=2.7×0.34=0.918， ∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1m，答：端点A到地面CD的距离是1.1m．【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．　20．（8分）（2017•丽水）在全体丽水人民的努力下，我市剿灭劣V类水“河道清淤”工程取得了阶段性成果，如表是全市十个县（市、区）指标任务数的统计表；如图是截止2017 年3月31日和截止5月4日，全市十个县（市、区）指标任务累计完成数的统计图．第18页（共27页）全市十个县（市、区）指标任务数统计表县（市、区） ABCDEFGHIJ合计任务数（万方 25 25 20 12 13 25 16 25 11 28 200 ）（1）截止3月31日，完成进度（完成进度=累计完成数÷任务数×100%）最快、最慢的县（市、区）分别是哪一个？（2）求截止5月4日全市的完成进度；（3）请结合图表信息和数据分析，对Ⅰ县完成指标任务的行动过程和成果进行评价．【分析】（1）利用条形统计图结合表格中数据分别求出C，I两县的完成进度；（2）利用条形统计图结合表格中数据求出总的完成进度；（3）可从识图能力、数据分析能力以及综合运用能力分析得出答案．【解答】解：（1）C县的完全成进度= I县的完全成进度= ×100%≈27.3%， ×100%=107%；所以截止3月31日，完成进度最快的是C县，完成进度最慢的是I县；（2）全市的完成进度=（20.5+20.3+27.8+9.6+8.8+17.1+9.6+21.4+11.5+25.2）÷200×10 0% =171.8÷200×100% =85.9%；（3）A类（识图能力）：能直接根据统计图的完成任务数对I县作出评价； B类（数据分析能力）：能结合统计图通过计算完成对I县作出评价，如：截止5月4日，I县的完成进度= ×100%≈104.5%，超过全市完成进度；第19页（共27页） C类（综合运用能力）：能利用两个阶段的完成进度、全市完成进度的排序等方面对I县作出评价，如：截止3月31日，I县的完成进度= ×100%≈27.3%，完成进度全市最慢；截止5月4日，I县的完成进度= ×100%≈104.5%，超过全市完成进度， 104.5%﹣27.3%=77.2%，与其它县（市、区）对比进步幅度最大．【点评】此题主要考查了条形统计图以及统计表的综合应用，利用图表获取正确信息是解题关键．　21．（8分）（2017•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） t（小时） 75 80 85 90 95 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 （1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．【分析】（1）根据表格中数据，可知V是t的反比例函数，设V= ，利用待定系数法求出k 即可；（2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断；（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；【解答】解：（1）根据表格中数据，可知V= ，∵v=75时，t=4， ∴k=75×4=300， ∴v= ．（2）∵10﹣7.5=2.5，第20页（共27页） ∴t=2.5时，v= =120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．（3）∵3.5≤t≤4， ∴75≤v≤ ，答：平均速度v的取值范围是75≤v≤ ．【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．　22．（10分）（2017•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D ，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC= =12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC 2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE是切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠ADE+∠BDO=90°， ∵∠ACB=90°，第21页（共27页） ∴∠A+∠B=90°， ∵OD=OB， ∴∠B=∠BDO， ∴∠ADE=∠A．（2）连接CD． ∵∠ADE=∠A， ∴AE=DE， ∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°， ∴EC是⊙O的切线， ∴ED=EC， ∴AE=EC， ∵DE=10， ∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC= =12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202， ∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9， ∴BC= =15．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．　23．（10分）（2017•丽水）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度第22页（共27页）沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．（1）求a的值；（2）求图2中图象C2段的函数表达式；（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ 的面积，求x的取值范围．【分析】（1）作PD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得到PD= AP=x，根据三角形的面积公式得到函数解析式，代入计算；（2）根据当x=4时，y= ，求出sinB，得到图象C2段的函数表达式；（3）求出y= x2的最大值，根据二次函数的性质计算即可．【解答】解：（1）如图1，作PD⊥AB于D， ∵∠A=30°， ∴PD= AP=x， ∴y= AQ•PD= ax2，由图象可知，当x=1时，y= ，∴ ×a×12= 解得，a=1；，（2）如图2，作PD⊥AB于D，由图象可知，PB=5×2﹣2x=10﹣2x， PD=PB•sinB=（10﹣2x）•sinB， ∴y= ×AQ×PD= x×（10﹣2x）•sinB，第23页（共27页） ∵当x=4时，y= ∴ ×4×（10﹣2×4）•sinB= 解得，sinB= ，，，∴y= x×（10﹣2x）× =﹣ x2+ x；（3） x2=﹣ x2+ x，解得，x1=0，x2=2，由图象可知，当x=2时，y= x2有最大值，最大值是 ×22=2， ﹣ x2+ x=2，解得，x1=3，x2=2， ∴当2＜x＜3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积．【点评】本题考查的是三角形的面积计算、二次函数的解析式的确定、二次函数的性质，根据图象确定x的运动时间与面积的关系是解题的关键．　24．（12分）（2017•丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A 关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点 G，设 =n．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．第24页（共27页）【分析】（1）直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG，即可得出EG=EF，代换即可；（2）先判断出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论；（3）先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°，分两种情况建立方程求解即可．【解答】解：设AE=a，则AD=na，（1）由对称知，AE=FE， ∴∠EAF=∠EFA， ∵GF⊥AF， ∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°， ∴∠FGA=∠EFG， ∴EG=EF， ∴AE=EG；（2）如图1，当点F落在AC上时，由对称知，BE⊥AF， ∴∠ABE+∠BAC=90°， ∵∠DAC+∠BAC=90°， ∴∠ABE=∠DAC， ∵∠BAE=∠D=90°， ∴△ABE∽△DAC， ∴，∵AB=DC， ∴AB2=AD•AE=na2， ∵AB＞0， ∴AB= a， ∴；（3）若AD=4AB，则AB= a，如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时 a=a，第25页（共27页） ∴n=4， ∴当点F落在矩形内部时，n＞4， ∵点F落在矩形内部，点G在AD上， ∴∠FCG＜∠BCD， ∴∠FCG＜90°， ①当∠CFG=90°时，如图3，则点F落在AC上，由（2）得， ∴n=16，，②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°， ∵∠FAG+∠AGF=90°， ∴∠CGD=∠FAG=∠ABE， ∵∠BAE=∠D=90°， ∴△ABE∽△DGC， ∴，∴AB•DC=DG•AE， ∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=（n﹣2）a， ∴（ a）2=（n﹣2）a•a， ∴n=8+4 或n=8﹣4 （舍）， ∴当n=16或n=8+4 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．第26页（共27页）【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出EG=EF，解（2）的关键是判断出△ABE∽△DAC，解（3）的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题，是一道中考常考题．　第27页（共27页）